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6.想平均數(shù)

　　

　　思路一：由“任意三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)是中間的數(shù)”。設(shè)第一個(gè)數(shù)為“1”，則中間數(shù)占

　　

　　知這三個(gè)數(shù)是14、15、16。

　　

　　二、一個(gè)數(shù)分別為

　　

　　16－1＝15，

　　15－1＝14 或 16－2＝14。

　　若先求第一個(gè)數(shù)，則

　　

　　思路三：設(shè)第三個(gè)數(shù)為“1”，則第二、三個(gè)數(shù)，

　　

　　知是15、16。

　　思路四：第一、三個(gè)數(shù)的比是7∶8，第一個(gè)數(shù)是2÷(8－7)×7＝14。

　　若先求第三個(gè)數(shù)，則

　　2÷(8－7)×8＝16?！?div id="c9ozetgccsir" class='imgcenter'>

例如

1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100

　　你還能想出不同的添法嗎？

　　1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8間的“＋”，式左為1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即

　　1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9

　?。?5＋63＝108。

　為使其和等于100，式左必須減去8。加4改為減4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。

　“減去4”可變?yōu)?#8220;減1、減3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年級(jí)小學(xué)生沒(méi)學(xué)過(guò)負(fù)“－1”，不能介紹。如果式左變?yōu)?/font>

　12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。

?。?2－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。

　要將“＋”變?yōu)?#8220;－”的數(shù)和為13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有

　12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，

　12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，

　　同理得

　　12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，

　　1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，

　　1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，

　　123－4－5－6－7＋8－9＝100，

　　123＋4－5＋67－89＝100，

　　123－45－67＋89＝100。

　　為了減少計(jì)算。應(yīng)注意：

　　(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數(shù)間的加號(hào))，結(jié)果為100呢？

　　1、23、5、7、89的和或差是奇數(shù)，4、6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)＝奇數(shù)，結(jié)果不會(huì)是100。

　　(2)有一個(gè)是四位數(shù)，結(jié)果也不可能為100。因?yàn)?234減去余下數(shù)字組成(按順序)的最大數(shù)789，再減去余下的56，差大于100。

　　例2 求59～199的奇數(shù)和。

　　由從1開(kāi)始的連續(xù)n個(gè)奇數(shù)和、等于奇數(shù)個(gè)數(shù)n的平方

　　1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2

　　奇數(shù)比它對(duì)應(yīng)的序數(shù)2倍少1。用n表示任意一個(gè)自然數(shù)，它對(duì)應(yīng)的奇數(shù)為2n－1。

　　例如，32對(duì)應(yīng)奇數(shù)2×32－1＝63。奇數(shù)199，從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。

　　知1～199的奇數(shù)和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇數(shù)和為292＝841。

　　所求為 10000－841＝9159。

　　或者 59＝30×2－1，302＝900，

　　10000－900＋59＝9159。

例1 思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個(gè)數(shù)字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號(hào)，使所得的結(jié)果都等于100。
例如

1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100

你還能想出不同的添法嗎？

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8間的“＋”，式左為1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即

          1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9

　　＝45＋63＝108。
為使其和等于100，式左必須減去8。加4改為減4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。

“減去4”可變?yōu)?#8220;減1、減3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年級(jí)小學(xué)生沒(méi)學(xué)過(guò)負(fù)數(shù)“－1”，不能介紹。如果式左變?yōu)?/p>

12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。

［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。

要將“＋”變?yōu)?#8220;－”的數(shù)和為13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有

12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，

12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，

同理得

12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，

1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，

1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，

　　123－4－5－6－7＋8－9＝100，

　　123＋4－5＋67－89＝100，

　　123－45－67＋89＝100。

　　為了減少計(jì)算。應(yīng)注意：

　　(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數(shù)間的加號(hào))，結(jié)果為100呢？

　　1、23、5、7、89的和或差是奇數(shù)，4、6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)＝奇數(shù)，結(jié)果不會(huì)是100。

　　(2)有一個(gè)是四位數(shù)，結(jié)果也不可能為100。因?yàn)?234減去余下數(shù)字組成(按順序)的最大數(shù)789，再減去余下的56，差大于100。

例2 求59～199的奇數(shù)和。

　　由從1開(kāi)始的連續(xù)n個(gè)奇數(shù)和、等于奇數(shù)個(gè)數(shù)n的平方

1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n²

奇數(shù)比它對(duì)應(yīng)的序數(shù)2倍少1。用n表示任意一個(gè)自然數(shù)，它對(duì)應(yīng)的奇數(shù)為2n－1。

例如，32對(duì)應(yīng)奇數(shù)2×32－1＝63。奇數(shù)199，從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。

知1～199的奇數(shù)和是100²＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇數(shù)和為29²＝841。

所求為 10000－841＝9159。

或者 59＝30×2－1，30²＝900，

10000－900＋59＝9159。

8.約倍數(shù)積法

任意兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積，等于這兩個(gè)自然數(shù)的積。

證明：設(shè)M、N(都是自然數(shù))的最大公約數(shù)為P，最小公倍數(shù)為Q、且M、N不公有的因數(shù)各為a、b。

那么 M×N＝P×a×P×b。

而 Q＝P×a×b，

所以 M×N＝P×Q。

例1 甲乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是105。甲數(shù)是21，乙數(shù)是多少？

　

例2 已知兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是155，求這兩個(gè)數(shù)。

這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積為1×155＝155，還可分解為5×31。

所求是1和155，5和31。

例3 兩數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是40，大數(shù)是數(shù)的2.5倍，求各數(shù)。

由上述定理和題意知兩數(shù)的積，是小數(shù)平方的2.5倍。

小數(shù)的平方為4×40÷2.5＝64。

小數(shù)是8。

大數(shù)是8×2.5＝20。

算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝8²×2.5。

9.想 份 數(shù)

 

 

 

 

 

　　

 

10.巧用分解質(zhì)因數(shù)

　　例1 四個(gè)比1大的整數(shù)的積是144，寫(xiě)出由這四個(gè)數(shù)組成的比例式。

　　144＝2⁴×3²

　　＝(2²×3)×[(2×3)×2]

　?。?4×3)×(6×2)

　　可組成4∶6＝2∶3等八個(gè)比例式。

　　例2 三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是4896，求這三個(gè)數(shù)。

　　4896＝2⁵×3²×17

　　＝2⁴×17×(2×3²)

　?。?6×17×18

　　

　　1728＝2⁶×3³＝(2²×3)³＝12³

　　385＝5×7×11

　　

　　例4 1992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題初賽(C)卷題3：找出1992的所有不同的質(zhì)因數(shù)，它們的和是多少？

　　1992＝2×2×2×3×83

　　2＋3＋83＝88

　　例5 甲數(shù)比乙數(shù)大9，兩數(shù)的積是1620，求這兩個(gè)數(shù)。

　　1620＝2²×3⁴×5

　?。?3²×2²)×(3²×5)

　　甲數(shù)是45，乙數(shù)是36。

　　例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成兩組，每組四個(gè)數(shù)且積相等，求這兩組數(shù)。

　　八個(gè)數(shù)的積等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。

　　每組數(shù)的積為2×3²×5²×7×11×13²×127。兩組為

　　

例7 600有多少個(gè)約數(shù)？

　　600＝6×100＝2×3×2×2×5×5

　?。?³×3×5²

　　只含因數(shù)2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的約數(shù)分別為：

　　2、2²、2³；

　　3；

　　5、5²；

　　2×3、2²×3、2³×3；

　　2×5、2²×5、2³×5、2×5²、2²×5²、2³×5²；

　　3×5、3×5²；

　　2×3×5、2²×3×5、2³×3×5、2×3×5²、2²×3×5²、2³×3×5²。

　　不含2×3×5的因數(shù)的數(shù)只有1。

　　這八種情況約數(shù)的個(gè)數(shù)為；

　　3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。

　　不難發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律：把給定數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，寫(xiě)成冪指數(shù)形式，各指數(shù)分別加1后相乘，其積就是所求約數(shù)的個(gè)數(shù)。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24。