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模型回顧

1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形共圓：鏈接?對(duì)角互補(bǔ)的四邊形共圓

2.對(duì)角互補(bǔ)、鄰邊相等、角平分線（鏈接?知二求一）

(1)對(duì)角互補(bǔ)（共圓）+鄰邊相等的四邊形?角平分線

(2)對(duì)角互補(bǔ)（共圓）+角平分線的四邊形?鄰邊相等

(3)角平分線+鄰邊相等的四邊形?對(duì)角互補(bǔ)（共圓）

證明過(guò)程利用旋轉(zhuǎn)全等變換實(shí)現(xiàn)線段的和差關(guān)系.

半角模型介紹：(兩角共頂點(diǎn)且成2倍關(guān)系)

過(guò)某個(gè)角的頂點(diǎn)引兩條射線，使這兩條射線的夾角為該頂角的一半（半角在大角的內(nèi)部稱為內(nèi)部半角，隨著動(dòng)態(tài)幾何的變化，也自然有外部半角）.

思想方法：

通過(guò)先旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等，再利用對(duì)稱全等，實(shí)現(xiàn)線段的和差轉(zhuǎn)化.（簡(jiǎn)記：旋轉(zhuǎn)+對(duì)稱兩次全等）

條件：OA=OB,∠AOB=2∠COD.

結(jié)論：

△ODB?△OD'A（旋轉(zhuǎn)全等）；

△OCD?△OCD'（對(duì)稱全等）.

四邊形半角模型

模型引入：四邊形半角模型主要研究在特殊四邊形（對(duì)角互補(bǔ)+鄰邊相等）的基礎(chǔ)之上延申出的特殊結(jié)構(gòu)的圖形.

思想方法：鄰邊相等+對(duì)角互補(bǔ)（共頂點(diǎn)，等線段），遇半角作旋轉(zhuǎn).

需注意：雖然是旋轉(zhuǎn)得到全等，旋轉(zhuǎn)僅僅是直觀演示過(guò)程.推理過(guò)程輔助線應(yīng)寫延長(zhǎng)CB到G,使得BG=BF并連接AG（或延長(zhǎng)CD到H,使得DH=BE并連接AH）.這個(gè)在對(duì)角互補(bǔ)的四邊形共圓已有提示.

條件：∠B+∠D=180°,AB=AD,∠BAD=2∠EAF.

結(jié)論：

如圖①△ADF?△ABG；

如圖②△ABE?△ADH（旋轉(zhuǎn)全等）；

 △AEF?△AEG?△AHF（對(duì)稱全等）.

正方形中的半角模型

條件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

結(jié)論：

（1）EF=BE+DF；（旋轉(zhuǎn)全等、對(duì)稱全等）

（2）Rt△ECF的周長(zhǎng)=2AB；

（3）△ABE的面積+△ADF的面積=△AEF的面積；

（4）AQ=AB；

條件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

結(jié)論：

（5）△AOM～△ADF,△AON～△ABE；（相似比1:根號(hào)2）

（6）△AMN的面積+四邊形MNFE的面積=△AEF面積的一半；

條件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

結(jié)論：（7）△ANE,△AMF為等腰直角三角形.

條件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

結(jié)論：（8）A、D、F、E四點(diǎn)共圓，A、B、E、N四點(diǎn)共圓，M、N、F、C、E五點(diǎn)共圓.

條件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

結(jié)論：（9）△ANM～△DNF～△BEM～△AEF～△DAM～△BNA.

等腰直角三角形中的半角模型（鏈接：?等腰直角三角形半角模型）

條件：在等腰直角△ABC中，∠DCE=45°.

結(jié)論：△DCE～△CAE～△DBC.