數(shù)的藝術
畢達哥拉斯學派認為“1”是數(shù)的第一原則，萬物之母，也是智慧；“2”是對立和否定的原則，是意見；“3”是萬物的形體和形式；“4”是正義，是宇宙創(chuàng)造者的象征；“5”是奇數(shù)和偶數(shù)，雄性與雌性和結合，也是婚姻；“6”是神的生命，是靈魂；“7”是機會；“8”是和諧，也是愛情和友誼；“9”是理性和強大；“10”包容了一切數(shù)目，是完滿和美好。
畢達哥拉斯的黃金分割：（a:b=
畢達哥拉斯學派認為由太陽、月亮、星辰的軌道和地球的距離之比，分別等于三種協(xié)和的音程，即八度音、五度音、四度音。
畢達哥拉斯學派認為從數(shù)量上看，夏天是熱占優(yōu)勢，冬天是冷占優(yōu)勢，春天是干占優(yōu)勢，秋天是濕占優(yōu)勢，最美好的季節(jié)則是冷、熱、干、濕等元素在數(shù)量上和諧的均衡分布。
畢達哥拉斯學派從數(shù)學的角度，即數(shù)量上的矛盾關系列舉出有限與無限、一與多、奇數(shù)與偶數(shù)、正方與長方、善與惡、明與暗、直與曲、左與右、陽與陰、動與靜等十對對立的范疇，其中有限與無限、一與多的對立是最基本的對立，并稱世界上一切事物均還原為這十對對立。
萬物皆數(shù)
最早把數(shù)的概念提到突出地位的是畢達哥拉斯學派。他們很重視數(shù)學，企圖用數(shù)來解釋一切。宣稱數(shù)是宇宙萬物的本原，研究數(shù)學的目的并不在于使用而是為了探索自然的奧秘。他們從五個蘋果、五個手指等事物中抽象出了五這個數(shù)。這在今天看來很平常的事，但在當時的哲學和實用數(shù)學界，這算是一個巨大的進步。在實用數(shù)學方面，它使得算術成為可能。在哲學方面，這個發(fā)現(xiàn)促使人們相信數(shù)是構成實物世界的基礎。
他同時任意地把非物質的、抽象的數(shù)夸大為宇宙的本原，認為“萬物皆數(shù)”，“數(shù)是萬物的本質”，是“存在由之構成的原則”，而整個宇宙是數(shù)及其關系的和諧的體系。畢達哥拉斯將數(shù)神秘化，說數(shù)是眾神之母，是普遍的始原，是自然界中對立性和否定性的原則。
畢達哥拉斯定理提出后，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導致了數(shù)學史上第一個無理數(shù)√2的誕生。
小小√2的出現(xiàn)，卻在當時的數(shù)學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數(shù)學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對于當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。
這一結論的悖論性表現(xiàn)在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數(shù)。這在希臘當時是人們普遍接受的信仰！可是為當時的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數(shù)學史上一場大的風波，史稱“第一次數(shù)學危機”。
勾股定理
勾股定理
畢達哥拉斯本人以發(fā)現(xiàn)勾股定理(西方稱畢達哥拉斯定理)著稱于世。這定理早已為古巴比倫所知（在中國古代大約是公元前2到1世紀成書的數(shù)學著作《周髀算經》中假托商高同周公的一段對話。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五?！鄙谈吣嵌卧挼囊馑季褪钦f：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。這就是中國著名的勾股定理。），不過最早的證明大概可歸功于畢達哥拉斯。他是用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和，即畢達哥拉斯定理（勾股定理）。
任何一個學過代數(shù)或幾何的人，都會聽到畢達哥拉斯定理。這一著名的定理，在許多數(shù)學分支、建筑以及測量等方面，有著廣泛的應用．古埃及人用他們對這個定理的知識來構造直角．他們把繩子按3，4和5單位間隔打結，然后把三段繩子拉直形成一個三角形．他們知道所得三角形最大邊所對的角總是一個直角（3+4，5）。
畢達哥拉斯定理；給定一個直角三角形，則該直角三角形斜邊的平方，等于同一直角三角形兩直角邊平方的和。反過來也是對的；如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則該三角形為直角三角形。（勾股定理的逆命題）
數(shù)論
畢達哥拉斯對數(shù)論作了許多研究，將自然數(shù)區(qū)分為奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)、完全數(shù)、平方數(shù)、三角疏和五角數(shù)等。在畢達哥拉斯派看來，數(shù)為宇宙提供了一個概念模型，數(shù)量和形狀決定一切自然物體的形式，數(shù)不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀。在這個意義上，他們把數(shù)理解為自然物體的形式和形象，是一切事物的總根源。因為有了數(shù)，才有幾何學上的點，有了點才有線面和立體，有了立體才有火、氣、水、土這四種元素，從而構成萬物，所以數(shù)在物之先。自然界的一切現(xiàn)象和規(guī)律都是由數(shù)決定的，都必須服從“數(shù)的和諧”，即服從數(shù)的關系。
畢達哥拉斯還通過說明數(shù)和物理現(xiàn)象間的聯(lián)系，來進一步證明自己的理論。他曾證明用三條弦發(fā)出某一個樂音，以及它的第五度音和第八度音時，這三條弦的長度之比為6:4:3。他從球形是最完美幾何體的觀點出發(fā)，認為大地是球形的，提出了太陽、月亮和行星作均勻圓運動的思想。他還認為十是最完美的數(shù)，所以天上運動的發(fā)光體必然有十個。
理論
他還有一套這樣的理論：地球沿著一個球面圍繞著空間一個固定點處的“中央火”轉動，另一側有一個“對地星”與之平衡。這個“中央火”是宇宙的祭壇，是人永遠也看不見的。這十個天體到中央火之間的距離，同音節(jié)之間的音程具有同樣的比例關系，以保證星球的和諧，從而奏出天體的音樂。
整數(shù)
畢達哥拉斯和他的學派在數(shù)學上有很多創(chuàng)造，尤其對整數(shù)的變化規(guī)律感興趣。例如，把（除其本身以外）全部因數(shù)之和等于本身的數(shù)稱為完全數(shù)（如6，28， 496等），而將本身小于其因數(shù)之和的數(shù)稱為盈數(shù)；將大于其因數(shù)之和的數(shù)稱為虧數(shù)。
幾何學
在幾何學方面，畢達哥拉斯學派證明了“三角形內角之和等于兩個直角”的論斷；研究了黃金分割；發(fā)現(xiàn)了正五角形和相似多邊形的作法；還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。當然，還有一個重要貢獻——勾股定理。
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