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一、數學美的本質 馬克思“勞動創(chuàng)造了美”的觀點明確提出了美源于實踐。實踐是溝通人與自然的橋梁，一方面改變了外部現實，消滅它的規(guī)定性，把握自然界使之為自己服務；另一方面又通過消滅外部世界某些規(guī)定性來獲得具有外部現實性的實在性，于是自然變成人化的自然，人成為人化的人，都成為對象性的存在。這就是通過實踐而構建世界的圖畫，美源于其中，存在于人所創(chuàng)造的客觀圖畫中。數學美是客觀世界中固有規(guī)律的反映，是現實世界中數量關系和空間形式的程序性、統(tǒng)一性、規(guī)律性的呈現。原來以過程、動態(tài)形式存在的自然美，通過人類的生產實踐就抽象成為結果、靜態(tài)的數學理性美、冷峻美?？梢姅祵W美是對數學必然的認識和對世界的改造，數學美是數學創(chuàng)造的自由形式。任何一個數學公式、定理、結構、體系等，要本質上都具有真理性，都是人對自然規(guī)律的認識，這就呈現了自由。而同時，必然的認識成果作為指導實踐的工具使人能動地進行創(chuàng)造活動，使人從數學必然王國到達數學自由王國，從而再次獲得自由?？梢娙魏我淮螖祵W發(fā)明發(fā)現，任何一次數學學習實踐都可以使人在實踐中獲得自由形式，這就是數學本質所在。

二、數學美的形式 人們在對客觀事物觀念的認識過程中所具有的美感及在科學認識中具有審美價值的超感性對象稱為科學美。數學美顯然是一種科學美，它失去了美感的“具象性”，是一種抽象美，是超感覺的理性美、冷峻美。數學創(chuàng)造往往表現出簡單性、對稱性、統(tǒng)一性、諧調性、奇異性，因而，統(tǒng)一、諧調、對稱、簡潔、奇異及應用是呈現數學美的主要形式。
  【統(tǒng)一美】統(tǒng)一美是指呈現于基礎上的統(tǒng)一、結構上的統(tǒng)一、方法上的統(tǒng)一。
數量關系與空間形式是多種多樣的，因而反映在數學科學上就是各種不同的數學門類。每門數學都有自己的概念、符號、命題體系，概念、命題和方法相互交叉形成十分龐雜的數學體系，但它們卻有共同的基礎——集合論。比如幾何學，歐氏幾何已經有二千多年的歷史，人們沒有懷疑它的真理性。而后來出現的羅氏幾何、黎曼幾何卻與歐氏幾何有明顯的矛盾.譬如關于三角形內角和，歐氏幾何說是“等于π”,黎曼幾何卻說是“大于π”,羅氏幾何又說是“小于π”。再如關于平行公理，歐氏幾何說“平面上過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”,羅氏幾何卻說“平面上過直線外一點至少能引兩條直線與已知直線不相交”,黎曼幾何卻說是“平面上過直線外一點作已知直線的平行線一條都沒有”。而后來凱萊(Cayleg)的射影測度出現后就解釋了非歐幾何學，實現了三大幾何學的統(tǒng)一。保證無窮遠直線不變的射影幾何學稱仿射幾何學；保證圓點不變（或偽球面上高斯曲率K=0）的仿射幾何學稱為歐氏幾何學；保證一條虛二次曲線不變（K> 0）的射影幾何學稱為黎曼幾何學；保證一條實二次曲線不變（K< 0）的射影幾何學稱為羅氏幾何學。十九世紀，斯坦納、馮斯滔已經完全確定了由綜合法入手的射影幾何學，而后來，綜合法在應用上受到一定的限制，于是人們又引入新的研究方法——代數公理法，亦通過公理體系規(guī)定代數運算,利用運算來處理幾何問題,一方面,人們想把通常的空間的射影幾何學，與代數結合在一起;另一方面,把射影幾何學，與格論結合在一起發(fā)展成為無窮維射影幾何學即連續(xù)幾何學.此外還能把射影空間與測度空間結合在一起,把微分、張量分析與射影幾何學聯(lián)結在一起.但無論哪一種聯(lián)結方式;哪一種統(tǒng)一方法,其基礎都是集合觀念.
   17世紀出現各種各樣的幾何學,1872年克來因才明確指出它們共同的基礎 ——變換群.他指出:幾何學就是關于變換群下的不變式理論.拓樸學是關于射影變換群(一一映射且雙方連續(xù))的不變式理論;射影幾何學是關于射影變換群下不變式理論;仿射幾何學是仿射變換群下不變式理論,由于仿射變換群是射影變換群的子群,因而它保持射影性質如交比、平行性不變;歐氏幾何學是正交變換群下不變式理論, 正交變換群是仿射變換群的子群,因此它保持仿射性質,而同時又有自己的不變性質:長度、角度、面積等.在正交變換群下有且只有三種幾何-----歐氏、羅氏、黎氏,這樣,克萊因用群的觀念把各種幾何學統(tǒng)一了起來.就“數”和“形”來說，直到16世紀，人們一直奉幾何學為正統(tǒng)，代數學從屬于幾何學。16世紀后代數研究才活躍起來，1637年笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，才把幾何學同代數學統(tǒng)一起來。
   除了統(tǒng)一基礎外，數學美還表現在結構上的統(tǒng)一。數學中的一個集合的元素間的關系通常是用運算或變換聯(lián)系著，這樣集合就形成了結構。比如整數集其元素通過加法構成整數群，形成整數群結構；其元素通過乘法又形成整數環(huán)結構。不同的代數有不同運算群結構，1935年布爾巴基學派提出用數學結構統(tǒng)一數學的觀點，他們將數學結構分為三類：代數結構、序結構和拓樸結構。
另外，數學方法也是統(tǒng)一的，數學發(fā)展總是在機械化法與公理化法相結合的基礎上發(fā)展起來的。
   在大統(tǒng)一中的各個子系統(tǒng)、各個分層分支存在統(tǒng)一，枚不勝舉。如圓錐曲線統(tǒng)一于極坐標方程—— ；立體幾何的體積公式統(tǒng)一于辛卜生公式；各種函數展開式統(tǒng)一于泰勒展開式等等。
   數學的統(tǒng)一美，給人以理性的超感覺的整體美、穩(wěn)定美、秩序美……使人自然而然形成審美趣味、審美理想，激發(fā)人們去進行數學審美創(chuàng)造。
   【諧調、對稱美】諧調對稱美本意是指部分與部分之間、整體與部分之間、整體與整體之間可以引起直觀快感的比例關系。純數學與實際應用之間通過應用數學構成關系呈現一種諧調美，同構、同態(tài)映射構建、RMI模型構建呈現一種諧調美,最突出當一個整體的幾個部分或幾個整體在構成上的比例為1時，即為對稱，它是諧調美的特例，給人以平衡感，從而作為審美對象給人以對稱的感覺。幾何的軸對稱、中心對稱、位似變換、相似變換,代數中的矩陣、二次型,空間中的向量及其運算等等無不體現了對稱美。圓是畢達哥拉斯學派最推崇的最美的圖形，從各個方面看都是對稱的，讓人感到十分舒適，具有完美的對稱性，其內涵的意蘊更加動人心扉：她是太陽、是清晨的露珠、是愛人的眼睛……難怪有的學者稱之為“宇宙間第一等好詩”。對稱因易于適應主體追求心理平衡及逆向思維的要求，因而它不僅能激發(fā)主體的美感，而且往往成為數學創(chuàng)造的一種契因。如射影幾何學的創(chuàng)立是數學家對歐氏幾何中對稱美因的審知過程中追求對稱美的直接結果；相對論從某種意義上說就是運用數學對稱的結果。
   【簡潔美】事物的簡潔性給人以簡捷、明快、準確精煉的美感，數學的簡潔美首先表現在語言的簡潔性上，特別是符號語言。數學基本概念、命題、公式、運算所呈現的簡潔性就是一種實在的數學美。二次函數形式十分簡單，它既可以描述自由落體運動規(guī)律，又可表達質能轉化規(guī)律，還可以計算圓的面積……其圖像可描述小石子的拋體運動，也可刻畫行星的運行軌道……它是一首包容萬物的小詩！阿拉伯數字的簡潔性習慣得讓人遺忘，我國辛亥革命前的記數符號是一、二、三、四……，常數則用甲、乙、丙、丁……表示，使用起來極不方便，幾乎毫無操作性可言,真是太遺撼!在記數方面，中國人沒有像用紙代替竹簡、用毛筆代替羽毛筆那樣的簡潔實用的發(fā)明。從某種意義上可以說：正是由于這種記數法，才阻礙了中國數學的進一步發(fā)展，而讓西方人在數學領域中取得了重大突破而誘發(fā)了工業(yè)革命。的例子是黃金分割。美學家柴辛將其導入美學，認為事物具有這個關系時最美，這是“上帝賜給的比例”。珠算的發(fā)明將數學的簡潔美推向高潮，珠算的進行過程是聲情并茂的藝術呈現過程。歐拉公式中當θ=π時，有 ,這個十分簡潔的等式中卻含五個十分重要的常數：0、1來自算術；1是實數單位；i是虛數單位。1來自代數，π來自幾何，e來自分析……這五個常數滲透數學各個領域，至今尚未被人類參悟透徹。它們如此奇妙、簡潔地匯聚在一起，表現出如此神秘、自然、和諧,使人獲得一種強烈的美感！數學中各種各樣的符號——邏輯的、集合的、代數的、幾何的、函數的、拓樸的、分析的……無一不是簡潔、準確地表述了數學概念，呈現出數學的簡潔美。歐氏幾何僅使用了幾個公理就構建出如此

偉岸的體系,算術公理系統(tǒng)只用了三個基本概念便刻畫整個算術系統(tǒng)結構。簡潔是數學的生命，是數學呈現美的一種主要形式。

【奇異美】奇異既是超常規(guī)和預料。數學中的奇異性常常是打破已有的數學統(tǒng)一性而出現的一種認識上的飛躍，這種新的認識又意味著在更高層次上的統(tǒng)一與和諧。古希臘時期，正方形邊長與對角線的不可公度性發(fā)現是何等奇異？它直接導致了畢達哥拉斯學派“萬物皆數”大廈的傾覆，引起了人們對無理數的研究和公理幾何學的誕生。而“伽利略悖論”的離奇出現，激勵了康托爾畢生研究超無窮集合并建立了超窮數理論。希爾伯特曾稱贊康托爾的超窮數理論是“數學思想最驚人的產物，在純理性范疇中人類活動最美的表現之一”。而神奇的“羅素悖論”所掀起的第三次數學危機，至今仍讓人們如癡如醉地探求！數學的奇異性在數學各個層面、各個角度都有體現；同樣也體現在自然界、社會、經濟等領域中。阿基米德依力矩原理居然“稱出”球的體積公式；中國的七巧板可奇妙地拼出千變萬化的圖案，其中許多數學問題至今未被人揭開。蜂房是由許許多多正六棱柱一個挨一個緊密地排列著，每一個棱柱底面是由三個全等菱形拼成的，每個菱形的鈍角為109028’,而這種結構使得蜂房體積最大且建筑材料最節(jié)??；而鉆石的結構中也選擇了109028，這種選擇使鉆石最硬。自然界中的這些數學選擇是多么奇妙！而一個簡單的π幾乎是數學的靈魂。奇妙的河圖洛書也許會引發(fā)新一輪的數學革命?！昂０毒€問題”、“科和雪花”、“孟格爾海綿”、“塞爾斯基片”反映一個共同的問題：在有限空間中有無窮長的線！這種奇妙結果出現，導致人們對混沌無序的認識上突破，出現了年輕的幾何學——分形幾何學，許多好萊塢大片的宏大壯麗的場面就是其直接應用的結果。而單、雙葉曲面居然可由一簇直線構成，這簡直是上帝的手筆！數學奇妙，奇妙得讓人叫絕！
【應用美】數學是原級科學，數學發(fā)展總是為了解決實際問題的。數學應用美實際上是數學奇異美的一種。數學運用枚不勝舉，沒有數學就沒有科學的進步、沒有社會的發(fā)展。數學在物理、化學、醫(yī)學、地理學、天文學、生物學、工程學等學科領域中都起著舉足輕重的作用。在物理學發(fā)展史上，一般困難在于數學方法的不足。牛頓為了解決物理問題而創(chuàng)立了微積分。而相對論的困難在于物理思想，歐氏幾何被愛因期坦引入而創(chuàng)立了狹義相對論；高斯-黎曼幾何、張量分析被愛因斯坦離奇導入從而創(chuàng)立了廣義相對論。奇就奇在這些數學工具竟解決了物理思想問題。拉登變換公式在CT理論中神奇應用，引發(fā)了20世紀的醫(yī)學革命！另外諸如圓錐曲線在天體中的運用,拓樸學在經濟中的運用,運籌學在工程學中的應用等等無不充滿神奇、充滿魅力！數學統(tǒng)一、諧調、對稱、奇異及應用美，說明了數學在客體中存在數學美基礎，經主體審美創(chuàng)造活動過程呈現出來，極大地激勵著人類征服、改造自然。然而，對數學美的判斷不僅要著眼于數學對象本身的品性，還要考慮到主體的思想文化修養(yǎng)、美感品性及審美能力，因為數學美畢竟是理性美、科學美，下面我就談談數學美育。

三、數學美育 美育即是審美教育,數學美育是把數學作為審美對象，通過數學教學形成美感，經過審美體驗形成審美意識、審美理想、審美意志，從而自覺地進行相應的審美活動。數學美育主要反映在數學教學中，數學教學過程是數學美因呈現過程和數學審美創(chuàng)造過程。而學生不是數學家，很難體會數學這種理性美，因此教師在講授數學知識時要善于表現數學美，盡可能展現最好又是感性展現數學美的各種形式，將數學美與學生已經具有的美感進行類比，從而讓學生形成美感。沒有表現出數學美，審美情感和審美意識就失去了基礎。教師也只有充分顯示出數學美才能啟迪學生將數學作為審美對象；才能將數學技能技巧作為審美價值表現；才能提高學生的數學能力。教師除了要善于呈現數學美之外，還要把教學這種活動作為科學活動的同時作為審美對象，這就是數學的教學美。通過教師帶有審美價值的技能技巧；通過教師審美創(chuàng)造活動，使學生獲得知識形成能力的同時得到美的享受。因而教學也是藝術。對于教學的藝術美，我認為有如下幾種實現方式：
1.模仿方式   古希臘對藝術的主要做法就是模仿，而數學教學藝術中模仿無疑很重要。繪聲繪色模仿給人以直觀、給人以輕松，這不僅僅是對形象思維占主導的學生實用，對抽象、辨證思維占主導的學生照樣有較強的實用性，特別是模仿第一發(fā)現者的思辨過程，會激發(fā)學生的學習興趣。

2.移情方式  移情即是感情移入，把自己“感”到審美對象中去。移情的關健在于教師能運用恰當方式與學生既定的美感進行類比?！爸本€給人剛毅”、“曲線使人溫柔”、“圓讓人完滿”、“極限讓生命永恒” ……數學符號是音符，數學語言是旋律。流暢的證明是歡快的小溪，解難之后是“山到絕頂我為峰”的偉岸！一名優(yōu)秀的教師無疑是移情手法大師。
3.現實主義方式與批判現實主義方式   數學學習畢竟是對“真”的追求，在教學中直觀現實地呈現細節(jié)、環(huán)境、過程等本來就是數學教學的基本要求。但現實主義方式不是呆板枯燥呈現，也有其高超的藝術手法，是在呈現一幅幅淡雅的山水畫——“一去二三里/煙村四五家/樓臺六七座/八九十枝花”。而數學學習同時要有批判精神，不能人云亦云，總要問一問為什么。為什么要這樣下定義？為什么要這樣表達？為什么要如此證明？批判的過程往往會揭示出概念的必要性和合理性，從另一個側面再現數學美，“橫看成嶺側成峰”，往往使學生把握了數學知識的形成過程，提高自身的數學能力，“只緣身在此山中”。
   數學是一門同人民大眾貼得很近的學科，它所討論的宇宙，遠比現實的所謂宇宙宏偉雄大。通常所說的宇宙只是三維空間，而數學則建立起了四維、五維乃至n維空間，并且，集合論的超限數的空間，遠遠超過了通常無窮大的空間，它們都遠比我們現實的宇宙更具有莊嚴美、雄偉美。數學是一座遠遠地超越了我們想象的華麗宮殿，站在這個無比莊嚴、宏偉的宇宙中的數學家們，以崇敬贊嘆的目光遠眺著它的壯觀、美妙。那些能夠感受到這種數學美、宇宙美的人，是被愛因斯坦稱的“有宇宙宗教性的人”。數學既有豐富深刻的思想內涵,又有和諧、簡潔、奇異的美的形式和包容宇宙萬物的氣勢——這是詩的意境、音樂的韻律、繪畫雕刻凝固的永恒！這是所有不同藝術共同歸宿。數學符號、公式、法則、定理都給人極大享受的數學詩、數學畫、數學音樂……它以簡潔和諧形式反映了宇宙中的深邃美，造成了莊嚴、永恒的意境，給人留下無邊無垠的遐想……這是一種崇高的思辯美。數學符號、命題及體系只不過是其載體，體驗它為能靠感官而要靠心智，它是合規(guī)律合目的的統(tǒng)一，借助于自由形式表現出來來.

(作者:湖北恩施清江外國語學校  天成)