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分析:求最值,以邊長為變量,構(gòu)建函數(shù),如果復(fù)雜,對(duì)函數(shù)稍作處理,求導(dǎo)或均值不等式求最值。

點(diǎn)評(píng):難點(diǎn)在于函數(shù)的構(gòu)建和對(duì)函數(shù)的處理,也可以以 AB 的長度為變量構(gòu)建函數(shù),這樣函數(shù)表達(dá)式稍微復(fù)雜一點(diǎn),解答選擇的變量與高聯(lián)系更直接,函數(shù)表達(dá)式更簡潔,在題目中靈活選擇變量,力求構(gòu)建簡單的目標(biāo)函數(shù)。

【考試中心的試題評(píng)價(jià)】本試題的問題設(shè)計(jì),主要是考查考生將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問題情境中的意識(shí)與能力。問題的情境設(shè)計(jì)沒有采用簡單幾何體的直觀圖為背景,而是把簡單幾何體設(shè)置在一個(gè)實(shí)際問題中,給出了簡單幾何體的平面展開圖?？忌枰趯?shí)際問題中,尋找三棱錐平面展開圖的各種邊角的位置關(guān)系與度量關(guān)系,在分析平面展開圖的這些關(guān)系時(shí),其實(shí)質(zhì)是對(duì)解三角形的基本知識(shí)的運(yùn)用。在得到各種度量關(guān)系后,可以利用體積公式求出體積,分析體積的最大值時(shí)要運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究體積對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,從而最終解決問題。因此,本試題是綜合了簡單幾何體的直觀圖與平面展開圖、解三角形以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)等方面的知識(shí),是對(duì)考生應(yīng)用意識(shí)的深度考查。

本試題在解題策略上對(duì)考生也是一次有效考查。由于所給立體幾何圖形與平面圖形的對(duì)稱性,理論上講,選擇三棱錐中任意一個(gè)變量都可以建立體積的函數(shù)模型。但不同的變量選擇,得到的函數(shù)模型有較大差異。不難看到選擇三棱錐的高為函數(shù)的參變量是最簡單的,所得體積的函數(shù)

不含無理式,只有多項(xiàng)式函數(shù)。而多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是基本初等函數(shù)中比較簡單的,所求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)運(yùn)算也是簡單的。在不同的思路中,可以比較考生不同的解題策略和函數(shù)建模的策略。

【解題反思 1】可以把圖中的

【解題反思 2】構(gòu)建函數(shù),很多時(shí)候引入角度常常也可以使函數(shù)變得簡潔。

四、利用幾何模型解決問題

(點(diǎn)評(píng):這個(gè)圖形結(jié)構(gòu)是典型的可以用向量法處理的結(jié)構(gòu)模型,如果用幾何法,則需要把 EF平移至 B 點(diǎn)的位置,以二面角為變量,來表示線線角的余弦值,建系和向量法是等效的,即不需要把異面直線平移成相交直線。)