科學(xué)之王——數(shù)學(xué)
古印度數(shù)學(xué)的傳說
數(shù)學(xué)是最集中、最深刻、最典型地反映了人類理性和邏輯思維所能達(dá)到的高度，所以，11世紀(jì)大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家高斯說：“數(shù)學(xué)是科學(xué)之王。”
話說在印度舍罕王時代，舍罕王發(fā)出命令：誰能發(fā)明一件讓人娛樂，又要在娛樂中使人增長知識，使人頭腦變得更加聰明的東西，本王就讓他終身為官，并且皇宮中的貴重物品任其挑選。
于是乎，全國上下能工巧匠紛紛而動，發(fā)明創(chuàng)造的一件又一件東西被送到舍罕王的面前，但是沒有一件讓他滿意。
這是一個風(fēng)和日麗的早晨，舍罕王閑著無聊，便和眾愛卿準(zhǔn)備到格拉察湖去釣魚。舍罕王忽然發(fā)現(xiàn)宰相西薩·班·達(dá)依爾沒有同來，便問道：“宰相干什么去了？”
“宰相因?qū)m中有一件事未處理好，正在那里琢磨呢?！币粋€大臣答道。
舍罕王沒有追問下去，便拿起魚竿釣起魚來，眾愛卿均忙乎著，于是，一枝枝長竿便同指湖心。
這時，小湖起著微微的漣漪，湖面在陽光照射下，閃爍出金剛鉆、綠寶石般的光芒，耀得人直眨眼。垂柳的枝條沐浴在湖水之中，湖岸邊長滿了菖蒲。
不一會兒，薄云遮住了太陽，太陽仿佛驟然扭過臉去，不理睬小湖，于是湖泊、村莊和樹林全都在剎那間黯淡下來；浮云一過，湖水便又閃閃發(fā)光，莊稼簡直像鍍上一層黃金。
舍罕王貪婪地吸著這鄉(xiāng)野的新鮮空氣，眼前的美景使他目不暇接，連魚竿都橫躺在湖面上了。正在這時，有人來報：宰相達(dá)依爾飛馬來到。
達(dá)依爾匆匆下馬，來到舍罕王的面前，稟道：“陛下，為臣在家中琢磨了許多天，終于發(fā)明了象棋，不知大王滿意否？”
舍罕王一聽此言，連忙說道：“什么象棋，趕快拿來看看?！?/font>
原來這位宰相有著超人的智慧和聰明的頭腦，尤其喜愛發(fā)明創(chuàng)造以及嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理。他發(fā)明的象棋是國際象棋，整個棋盤是由64個小方格組成的正方形。
國際象棋共32個棋子，每方各16個，它包括王一枚、王后一枚、仕兩枚、馬兩枚、車兩枚、卒八枚。雙方的棋子在格內(nèi)移動，以消滅對方的王為勝。
舍罕王看到此物后，喜不勝收，連忙招呼其他大臣與他對弈，一時間，馬騰蹄、卒拱動，車急馳，不一會，舍罕王大勝。
舍罕王于是打算重賞自己的宰相，便說道：“官不能再封了，你已做到頂了，如再要封，恐怕只有我讓位了?，F(xiàn)在重賞你財物，你要些什么？”
宰相“撲通”跪在國王面前說：“陛下，為臣別無他求，只請您在這張棋盤的第一個小格內(nèi)，賞給我一粒麥子，在第二個小格內(nèi)給二粒，第三格內(nèi)給四粒，第四格內(nèi)給八粒?？傊?，每一格內(nèi)都比前一格加一倍。陛下啊，把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給我，我就心滿意足了。”
看來，這位聰明的宰相胃口并不大，于是國王說道：“愛卿，你所求的并不多啊，你當(dāng)然會如愿以償?shù)摹！?/font>
國王心里為自己對這樣一件奇妙的發(fā)明，所許下的慷慨賞諾不致破費太多而暗喜。便令人把一袋麥子拿到寶座前。
計數(shù)麥粒的工作開始。第一格放一粒，第二格兩?！€不到第20格，袋子已經(jīng)空了。一袋又一袋的麥子被扛到國王面前。
但是，麥粒數(shù)一格接一格地增長得那樣迅速，開始是人扛，后來是馬車?yán)?，再后來，干脆一個糧庫也填不滿一個小格。很快就可以看出，即便拿來全印度的糧食，國王也兌現(xiàn)不了他對宰相許下的諾言了。
這到底是怎么回事，讓我們來算一算這位宰相到底要多少麥粒：
1+2+22+23+24+……+262+263
上面這個算式就是宰相所需要的麥粒，讓我們用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)方法算出其結(jié)果，即：
這個數(shù)字不像宇宙間的原子總數(shù)那樣大，不過也已經(jīng)夠可觀的。1蒲式爾（約35.2升）小麥約有500萬顆，照這個數(shù)，那就得給宰相拿來四萬億蒲式爾才行。
這位宰相所要求的，竟是全世界在2000年內(nèi)所生產(chǎn)的全部小麥！
這樣一來，舍罕王覺得自己金言一出，又不能兌現(xiàn)，怎么辦？一大臣獻(xiàn)計，找個原因殺他的頭。宰相西薩·班·達(dá)依爾的頭就這樣被獻(xiàn)上數(shù)學(xué)的祭壇。
上面這個故事可能是前人所編，只是傳說。但它說明一個問題，就是說古印度在數(shù)學(xué)科學(xué)方面，已有相當(dāng)大的成就。
中國古代的數(shù)學(xué)
中國古代從“結(jié)繩記事”時起，就有了初步的數(shù)學(xué)。古代甲骨文、金文中就有了記數(shù)的符號。如有“1”、“11”、“+”等記數(shù)法，這些記號可從出土的彩陶上得到證實。
中國古代的進(jìn)位制主要是十進(jìn)位。無論是進(jìn)位制還是長度都與古人的生理結(jié)構(gòu)直接有關(guān)，如人的手指、腳趾都是十個等。
中國古代對“幾何學(xué)”的認(rèn)識也非常早，如他們使用的石器、骨器、陶器以及住宅、墳?zāi)沟龋季哂幸欢ǖ膸缀涡螤睢?/font>
中國古代原始社會晚期對數(shù)和形的初步認(rèn)識，以及他們制做各種形狀并有一定比例的用具時，就出現(xiàn)了初等數(shù)學(xué)的萌芽。
到了夏、商、周時期，我國的記數(shù)方式以十進(jìn)位的方式從一記到萬。如用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬等的組合來記十萬以內(nèi)的自然數(shù)。
在這一時期，商代的數(shù)學(xué)系統(tǒng)比古巴比倫、古埃及同時代更先進(jìn)、更科學(xué)。
大約在西周時期，出現(xiàn)了一種十分重要的計算方法——籌算?；I算是用算籌來進(jìn)行的。算籌是圓形竹棍，直徑約0.2厘米，長約14厘米，以271根為一“握”。
在這一時期，還出現(xiàn)了簡單的四則運算，這在數(shù)學(xué)史上，應(yīng)該說是一件非常了不起的事情，是一個創(chuàng)舉。
而春秋戰(zhàn)國時期數(shù)學(xué)的進(jìn)步主要表現(xiàn)在四則運算的完善和計算工具的進(jìn)步方面。如在出土的戰(zhàn)國楚墓里，有一個竹筒，內(nèi)裝毛筆、銅削、天平、砝碼、算籌等。
總之，當(dāng)時在數(shù)學(xué)上既有工具，又有符號，還有部分口訣，如把這些成就和其他地區(qū)比較，可以明顯看出是處于先進(jìn)地位。
到了秦漢時期，我國的數(shù)學(xué)科學(xué)有了重大進(jìn)步，這表現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)專著的出現(xiàn)。這一時期，有我國最早的天文數(shù)學(xué)專著《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》等。
在《周髀算經(jīng)》中，有一段被尊為古代圣人的周公同一個名叫商高的數(shù)學(xué)家的對話，在對話中就提到了勾股弦定理，也即畢達(dá)哥拉斯定理。
這個定理，就是“直角三角形斜邊平方等于兩個直角邊平方之和”，這個定理在中國也被稱作是“商高定理”。
下面簡要介紹商高定理部分，周公和商高的部分對話：
周公：“我聽說你很精通數(shù)的藝術(shù)?？煞裾埬?wù)劰湃耸窃鯓訙y定天球度數(shù)的？沒有一種梯子可以使人攀登上天，地也無法用尺來測量。這些數(shù)據(jù)從何而來？”
商高：“數(shù)的藝術(shù)從圓形和方形開始，圓形出自方形，而方形又出自矩形，矩形出自9×9=81這個事實。
“假如把矩形的對角線切開，讓寬等于3個單位長，長等于4個單位，那么對角線的長度就是5個單位。古代大禹用來治理天下的方形，就是從這些數(shù)字中發(fā)展出來的?！?/font>
周公感嘆地說：“數(shù)學(xué)這門藝術(shù)真是了不起啊！我想再請教怎樣應(yīng)用直角三角尺？”
商高：“使直角三角尺平臥在地上，可以用繩子設(shè)計出平直的和方形的工程。把直角三角尺豎立起來，可以測量高度。倒立的直角三角尺可以用來測量深淺，而平放著就可以測量距離。讓它旋轉(zhuǎn)，就可以畫圓；把幾個合起來，就可以得到正方形和長方形?！?/font>
周公：“這真是太奇妙了！”
《周髀算經(jīng)》的偉大不僅僅在于對數(shù)學(xué)知識的闡述，更重要的是在占星術(shù)和卜筮占支配地位時，他們在討論天地現(xiàn)象時，卻絲毫不帶有迷信色彩！
這部數(shù)學(xué)專著還談到日影、不同緯度上日影的長度差、用窺管測量太陽直徑等等，還列出了一年中各個節(jié)氣的日影長度表。
《九章算術(shù)》
和《周髀算經(jīng)》幾乎同時，還有一部數(shù)學(xué)專著，科學(xué)史上稱它為《九章算術(shù)》，這是我國第一部最重要的數(shù)學(xué)專著。
《九章算術(shù)》大約成書于東漢初年，書中載有246個應(yīng)用題目的解法，涉及到算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何等多方面內(nèi)容。
其中所載述的分?jǐn)?shù)四則運算、比例算法、用勾股定理解決一些測量中的問題等，都是當(dāng)時世界最高科學(xué)水平的工作。而關(guān)于負(fù)數(shù)的概念和正負(fù)數(shù)加減法則的記載，也是世界數(shù)學(xué)科學(xué)史中最早的。
書中還講述了開平方、開立方、一元二次方程的數(shù)值解法、聯(lián)立一次方程解法等許多問題?！毒耪滤阈g(shù)》在我國古代數(shù)學(xué)史上有很大影響，在世界數(shù)學(xué)史上也占有重要地位。
《九章算術(shù)》大致可分為9個方面內(nèi)容：
（1）土地測量。書中列有直角三角形、梯形、三角形、圓、弧與環(huán)形等，并給出計算這些形狀面積的方法。
（2）百分法和比例，根據(jù)比例關(guān)系來求問題答案。
（3）算術(shù)級數(shù)和幾何級數(shù)。
（4）處理當(dāng)圖形面積及一邊長度已知時，求其他邊長的問題。還有求平方根、立方根等問題。
（5）立體圖形體積的測量和計算，實際計算的有墻、城墻、堤防、水道和河流等。
（6）解決征收稅收中的數(shù)學(xué)問題。像人們從產(chǎn)地運送谷物到京城交稅所需的時間等有關(guān)問題，還有按人口征稅的問題。
（7）過剩與不足的問題。也就是解決ax+b=0的問題。
（8）解方程和不定方程。
（9）直角三角形的性質(zhì)。
在“直角三角形的性質(zhì)”這一章中，有這樣一個問題：
一個水池，長寬各一丈，有棵蘆葦生在池中央，蘆葦出水面一尺高，讓蘆葦?shù)瓜虺剡?，正好蘆葦尖與池邊平齊。問水有多深？
這個問題后來又見于印度的數(shù)學(xué)著作中，又傳到了中世紀(jì)的歐洲。解決此問題只有利用相似直角三角形來完成。
《九章算術(shù)》對中國古代數(shù)學(xué)發(fā)生的影響，正像古希臘歐幾里得《幾何原本》對西方數(shù)學(xué)所產(chǎn)生的影響一樣，是非常深刻的。
在此后的一千多年的時間里，它一直被直接作為教科書使用。日本、朝鮮也都曾用它作教科書。各代學(xué)者都十分重視對這部算書的研究，在歐洲和阿拉伯的早期數(shù)學(xué)著作中，過剩與不足問題的算法，就被稱為“中國算法”，可見其獨創(chuàng)性。
我國古代杰出的數(shù)學(xué)家
到了三國兩晉南北朝時代，我國的數(shù)學(xué)科學(xué)已閃爍著耀眼的光芒，出現(xiàn)了歷史上杰出的數(shù)學(xué)家劉徽和祖沖之。這兩個不朽的人物為我國數(shù)學(xué)奠定了牢固的基礎(chǔ)。
先說劉徽，他是三國時代魏國人。關(guān)于他的身世和生平事跡，由于資料有限，我們了解得很少。他的活動區(qū)域大致在山東半島和江蘇北部一帶。
劉徽自幼熟讀《九章算術(shù)》，在魏陳留王景元四年（263）前后，為我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》作注，做了許多創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)理論工作，對我國古代數(shù)學(xué)體系的形成和發(fā)展影響很大，在數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。
《九章算術(shù)》體現(xiàn)了中國古代自先秦到東漢以來的數(shù)學(xué)成就。但當(dāng)時沒有發(fā)明印書的方法，這樣好的書也只能靠筆來抄寫。
在輾轉(zhuǎn)傳抄的過程中，難免會出現(xiàn)很多的錯誤，加上原書中是以問題集的形式編成，文字過于簡單，對解法的理論也沒有科學(xué)的說明。這種狀況明顯地妨礙了數(shù)學(xué)科學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。
劉徽為《九章算術(shù)》作注，在很大程度上彌補了這個重大的缺陷。在《九章算術(shù)注》中，他精辟地闡明了各種解題方法的道理，提出了簡要的證明，指出個別解法的錯誤。
尤其可貴的是，他還做了許多創(chuàng)造性的工作，提出了不少遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過原著的新理論?？梢哉f，劉徽的數(shù)學(xué)理論工作為建立具有獨特風(fēng)格的我國古代數(shù)學(xué)科學(xué)的理論體系，打下了堅實的基礎(chǔ)。
劉徽在《九章算術(shù)注》中，最主要的貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，為計算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法，開創(chuàng)了圓周率研究的新階段。
圓周率即圓的周長和直徑的比率，它是數(shù)學(xué)上的一個重要的數(shù)據(jù)，因此，推算出它的準(zhǔn)確數(shù)值，在理論上和實踐上都有重要的意義和貢獻(xiàn)。
在世界數(shù)學(xué)史上，許多國家的數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)把圓周率作為重要研究課題，為求出它的精確數(shù)值作了很大努力。在某種意義上說，一個國家歷史上圓周率精確數(shù)值的準(zhǔn)確程度，可以衡量這個國家數(shù)學(xué)的發(fā)展情況。
《九章算術(shù)》原著中，沿用自古以來的數(shù)據(jù)，即所謂“徑一周三”取π=3，這是很不精確的。到了后來，三國時期的王蕃（230～266）采用了3.1566，這雖然比“徑一周三”有了進(jìn)步，但仍不夠精密，而且也沒有理論根據(jù)。
怎樣才能算出比較精密的圓周率呢？劉徽苦苦地思索著。
一天，劉徽信步走出門去，去大自然呼吸新鮮的空氣。在他的眼前，群山綿綿不斷地伸展開去，好像數(shù)學(xué)哲理似的奧妙莫測。
劉徽的思路仿佛進(jìn)人群山的巍峨中，鑒證著大自然的不可思議的創(chuàng)造。劉徽抬眼望去，遠(yuǎn)處一個高聳入云的頂峰上，有一座小小的廟宇，他猜測著，數(shù)學(xué)的殿堂是不是也和這廟宇一樣，風(fēng)光而又曲折。
一陣叮叮當(dāng)當(dāng)?shù)捻懧曇鹆藙⒒盏淖⒁?，他朝著響聲走去，原來這是座石料加工場。這里的石匠師傅們正把方形的石頭打鑿成圓柱形的柱子。
劉徽頗感有趣，蹲在石匠師傅的身邊認(rèn)真地觀看著。只見一塊方石，經(jīng)石匠師傅砍去四角，就變成一塊八角形的石頭，再去掉八角又變成十六角形，這樣一鑿一斧的干下去，一方形石料加工成光滑的圓柱了。
劉徽恍然大悟，馬上跑回家去，認(rèn)真地在地上比劃著，原來方和圓是可以互相轉(zhuǎn)化的。
他把一個圓周分成相等的6段，連接這些分點組成圓內(nèi)正六邊形，再將每一分弧二等分，又可得到圓內(nèi)接正12邊形，如此無窮盡地分割下去，就可得到一個與圓完全相合的正“多邊形”。
劉徽由此指出：圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓面積，但“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣?！?/font>
這段話包含有初步的極限思想，思路非常明晰，為我國古代的圓周率計算確立了理論基礎(chǔ)。
綜合上面的論述，劉徽實際上建立了下面的不等式：
S2n＜S＜S2n+（S2n-Sn）
這里S是圓面積，S2n、Sn是圓內(nèi)接正多邊形的面積，n是邊數(shù)。
劉徽使用了這個方法，從圓內(nèi)接正6邊形算起，邊數(shù)依次加倍，直到正
他還繼續(xù)計算，直到求出了正3072邊形的面積，進(jìn)一步得到π的近似值
3.14和3.1416這兩個數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確程度比較高，在當(dāng)時世界上是很先進(jìn)的數(shù)據(jù)。
劉徽還明確地概括了正負(fù)數(shù)的加減法則，提出了多元一次方程組的計算程序，論證了求最大公約數(shù)的原理，對最小公倍數(shù)的算法也有一定的研究。
這些都是富有創(chuàng)造性的成果，因此可以說，劉徽通過注解《九章算術(shù)》，豐富和完善了中國古代的數(shù)學(xué)科學(xué)體系，為后世的數(shù)學(xué)發(fā)展奠立了基礎(chǔ)。
劉徽撰寫的《重差》，原是《九章算術(shù)注》的第十卷，后來單獨刊行，被稱作《海島算經(jīng)》。這是一部說明各種高度或距離的測量和計算方法的著作。就是關(guān)于幾何測量方面的著作。
有一次，劉徽和朋友們到海邊去散步，劉徽抬眼望去，那是一片偉麗而寧靜的、碧藍(lán)無邊的海。它在眼光所及的遠(yuǎn)處，與淡藍(lán)色的云天相連。
微風(fēng)愛憐地?fù)崦５木I緞似的胸膛，太陽用自己的熱烈的光線溫暖著它。而海，在這些愛撫的溫柔力量之下睡夢似的喘息著，使沸熱的空氣充滿了蒸發(fā)的鹽味。
淡綠的波浪跑到黃沙上來，拋擲著雪白的泡沫，吻著劉徽及朋友們的腳，劉徽心曠神怡，索性坐在沙灘上，讓那微咸的海水潤濕著褲腳。
這時，一個朋友指著茫茫大海中聳立著的一座孤島問道：“誰知道小島有多高？多遠(yuǎn)？”另一朋友想了想：“只要準(zhǔn)備一只小船和足夠的繩子，我就能量出小島的距離和高度?！?/font>
眾人哄地笑了起來，這得需要多少繩子，即使給你繩子，你也量不出小島的距離和高度。因為繩子有伸縮性，而小島有斜坡。再說，這辦法也太笨了。
這時，劉徽在一旁沉默不語，有人請他發(fā)表意見。劉徽說：“我根本不需要到小島去，只需兩根竹竿，即可量出它的高和遠(yuǎn)。”
朋友們睜大雙眼愣愣的望著劉徽，劉徽見朋友不相信他，便在水灘上畫出圖來。
然后解釋道：“在岸邊垂直豎立兩根一樣長的桿子GH和EF，使它們與小島AB位于同一方向上，然后分別在與兩桿頂E、G與島尖A成一直線的地面C和D點作記號，便可以了。
這樣一來CF、DH、HF、EF的長度我們都可量出來，現(xiàn)在來算出島的距離BF和島的高度AB，劉徽算出的結(jié)果是：
具體怎樣計算，我們就不再一一贅述了，讀者諸君如有興趣的話，不妨一試，來證明劉徽的公式。
劉徽在《九章算術(shù)注》的自序中說：“事類相類，各有攸歸。故枝條雖分，而同本干者，知發(fā)其一端而已。”
劉徽的研究方法和研究成果對我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了非常深刻的影響，為我國數(shù)學(xué)科學(xué)史增添了光輝的一頁。
近年來，國內(nèi)外出版了許多種關(guān)于研究的專集和專著，他的《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》被翻譯成許多國家的文字，向世界顯示了中華民族燦爛的古代文明。
劉徽之后的200年，我國南北朝時期又出現(xiàn)了一位大科學(xué)家祖沖之。他認(rèn)為劉徽采用割圓術(shù)只算到正3072邊形就停止了，得出的結(jié)果還是不夠準(zhǔn)確。
如果能在劉徽3072邊形的基礎(chǔ)上割之又割，作出6144、12288……邊形，不就可以求出更精確的圓周率嗎？
祖沖之不滿足于前人的成就，決定攀登新的高峰。他通過長期刻苦鉆研，在兒子祖暅的協(xié)助下，反復(fù)測算，終于求得了精確度更高的圓周率。
《隋書·律歷志》記載了他的成就：
“宋末，南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒7忽
（3.1415927丈），朒數(shù)3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒6忽
（3.1515926丈），正數(shù)在盈朒之間。密律：圓徑113，圓周355。約律：圓徑7，周23?！?/font>
從上述文字記載來看，祖沖之對圓周率貢獻(xiàn)有3點：
1.計算出圓周率在3.1415926到3.1415927之間，即3.1415926＜π＜3.1415927，在世界數(shù)學(xué)史上第一次把圓周率推算準(zhǔn)確到小數(shù)點后7位。
這在國外直到1000年后，15世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西計算到小數(shù)16位，才打破祖沖之的紀(jì)錄。
2.祖沖之明確地指出了圓周率的上限和下限，用兩個高準(zhǔn)確度的固定數(shù)作界限，精確地說明了圓周率的大小范圍，實際上已確定了誤差范圍，這是前所未有的。
3.祖沖之提出約率20/7和密率355/113。這一密率值是世界上第一次提出，所以有人主張叫它“祖率”。在歐洲，德國人奧托和荷蘭人安托尼茲得到這一結(jié)果，已是16世紀(jì)了。
祖沖之是怎樣得出這一結(jié)果的呢？他應(yīng)該是從圓內(nèi)接正6邊形、12邊形、24邊形……一直計算到12288邊形和24576邊形，依次求出它們的邊長和面積。
這需要對有9位有效數(shù)字的大數(shù)進(jìn)行加減乘除和開方運算，共一百多步，其中近50次的乘方和開方，有效數(shù)字達(dá)17位之多。
當(dāng)時，數(shù)字運算還沒有用紙、筆和數(shù)碼，而是用落后的籌算法。通過縱橫相間的小竹棍來演算，可見祖沖之付出多么艱巨的勞動，需要具備多么嚴(yán)肅認(rèn)真的精神。
祖沖之和他的兒子祖暅還用巧妙的方法解決了球體積的計算問題。在他們之前，《九章算術(shù)》中已經(jīng)正確地解決了圓面積和圓柱體體積的計算問題。
但是在這本書中，關(guān)于球體積的計算公式卻是錯誤的。劉徽雖然在《九章算術(shù)注》中指出了這個錯誤，但是也未能求出球體積的計算公式。
200年后，祖沖之父子繼續(xù)劉徽的工作，在我國數(shù)學(xué)史上第一次導(dǎo)出了正確的球體積公式。值得注意的是，祖暅在推算求證的過程中，得出了“等高處的橫截面積相等，那么二個立體的體積必然相等”的結(jié)論。
這個問題在1000年后才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利提出，被人稱為“卡瓦列利定理”，其實我們完全有權(quán)利稱它為“祖暅定理”。
祖沖之父子的研究成果匯集在一部名叫《綴術(shù)》的著作中，被定為“十部算經(jīng)”之一。可惜的是，到了宋朝以后，這部偉大的著作就失傳了。
祖沖之的科學(xué)成就，在我國以至世界科學(xué)技術(shù)發(fā)展史上，將永遠(yuǎn)放射光芒。為了紀(jì)念這位偉大的科學(xué)家，國際上把月球背面的一個山谷，命名為“祖沖之”，可見人們對祖沖之的敬仰。
李淳風(fēng)與數(shù)學(xué)
到了隋唐五代時期，數(shù)學(xué)科學(xué)有了較大的發(fā)展，在這一時期，國家創(chuàng)辦的學(xué)校中設(shè)置了數(shù)學(xué)教育，在科舉中有“明算科”。
在數(shù)學(xué)教育時，學(xué)生主要學(xué)習(xí)十部算經(jīng)：《九章算術(shù)》、《海島》、《孫子》、《五曹》、《張邱建》、《夏侯陽》、《周髀算經(jīng)》、《五經(jīng)算》、《綴術(shù)》、《緝古算經(jīng)》等。
其中《緝古算經(jīng)》是唐代著名數(shù)學(xué)家王孝通的專著，其他算經(jīng)均是前人所著。在《緝古算經(jīng)》中，王孝通已經(jīng)提出解三次（高次）方程的問題。
在數(shù)學(xué)科學(xué)上有特出貢獻(xiàn)的要算是唐高宗時代的李淳風(fēng)。他的貢獻(xiàn)倒不是在數(shù)學(xué)上有多大才能，而是注釋和校核了《算經(jīng)十書》。
唐朝初年，統(tǒng)治者為了培養(yǎng)能夠勝任計算工作的低級官員，決定開設(shè)專門考試數(shù)學(xué)的“明算科”。并在國子監(jiān)中設(shè)置算學(xué)館，招收“算學(xué)生”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
一開始，考試和學(xué)習(xí)都沒有統(tǒng)一教材，于是李淳風(fēng)奉命與梁述等人一起編輯整理一套規(guī)范的數(shù)學(xué)教材，它們就是我們上面介紹的十部算經(jīng)。
這是一項十分艱巨的工作，因為這些書不是成于一時一世，古代又沒有發(fā)明印刷術(shù)，全憑人手來抄，工程巨大。
另外，由于時代的局限性，古人的著作中也難免會有一些錯誤，如果完全照搬下來豈不是誤人子弟？
因此，李淳風(fēng)在這項工作中，不但對各種抄本進(jìn)行了認(rèn)真的核對，而且還校正了若干錯誤，為當(dāng)時的“算學(xué)生”和后人的學(xué)習(xí)帶來了極大的便利。
更重要的是，他把自己對某個數(shù)學(xué)問題的見解與其他后學(xué)者的科學(xué)成就以注解的形式附于有關(guān)正文之后，為中華民族的文化寶庫保存了不少瑰麗的珠寶。
其中最有代表性的要算祖暅推導(dǎo)球體積公式的記載，原來祖暅的成就和祖沖之一起被記載在《綴術(shù)》中，但后來《綴術(shù)》失傳，只能從李淳風(fēng)的注釋中得知。
縱觀中國古代數(shù)學(xué)，自《九章算術(shù)》成書后出現(xiàn)了兩個高潮期：一是我們前面說過的魏晉南北朝，一是我們馬上就要談到的宋朝和元朝。
在第一個高潮期，以“算經(jīng)十書”為代表的中國古代數(shù)學(xué)體系已經(jīng)形成；第二個高潮期將要出現(xiàn)一系列具有世界意義的成果。李淳風(fēng)正是處于這兩個高潮期之間的一個最為關(guān)鍵的人物。
設(shè)想一下，如果沒有唐初李淳風(fēng)校注的“算經(jīng)十書”，可能也不會有北宋年間的大量的刊刻算書和數(shù)學(xué)知識的普及，那么宋元時代的數(shù)學(xué)發(fā)展也許會推遲。
因此，李淳風(fēng)在中國數(shù)學(xué)史上占有不容忽視的地位。
另外，隋唐五代時的應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展較快，在歷法和天體的計算中，徐昂于公元822年創(chuàng)立了二次內(nèi)插法，并把數(shù)學(xué)用于稅收、工商業(yè)活動的大量的實際計算中。
秦九韶的高次方程
公元1819年7月1日，英國人霍納在皇家學(xué)會宣讀了一篇數(shù)學(xué)論文，提出了一種解任意高次方程的巧妙方法，一時引起了英國數(shù)學(xué)界的轟動。
由于這一方法有其獨到之處，而且對數(shù)學(xué)科學(xué)有很大的推進(jìn)作用，因而這一方法被命名為“霍納方法”。
但是沒過多久，意大利數(shù)學(xué)界就提出了異議，因為他們發(fā)現(xiàn)自己的同胞魯菲尼已在15年前就得到了同樣的方法，只是沒有及時地報道罷了。
因此，意大利數(shù)學(xué)界要求將這一數(shù)學(xué)方法命名為“魯菲尼方法”。于是英、意雙方開始了喋喋不休的爭論。
正巧，有個阿拉伯人前往歐洲，聽到了雙方的爭論后，不置可否地大笑起來。爭論雙方問他，為何這般嘲笑。
這位阿拉伯人從背包中掏出一本書，遞與爭論雙方，說道：“你們都不要爭了，依我看來，這個方法應(yīng)該稱作‘秦九韶方法’”。
他們這才知道，早在570多年前，有個叫秦九韶的中國人就發(fā)明了這種方法。雙方覺得他們的這場爭論已顯得毫無意義了。
秦九韶，生于1202年，南宋普州安岳（今四川安岳）人。他自幼隨做官的父親周游過許多地方。20歲的時候，秦九韶隨父親來到南宋的都城——臨安（今杭州）。
秦九韶被父親送到掌管天文歷法的大史院學(xué)習(xí)。在這里，他了解了制定歷法的一些基本算法和理論依據(jù)，這對于他后來寫作著名的《數(shù)書九章》大有益處。
后來他回到四川老家，在一個縣城里當(dāng)縣尉，這時，北方的元兵大舉進(jìn)犯，戰(zhàn)亂頻繁。他在這種動亂的環(huán)境中度過他的壯年。后來他在《數(shù)書九章》中寫了“天時”和“軍旅”等問題，想必與這段生活有關(guān)。
過了幾年，秦九韶的母親去世了，他按照封建社會的傳統(tǒng)，回家為母親守孝三年。正是在這段時間里，秦九韶完成了他的輝煌的數(shù)學(xué)著作——《數(shù)書九章》。
《數(shù)書九章》共分九大類，每類各有九題，全書共有81道數(shù)學(xué)題目，內(nèi)容包括天時、軍旅、賦役、錢谷、市易等類問題。
在這81道題目中，有的題目比較復(fù)雜，但題后大多附有算式和解法。正是在這些解法中包含著許多杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，高次方程的解法就是其中最重要的一項。
高次方程就是未知數(shù)的最高次冪在3次以上的。對于一元二次方程，我們可以用求根公式來解，三、四次的求根公式很復(fù)雜，至于五次以上的方程，那就沒有求根公式。
那么用什么辦法來解決呢？秦九韶創(chuàng)造的這種解法是一種近似的解法，但是它能夠把結(jié)果算到任意精確的程度，只要你按照一些簡單的程序，反復(fù)地進(jìn)行四則運算即可。
除了高次冪方程的解法之外，這本書中的另一項偉大成就是關(guān)于同余式方面的工作。什么叫同余式呢？
我們還是從“韓信點兵”的故事來說起：傳說漢代開國功臣韓信有一次到練兵場，只見軍士們龍騰虎躍，你來我往，好不熱鬧。
韓信問帶兵的軍官：“你們這里共有多少士兵？”
軍官說：“人太多太亂，數(shù)不準(zhǔn)確。”
韓信說：“你把令旗給我，我來給你點數(shù)?！?/font>
軍官一聽，慌忙將令旗奉上，只見韓信揮起令旗，命令道：“排一長隊。”
韓信見軍士們已排好長隊，便交待道：“先從1到3報數(shù)，再從1到5報數(shù)，最后從1到7報數(shù)。報完后，把剩余的人數(shù)告訴我，我便知總的軍士人數(shù)。
于是，軍士們便認(rèn)真地報起數(shù)來，第一報數(shù)后余2；第2報數(shù)后余3，第3報數(shù)后余2，韓信掐指一算，共計233人。
其實，“韓信點兵”問題又叫“孫子問題”，最早出現(xiàn)在公元4世紀(jì)的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中。原來的問題是這樣表述的：
“有物不知其數(shù)，三個一數(shù)余2，五個一數(shù)余3，七個一數(shù)余2，問該物總數(shù)幾何？”
這個問題按照現(xiàn)在的人可以列出方程來：設(shè)總數(shù)為N，X為3人一數(shù)的次數(shù)，Y為5人一數(shù)的次數(shù)，Z為7人一數(shù)的次數(shù)，則：
N=3x+2 N=5y+3 N=7z+2
三個方程式，但卻有四個未知數(shù)，這就叫不定方程。解不定方程在現(xiàn)代數(shù)論中有一個著名定理：剩余定理。
但這個問題出現(xiàn)在公元4世紀(jì)的中國算書中，他們雖然給出了算法，但卻沒有明確地表述和證明這個定理。
到公元13世紀(jì)，大數(shù)學(xué)家秦九韶集前人之大成，在同余式的研究上獲得了超越前人的成果。
什么叫同余式呢？在上面的故事中，如果三人一組剩2人，那么總?cè)藬?shù)可能是5、是8、也可能是11……。
換句話說，5、8、11……這些數(shù)被3除后余數(shù)相等，那么我們就說5、8、11……等數(shù)對于3是同余的，用數(shù)學(xué)符號寫出來就是5≡8≡11（mod3），這個式子叫同余式。
秦九韶在寫作《數(shù)書九章》時，把當(dāng)年在太史局學(xué)到的天文學(xué)知識與《孫子算經(jīng)》的數(shù)學(xué)問題結(jié)合起來，發(fā)展了同余式的理論和算法，從而圓滿解決了韓信點兵之類問題。
秦九韶還有許多數(shù)學(xué)創(chuàng)造，他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念和表示法的人。他還獨立地推導(dǎo)出已知三邊求三角形面積的公式：
秦九韶在多元一次方程組和幾何測量方面也有創(chuàng)新。他是世界上最偉大數(shù)學(xué)家之一，《數(shù)書九章》標(biāo)志著中國的古代數(shù)學(xué)達(dá)到了一個新的高峰。
楊輝與數(shù)學(xué)
宋元數(shù)學(xué)四大家之一的楊輝，他是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。
說起楊輝的這一成就，還得從偶然的一件小事說起。
一天，臺州府的地方官楊輝出外巡游，路上，前面銅鑼開道，后面衙役殿后，中間，大轎抬起，好不威風(fēng)。
迷人的春天慷慨地散布著芳香的氣息，帶來了生活的歡樂和幸福。杜鵑隱藏在芒果樹的枝頭。用它那圓潤、甜蜜、動人心弦的鳴囀來喚醒人們的希望。
成群的畫眉鳥像迎親似的蹲在樹的枝丫上，發(fā)出婉麗的啼聲。楝樹、花梨樹和栗樹都仿佛被自身的芬芳熏醉了。
楊輝撩起轎簾，看那雜花生樹，飛鳥穿林，真乃春色怡人淡復(fù)濃，喚侶黃鸝弄曉風(fēng)。更是一年好景，旖旎風(fēng)光。
走著、走著，只見開道的鏜鑼停了下來，前面?zhèn)鱽砗⑼拇舐暫敖新?，接著是衙役惡狠狠的?xùn)斥聲。楊輝忙問怎么回事，差人來報：“孩童不讓過，說等他把題目算完后才讓走，要不就繞道。”
楊輝一看來了興趣，連忙下轎抬步，來到前面。衙役急忙說：“是不是把這孩童哄走？”
楊輝摸著孩童頭說：“為何不讓本官從此處經(jīng)過？”
孩童答道：“不是不讓經(jīng)過，我是怕你們把我的算式踩掉，我又想不起來了?！?/font>
“什么算式？”
“就是把1到9的數(shù)字分三行排列，不論直著加，橫著加，還是斜著加，結(jié)果都是等于15。我們先生讓下午一定要把這道題做好。我正算到關(guān)鍵之處?！?/font>
楊輝連忙蹲下身，仔細(xì)地看那孩童的算式，覺得這個數(shù)字，從哪見過，仔細(xì)一想，原來是西漢學(xué)者戴德編纂的《大戴禮》書中所寫的文章中提及的。
楊輝和孩童倆人連忙一起算了起來，直到天已過午，倆人才舒了一口氣，結(jié)果出來了，他們又驗算了一下，覺得結(jié)果全是15，這才站了起來。我們把算式擺出來：
（在左邊的方塊中，無論你橫、豎、斜著加結(jié)果都是15。請試一下）
孩童望著這位慈祥和善的地方官說：“耽擱你的時間了，到我家吃飯吧！”
楊輝一聽，說：“好，好，下午我也去見見你先生?！?/font>
孩童望著楊輝，淚眼汪汪，楊輝心想，這里肯定有什么蹊蹺，溫和地問道：“到底是怎么回事？”
孩童這才一五一十把原因道出：原來這孩童并未上學(xué)，家中窮得連飯都吃不飽，哪有錢讀書。而這孩童給地主家放牛，每到學(xué)生上學(xué)時，他就偷偷地躲在學(xué)生的窗下偷聽，今天上午先生出了這道題，這孩童用心自學(xué)，終于把它解決了。
楊輝聽到此，感動萬分，一個小小的孩童，竟有這番苦心，實在不易。便對孩童說：“這是10兩銀子，你拿回家去吧。下午你到學(xué)校去，我在那兒等你。”
下午，楊輝帶著孩童找到先生，把這孩童的情況向先生說了一遍，又掏出銀兩，給孩童補了名額，孩童一家感激不盡。自此，這孩童方才有了真正的先生。
教書先生對楊輝的清廉為人非常敬佩，于是倆人談?wù)撈饠?shù)學(xué)。楊輝說道：“方才我和孩童做的那道題好像是《大戴禮》書中的？”
那先生笑著說：“是啊，《大戴禮》雖然是一部記載各種禮儀制度的文集，但其中也包含著一定的數(shù)學(xué)知識。方才你說的題目，就是我給孩子們出的數(shù)學(xué)游戲題?！?/font>
教書先生看到楊輝疑惑的神情，又說道：“南北朝的甄鸞在《數(shù)術(shù)記遺》一書中就寫過：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履，一五居中央。”
楊輝默念一遍，發(fā)現(xiàn)他說的正與上午他和孩童擺的數(shù)字一樣，便問道：“你可知道這個九宮圖是如何造出來的？”
教書先生也不知出處。楊輝回到家中，反復(fù)琢磨，一有空閑就在桌上擺弄著這些數(shù)字，終于發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律。
他把這條規(guī)律總結(jié)成四句話：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出”。就是說：一開始將九個數(shù)字從大到小斜排三行，然后將9和1對換，左邊7和右邊3對換，最后將位于四角的4、2、6、8分別向外移動，排成縱橫三行，就構(gòu)成了九宮圖。
下面我們演示一下：
（九子斜排）（上下對易，左右相更）（四維挺出）
按照類似的規(guī)律，楊輝又得到了“花16圖”，就是從1到16的數(shù)字排列在四行四列的方格中，使每一橫行、縱行、斜行四數(shù)之和均為34。讀者諸君，不妨一試。
后來，楊輝又將散見于前人著作和流傳于民間的有關(guān)這類問題加以整理，得到了“五五圖”、“六六圖”、“衍數(shù)圖”、“易數(shù)圖”、“九九圖”、“百子圖”等許多類似的圖。
楊輝把這些圖總稱為縱橫圖，并于1275年寫進(jìn)自己的數(shù)學(xué)著作《續(xù)古摘奇算法》一書中，并流傳后世。
縱橫圖，也叫幻方，它要求把從1到n2個連續(xù)的自然數(shù)安置在n2個格子
理。但長期以來，人們習(xí)慣于把它當(dāng)作純粹的數(shù)學(xué)游戲，沒有給予應(yīng)有重視。隨著近代組合數(shù)學(xué)的發(fā)展，縱橫圖顯示了越來越強大的生命力，在圖論、組合分析、對策論、計算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域中，找到了用武之地。
楊輝可以說是世界上第一個給出了如此豐富的縱橫圖和討論了其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。
楊輝除此成就之外，還有一項重大貢獻(xiàn)，就是“楊輝三角”。
有一次，楊輝得到一本《黃帝九章算法細(xì)草》，這是北宋數(shù)家賈憲寫的。這里面有不少了不起的成就，如賈憲描畫了一張圖，叫作“開方作法本源圖”。
圖中的數(shù)字排列成一個大三角形，位于兩腰上的數(shù)字均是1，其余數(shù)字則等于它上面兩數(shù)字之和。
從第二行開始，這個大三角形的每行數(shù)字，都對應(yīng)于一組二項展開式的系數(shù)，下面試舉例說明：
在第三行中，1、3、3、1，這4個數(shù)字恰好是對應(yīng)于（X+1）3=X3+3X2+3X+1；
再如第四行對應(yīng)于（X＋1）4=X4+4X3+6X2+4X+1。以此類推。
楊輝把賈憲的這張畫忠實地記錄下來，并保存在自己的《詳解九章算術(shù)》一書中。
后來人們發(fā)現(xiàn)，這個大三角形不僅可以用來開方和解方程，而且與組合、高階等差級數(shù)、內(nèi)插法等數(shù)學(xué)知識都有密切關(guān)系。
在西方，直到16世紀(jì)才有人在一本書的封面上繪出類似的圖形。法國數(shù)學(xué)家巴斯加在1654年的論文中詳細(xì)地討論了這個圖形的性質(zhì)，所以在西方又稱“巴斯加三角”。
楊輝除上述成就外，還分別寫了《日用算法》、《乘除通變本末》和《田畝比類乘除捷法》等書，這為后世的人們了解當(dāng)時的數(shù)學(xué)面貌提供了極為重要的資料。
楊輝的幾部著作極大地豐富了我國古代數(shù)學(xué)寶庫，為數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)，他不愧為“宋元四大家”之一。
朱世杰的《四元玉鑒》
朱世杰是元朝一位杰出的數(shù)學(xué)科學(xué)家。
朱世杰，字漢卿，號松庭，燕山（今北京）人氏。他長期從事數(shù)學(xué)研究和教育事業(yè)，以數(shù)學(xué)名家周游各地20多年，四方登門來學(xué)習(xí)的人很多。他的主要著作有《算學(xué)啟蒙》三卷和《四元玉鑒》三卷。
說起朱世杰周游各地，這里還有一段鮮為人知的佳話，我們把這段佳話介紹給讀者。
13世紀(jì)末，歷經(jīng)戰(zhàn)亂的祖國為元王朝所統(tǒng)一，遭到破壞的經(jīng)濟(jì)和文化又很快繁榮起來。蒙古統(tǒng)治者為了興邦安國，便尊重知識，選拔人才，把各門科學(xué)推向新的高峰。
有一天，風(fēng)景秀麗的揚州瘦西湖畔，來了一位教書先生，在寓所門前掛起一塊招牌，上面用大字寫著：“燕山朱松庭先生，專門教授四元術(shù)”。
不幾天，朱世杰門前門庭若市，求知者絡(luò)繹不絕，就在朱世杰在接待學(xué)生報名之時，突然一聲聲叫罵聲引起他的注意。
只見一穿綢戴銀半老徐娘，追著一年輕的姑娘，邊打邊罵：“你這賤女人，大把的銀子你不抓，難道想做大家閨秀，只怕你投錯了胎，下輩子也別想了?！?/font>
那姑娘被打得皮開肉綻，連內(nèi)身衣服都被撕壞了。姑娘蜷成一團(tuán)，任憑她打，也不跟她回去。
朱世杰路見不平，便上前詢問，那半老徐娘見冒出一個愛管閑事之人，就嘲笑道：“你難道想抱打不平，你送上50兩銀子，這姑娘就歸你了！”
朱世杰見此情景，大怒道：“難道我掏不出50兩銀子。光天化日之下，竟胡作非為，難道沒有王法不成？”
那半老徐娘諷刺道：“你這窮鬼，還談什么王法，銀子就是王法，你若能掏出50兩銀子，我便不打了?！?/font>
朱世杰憤怒已極，從口袋里抓出50兩銀子，摔在半老徐娘面前，拉起姑娘就回到自己的教書之地。
原來，那半老徐娘是妓女院的鴇母，而這姑娘的父親因借鴇母的10兩銀子，由于天災(zāi)，還不起銀子，只好賣女兒抵債。今天碰巧遇上朱世杰，才把姑娘救出苦海。
后來，在朱世杰的精心教導(dǎo)下，這姑娘也頗懂些數(shù)學(xué)知識，成了朱世杰的得力助手，不幾年，兩人便結(jié)成夫妻。
所以，揚州民間至今還流傳著這樣一句話：
元朝朱漢卿
教書又育人
救人出苦海
婚姻大事成
上面這段佳話是不是事實，已不好考證，但說明了朱世杰在做學(xué)問的同時，還有著一顆慈愛的心。
再說朱世杰在數(shù)學(xué)科學(xué)上，全面地繼承了秦九韶、李冶、楊輝的數(shù)學(xué)成就，并給予創(chuàng)造性的發(fā)展，寫出了《算學(xué)啟蒙》、《四元玉鑒》等著名作品，把我國古代數(shù)學(xué)推向更高的境界，形成宋元時期中國數(shù)學(xué)的最高峰。
《算學(xué)啟蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（1299）刊印的，全書共三卷，20門，總計259個問題和相應(yīng)的解答。
這部書從乘除運算起，一直講到當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展的最高成就“天元術(shù)”，全面介紹了當(dāng)時數(shù)學(xué)所包含的各方面內(nèi)容。
它的體系完整，內(nèi)容深入淺出，通俗易懂，是一部很著名的啟蒙讀物。這部著作后來流傳到朝鮮、日本等國，出版過翻刻本和注釋本，產(chǎn)生過一定的影響。
而《四元玉鑒》更是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著。它受到近代數(shù)學(xué)史研究者的高度評價，認(rèn)為是中國古代數(shù)學(xué)科學(xué)著作中最重要的、最有貢獻(xiàn)的一部數(shù)學(xué)名著。
《四元玉鑒》成書于大德七年（1303），共三卷，24門，288問，介紹了朱世杰在多元高次方程組的解法——四元術(shù)，以及高階等差級數(shù)的計算——垛積術(shù)、招差術(shù)等方面的研究和成果。
“天元術(shù)”是設(shè)“天元為某某”，即某某為x。但當(dāng)未知數(shù)不止一個的時候，除設(shè)未知數(shù)天元（x）外，還需設(shè)地元（y）、人元（z）及物元（u），再列出二元、三元甚至四元的高次聯(lián)方程組，然后求解。
這在歐洲，解聯(lián)立一次方程開始于16世紀(jì)，關(guān)于多元高次聯(lián)立方程的研究還是18至19世紀(jì)的事了。
朱世杰的另一重大貢獻(xiàn)是對于“垛積術(shù)”的研究。他對于一系列新的垛形的級數(shù)求和問題作了研究，從中歸納為“三角垛”的公式，實際上得到了這一類任意高階等差級數(shù)求和問題的系統(tǒng)、普遍的解法。
朱世杰還把三角垛公式引用到“招差術(shù)”中，指出招差公式中的系數(shù)恰好依次是各三角垛的積，這樣就得到了包含有四次差的招差公式。
他還把這個招差公式推廣為包含任意高次差的招差公式，這在世界數(shù)學(xué)史上是第一次，比歐洲牛頓的同樣成就要早近4個世紀(jì)。
正因為如此，朱世杰和他的著作《四元玉鑒》才享有巨大的國際聲譽。近代日本、法國、美國、比利時以及亞、歐、美許多國家都有人向本國介紹《四元玉鑒》。
美國已故的著名的科學(xué)史家薩頓是這樣評說朱世杰的：
“（朱世杰）是中華民族的、他所生活的時代的、同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)科學(xué)家。”
“《四元玉鑒》是中國數(shù)學(xué)著作中最重要的，同時也是中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一。它是世界數(shù)學(xué)寶庫中不可多得的瑰寶?！?/font>
從此中可以看出，宋元時期的科學(xué)家及其著作，在世界數(shù)學(xué)史上起到了不可估量的作用。
除了以上成就外，朱世杰還在他的著作中提出了許多值得注意的內(nèi)容：
1.在中國數(shù)學(xué)史上，他第一次正式提出了正負(fù)數(shù)乘法的正確法則；
2.他對球體表面積的計算問題作了探討，這是我國占代數(shù)學(xué)典籍中唯一的一次討論。結(jié)論雖不正確，但創(chuàng)新精神是可貴的；
3.在《算學(xué)啟蒙》中，他記載了完整的“九歸除法”口訣，和現(xiàn)在流傳的珠算歸除口訣幾乎完全一致。
總之，朱世杰繼承和發(fā)展了前人的數(shù)學(xué)成就，為推進(jìn)我國古代數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。朱世杰不愧是我國乃至世界數(shù)學(xué)史上負(fù)有盛名的數(shù)學(xué)家。
由于朱世杰和其他同時代數(shù)學(xué)家的共同努力，使宋元時期的數(shù)學(xué)達(dá)到了光輝的高度，在很多方面都居于世界前列。
自朱世杰之后，我國這種在數(shù)學(xué)上高度發(fā)展的局面不但沒有保持發(fā)展下去，反而很多成就在明、清一段時期內(nèi)失傳。這實在是科學(xué)史上的一件憾事。
“科學(xué)之父”的推動
且說古希臘對數(shù)學(xué)似乎有著特別大的興趣，尤其是在幾何學(xué)方面。這在一定程度上應(yīng)當(dāng)歸功于畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖。他們都是數(shù)學(xué)的崇拜者和鼓吹者。
據(jù)說柏拉圖在他所創(chuàng)辦的學(xué)園的大門口就有著“不懂幾何學(xué)者不得入內(nèi)”的牌子，可見數(shù)學(xué)在古希臘的重要性。
在其他古老的國家里，數(shù)學(xué)基本上是一門實用性的學(xué)科，而在古希臘，也像我們在前面所看到的天文學(xué)的情況那樣，他們是著重于向理論發(fā)展的。
古希臘最早的數(shù)學(xué)家可能要算被西方稱作是“科學(xué)之父”的泰勒斯了。據(jù)說他提出并證明了下列幾何學(xué)基本命題：
1.圓為它的任一直徑所平分；
2.半圓的圓周角是直角；
3.等腰三角形兩底角相等；
4.相似三角形的各對應(yīng)邊成比例；
5.若兩三角形兩角和一邊對應(yīng)相等，則兩三角形全等。
這些定理是每一個現(xiàn)代中學(xué)生都知道的，他們簡單得不能再簡單了。但是，就是這些簡單的理論，構(gòu)成了今天極其復(fù)雜而又高深理論的根基。
試想，今天的球面幾何學(xué)，射影幾何學(xué)，非歐幾何學(xué)等等，有哪一門不是從這最簡單的定理發(fā)生推演出來的呢？
泰勒斯年輕時去過埃及，在那里，他向埃及人學(xué)習(xí)了幾何學(xué)知識。但埃及人的幾何學(xué)在當(dāng)時只是為了劃分地產(chǎn)而研究的。
在那里，埃及的人們只懂得在一塊具體的地面上來規(guī)劃、計算，以弄清人們的地產(chǎn)界線。因為，每年尼羅河一漲水，所有的地面痕跡都被沖毀了，人們在漲水后不得不重新進(jìn)行測量計算。
埃及人很早在實踐中就懂得“所有直徑都平分圓周；三角形有兩條邊相等，則其所對的角也相等”，但都沒有從理論上給予概括，并科學(xué)地去證明它。
泰勒斯并不滿足于僅僅向埃及人學(xué)習(xí)這些，他經(jīng)過思考將這些具體的，只是實際操作的知識給予抽象化、理論化，使之概括成為科學(xué)的理論。
上面所概括的幾條定理，是埃及人在幾百年前在實踐中便得知的，但并沒有把具體的知識提升到理論高度。泰勒斯在這方面做出了卓越的貢獻(xiàn)。
泰勒斯不僅把具體的知識理論化，而且還天才地將理論運用到實際中去。下面講一個泰勒斯解決金字塔高度的故事。
這是一個夏天，靜寂的熱氣在大地上蒸騰，閃著光，閑散而輕柔的晃動著，儼如在小溪里游動著的魚。
而遠(yuǎn)處，那些擋住了視野的山崖不停地閃著青的白的反光。底下是一片被灼熱的陽光所臨照的田野，裸麥的花粉在田間飄浮著，像一片輕煙。
泰勒斯正在金字塔的陰影下歇息著，他身邊坐著幾位和他同齡的貴族子弟。他們邊抽著煙邊議論著瑣事。
一貴族說道：“親愛的泰勒斯先生，請您告訴我，你到埃及的日子里有些什么收獲呢？總不會空空而回吧？”
因為泰勒斯也是貴族出身，在和家人分家的時候，泰勒斯一樣?xùn)|西也不要，只帶些錢去埃及游學(xué)了。所以，認(rèn)識他的人都把他叫做傻子。而這個貴族正是基于此，想找個法子戲弄他。
泰勒斯從容不迫地答道：“親愛的先生們，我們或許追求不同、也許你喜歡金錢，也許你喜歡女人，而我則不同，只以追求科學(xué)知識為光榮。”
眾貴族子弟望著他，泰勒斯又說道：“我這次到埃及游學(xué)，我認(rèn)為我得到了我一生中最大的收獲，我把埃及人的幾何知識提到了理論高度，并給予證明?！?/font>
那貴族說道：“我請問泰勒斯先生，你的那些東西我們都看到過了，那又有什么用呢？它能算出金字塔有多高嗎？”
泰勒斯聽這么一說，當(dāng)時沒有馬上想出辦法，便說：“怎樣測出金字塔的高度，讓我回去好好想一想，咱們5天后見！”
其實，不但這些貴族子弟想知道金字塔的高度，全埃及的人都想知道。最著急的應(yīng)該算尼羅河的祭司們，因為正是這些祭司們掌握著埃及的數(shù)學(xué)。
到了第5天，泰勒斯如約而至。由于這些貴族子弟回去后，把泰勒斯要算出金字塔高度的消息告訴了全城百姓，所以金字塔旁人山人海，尼羅河祭司站在最前邊。
泰勒斯望著人們，清了清嗓子，說道：“你們不是想知道金字塔的高度嗎？這其實是很簡單的事?！?/font>
人們聽他這么一說，嘈雜的人群立時靜了下來，千百雙眼直盯著泰勒斯。
泰勒斯說道：“當(dāng)你自己的影子和你身體一樣高時，你就去測量金字塔的影長，這便是金字塔的高度?！?/font>
多聰明的主意！
全城的老百姓怔了一會，忽地?fù)硐蛱├账?，把他高高抬起，歡呼著。而想戲弄泰勒斯的貴族為自己的無知深深地低下了頭。那時祭司們慌慌忙忙回去拿皮尺了。
講到這里，這使我們想起我國古代曹沖稱象的故事（我們另章介紹），他們進(jìn)行邏輯推理的根據(jù)都是一種“代換法”。值得指出的是，在泰勒斯之前，沒有人想到這種合理的推論。
泰勒斯是第一個以思維的理性頭腦和科學(xué)精神面向自然界的人，他一生以自己的思考尋求問題的答案，如果我們追尋人類第一個進(jìn)行科學(xué)思維的代表人物，那么，泰勒斯是當(dāng)之無愧的。
關(guān)于泰勒斯的傳說和軼事流傳很多，這些傳說雖然未必真實，但對我們了解他的生平和性格，是很有幫助的。
有一次，一個鄰舍譏笑泰勒斯說：“人家都說你是天才，但依我看，你是個笨蛋。試想，如果你真的聰明的話，為什么不發(fā)財呢？”
泰勒斯笑著說：“要想發(fā)財，那還不易如反掌！”
鄰居不屑地說：“做出來給我們看看，不要光說大話?！?/font>
其實，泰勒斯利用各方面的知識，已經(jīng)預(yù)見橄欖今年必然要獲得大豐收。為了回敬這位鄰居的誣蔑，他就壟斷了這一地區(qū)的全部榨油機(jī)。
果然不出所料，橄欖獲得空前豐收，于是人們爭相購買榨油機(jī)，但無一臺榨油機(jī)出售，因為全被泰勒斯事先用低價買下了。
于是，人們紛紛奔向泰勒斯家，泰勒斯用自定的價格出售，榨油機(jī)還是供不應(yīng)求，就這樣，泰勒斯獲得巨額財富。
他用現(xiàn)身說法，痛斥了鄰居的不敬，用事實證明發(fā)財不見得比研究天文學(xué)更加困難。他終于走上了探討大自然奧秘的道路。
還有一個故事，是由普盧塔克記載的，叫梭倫的故事，也頗為幽默。
有一天，梭倫到米利都去探望泰勒斯，見他還是孤身一人，便問道：“泰勒斯，你已功成名就，為什么不結(jié)婚？”
泰勒斯當(dāng)時沒有回答。幾天之后，泰勒斯帶著一個陌生人到了梭倫的家中。那陌生人對梭倫說：“十天前，我還在雅典呢。”
梭倫的妻子兒女均在雅典，所以梭倫對雅典很關(guān)心，便問道：“雅典有什么新聞？”
那人說：“有一個青年人的葬禮轟動了全城，因為其父是一位尊貴人物。兒子死時父親不在家，他很久以前就出外游歷去了。”
梭倫急切地問：“他叫什么名字？”
那人說已記不清，只聽說他很聰明、很正直。
當(dāng)驚慌失措的梭倫就要猜出死者是自己兒子的時候，泰勒斯笑著說：“這就是我不娶妻生兒的原因，這點事連你那么堅強的人都承受不了。不過，這個消息完全是虛構(gòu)的，是我們的雙簧，請不必介意?！?/font>
梭倫這才如釋重負(fù)地舒了一口氣。
其實泰勒斯是比較溫和的，他之所以對梭倫這樣做，是因為他們之間是真摯的老朋友，開個玩笑而已。
泰勒斯言談幽默并常含哲理。他對于“怎樣才能過著正直的生活？”的回答是：“不要做你討厭別人做的事。”這和中國的“己所不欲，勿施于人”如出一轍。
有人問泰勒斯：“你見過最奇怪的事情是什么？”他回答道：“長壽的暴君?！?/font>
又有人問：“你作出一項天文學(xué)的發(fā)現(xiàn)，想得到什么？”他答道：“當(dāng)你告訴別人時，不說是你的發(fā)現(xiàn)，而說是我的發(fā)現(xiàn)，這就是對我的最高獎賞。”
泰勒斯的影響是巨大的，數(shù)百年的希臘科學(xué)的繁榮，泰勒斯的首創(chuàng)之功，不可磨滅。
泰勒斯的學(xué)生
在這一時期，另一位為后世稱頌的古希臘學(xué)者要算是泰勒斯的學(xué)生，提出數(shù)學(xué)是宇宙萬物之本源的畢達(dá)哥拉斯。
畢達(dá)哥拉斯生于公元前582年，他父親叫姆內(nèi)撒克斯，是一位很有錢的希臘人。他想讓兒子受到很好的教育，便請了當(dāng)時著名的兩位老師來教兒子。
畢達(dá)哥拉斯是一位天才少年，在很短時間里，他的數(shù)學(xué)和哲學(xué)程度就超過了他的老師。當(dāng)他還不到20歲時，就離開家鄉(xiāng)到文化發(fā)達(dá)的地方去尋求知識了。
畢達(dá)哥拉斯是個純粹的少年，身體修長，面孔充滿熱情，他懷著理想和好奇來到了求知的第一站——巴比倫。
在巴比倫的幾年時間里，他學(xué)到了許多知識，但他并不滿足，結(jié)束了在巴比倫的學(xué)習(xí)后，他又來到另一文明古國——印度。
幾百年的印度文化深深地吸引著畢達(dá)哥拉斯，他一頭鉆進(jìn)科學(xué)的海洋里，吮吸著科學(xué)之蜜。這是他能夠在以后成為著名科學(xué)家，所必須的前題。
在印度，他還學(xué)習(xí)了印度的佛教。佛教對他后來的生活產(chǎn)生了相當(dāng)大的影響，使他的思想追求某種神秘性，帶上了某種喜歡不切合實際的夢想的色彩。
結(jié)束了印度之行，畢達(dá)哥拉斯回到西方，住在埃及，他又被埃及那精深的幾何學(xué)深深吸引住了，他便向祭司們學(xué)習(xí)了幾何學(xué)。
畢達(dá)哥拉斯定理，也即勾股弦定理，就是在這里發(fā)現(xiàn)的。這里，也有一段美妙而動人的故事。
卻說畢達(dá)哥拉斯在向祭司學(xué)習(xí)幾何的過程中，與祭司的表妹長久相處，漸漸雙方有了感情，而且相愛甚篤。
畢達(dá)哥拉斯是個極富天才旦人長得又帥的小伙子，而祭司的表妹則是一枝鮮美花朵似的姑娘。她傾羨他的美貌，又仰慕他的才華。于是，雙方陷入情網(wǎng)之中。
那天傍晚，溫和的太陽顏色只是淡淡的，田野懶洋洋地仿佛快睡著了。各處村子上的小鐘在靜寂的原野上悠悠地響著，一縷縷煙在阡陌縱橫的田間緩緩上升。
畢達(dá)哥拉斯帶著女友漫步在田野上，一片輕盈的暮靄在遠(yuǎn)處飄浮。白的霧鋪在潮濕的地下，等著黑夜降臨。
畢達(dá)哥拉斯拉著女友的手慢慢地走著，他極目望去，遠(yuǎn)處金字塔在暮靄中閃著粉紅色的光芒，他驀地想起白天的問題。
華達(dá)哥拉斯的問題是，在直角三角形中，已知兩邊的長，怎樣算出第三邊的長度。下午，他和女友在屋內(nèi)已經(jīng)討論了半天，也沒有討論出頭緒。
女友也是極有知識之人，她的出現(xiàn)無疑給畢達(dá)哥拉斯帶來活力。華達(dá)哥拉斯邊走邊想著：如果畫上十個直角三角形，再量第三邊長度，先把它們之間的關(guān)系弄明白，然后再用理論求證，豈不是一條捷徑？
畢達(dá)哥拉斯想到這，拉著女友轉(zhuǎn)回頭，朝住處跑去。女友到他的住處后，才弄明白他的想法，便按照他的吩咐，畫出了一個又一個三角形。
當(dāng)畫到一邊長為3，另一邊長為4時，奇跡出現(xiàn)了，畢達(dá)哥拉斯量出斜邊竟是5。3、4、5，畢達(dá)哥拉斯默念著。
要弄清三邊之間的關(guān)系，首先弄清楚3、4、5之間的關(guān)系，畢達(dá)哥拉斯在屋中來回踱步，一邊走，一邊想。
已是午夜2點了，女友端來熱騰騰的夜宵，畢達(dá)哥拉斯剛要拿起餐具，忽然，他頭腦一亮：32＋42=52。
是呀，這是多么奇妙的等式，難道是巧合嗎？畢達(dá)哥拉斯連忙離開飯桌，用心地在紙上畫了起來，經(jīng)過上百次驗算，直角三角形的兩邊的平方和等于斜邊平方。
畢達(dá)哥拉斯高興若狂，抱起女友親吻起來。
下一步的工作，就是如何證明這個定理成立，畢達(dá)哥拉斯在女友的協(xié)助下，用了一個月的時間，終于使這個理論得到證明。
從此，這個定理被西方命名為華達(dá)哥拉斯定理。
順便提一下，華達(dá)哥拉斯在離開埃及之時，他和女友已共同生活了10年之久，由于女友不愿意離開埃及，畢達(dá)哥拉斯只得獨身歸國。
畢達(dá)哥拉斯在數(shù)學(xué)上除了證明勾股定理外，還提出了區(qū)別奇數(shù)、偶數(shù)和質(zhì)數(shù)的方法。他和他的學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，并用數(shù)學(xué)研究音樂樂律。
在研究中，他指出，弦長的比數(shù)愈簡單，則其音愈和諧。但是，他把數(shù)的概念絕對化、神秘化，并斷言：凡物皆數(shù)。
他把數(shù)的物質(zhì)的東西分割開來，把數(shù)的關(guān)系當(dāng)做事物的原型，構(gòu)成宇宙的秩序，結(jié)果走向唯心主義。
但不容諱言，畢達(dá)哥拉斯是那個時代最杰出的代表人物之一。他在數(shù)學(xué)、天文等方面所做出的貢獻(xiàn)，將永遠(yuǎn)銘刻在后人的心里。他的某些理論，為推動科學(xué)的發(fā)展，有不可磨滅的貢獻(xiàn)。
三個流派
到了公元前5世紀(jì)，在古希臘成立了幾個哲學(xué)派別，它們分別是智者派、畢達(dá)哥拉斯派和柏拉圖派。
在這一時期，被稱為智者派的一些數(shù)學(xué)家們提出了下列三個著名的幾何作圖難題，即只用圓規(guī)和直尺作出以下圖形：
1.作一正方形使其面積等于一已知圓的面積；
2.作一立方體使其體積等于一已知立方體的2倍；
3.三等分一任意角。
這三大難題曾在很長的時期內(nèi)吸引了許多數(shù)學(xué)家，后來才被證明這是不可能的，任何人借助任何辦法都辦不到的。
雖然這三大難題是辦不到的，但是數(shù)學(xué)家們在積極求證的過程中，卻產(chǎn)生了許多有價值的副產(chǎn)品。
如智者派中的重要人物希匹阿斯在試圖三等分一任意角時，發(fā)明了割圓曲線，如能作出這條曲線，即可三等分一任意銳角，但是割圓曲線也是不能用直尺和圓規(guī)作出的。
這時的畢達(dá)哥拉斯派的希波克拉底致力于化圓為方的問題時，得出了求以兩不等徑圓弧為邊的月牙形面積的方法。
而智者派的安提豐在研究畫圓的問題時，提出可以把圓看成是無窮多邊的正多邊形。畢達(dá)哥拉斯派的布萊生則以圓外接正多邊形來思考同一問題。此即窮竭法的開端。
另外一學(xué)派柏拉圖派的數(shù)學(xué)家們，他們研究數(shù)學(xué)不是為了實用目的，而在于尋求一種思維中的完善和美，因此，他們特別注意數(shù)學(xué)的證明方法。
有記載說，他們研究過數(shù)學(xué)中的分析法、歸謬法這樣一些基本的推理方法，由于他們的工作，數(shù)學(xué)的推理方法更加嚴(yán)密了。
柏拉圖派把這些工作推進(jìn)到什么程度，有哪些具體成果，我們現(xiàn)在不得而知。但是我們確實看到，自柏拉圖以后，古希臘的數(shù)學(xué)更加理論化了。
我們當(dāng)然不能想象古希臘發(fā)達(dá)的生產(chǎn)技術(shù)沒有相當(dāng)?shù)膶嵱脭?shù)學(xué)知識，但數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科，確實與實際生活的距離加大了。古希臘的實驗科學(xué)、物理學(xué)等在相當(dāng)長的時期內(nèi)沒有得到相應(yīng)的發(fā)展，與數(shù)學(xué)脫離實際這種狀況看來也不無關(guān)系。
柏拉圖派的科學(xué)家歐多克索不僅在天文學(xué)上有重要的貢獻(xiàn)，他還是古希臘最有成就的數(shù)學(xué)家之一。
由于更多的無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，促使人們不得不認(rèn)真地去研究它。無理數(shù)究竟是不是數(shù)？原先用先可公度量的那些幾何學(xué)的證明能否用于這些不可公度量？一個一個可數(shù)的數(shù)目是不連續(xù)的，而量則是連續(xù)的，這些都是矛盾。
歐多克索面對這些難題，他走出自己的一條路子。他定義了兩個量之比和兩個量之比相等的關(guān)系，即比例關(guān)系，以此來解決量之間的問題。
這樣，從畢達(dá)哥拉斯開始的幾何和數(shù)的簡單而直接的關(guān)系就被分開了，量并不就是可數(shù)的數(shù)目，上述困難便迎刃而解。
從此，古希臘數(shù)學(xué)更加偏向于幾何學(xué)。因為在他們看來，似乎幾何學(xué)是能處理一切問題的，包括無理數(shù)這樣的問題在內(nèi)。
對幾何學(xué)的偏愛卻抑制了古希臘代數(shù)學(xué)的發(fā)展，后來在他們那里，有關(guān)代數(shù)學(xué)的問題實際上都用幾何學(xué)的方法來處理，這不能就被認(rèn)為是很好的方式。
歐多克索的另一項重要貢獻(xiàn)，是他繼續(xù)了智者派安提豐等人的工作，完成了計算曲邊形面積和曲面體體積的方法。
這項工作的重要意義不只在于計算那些難以計算的量，更在于推進(jìn)了窮竭法的研究。雖然那時還沒有清晰的極限的思想，窮竭法已經(jīng)預(yù)示著微積分學(xué)的思想正在萌芽。
歐多克索的學(xué)生美尼克謨的最重要成就是發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。他在這方面的工作可能也是試圖解決智者派提出的三大作圖難題，而產(chǎn)生的副產(chǎn)品。
美尼克謨選取了頂角分別為直角、銳角和鈍角三種圓錐，分別以一垂直于錐面一條母線的平面與之相割，這樣就得到了拋物線、橢圓和雙曲線。
圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)，對于幾何學(xué)以及天文學(xué)、物理學(xué)等類科學(xué)的發(fā)展都十分重要。不過，他的工作還只是一個開端。
古希臘的數(shù)學(xué)高峰
在古希臘后期，學(xué)術(shù)中心轉(zhuǎn)移到埃及的亞歷山大城。這時，古希臘的數(shù)學(xué)達(dá)到了高峰，古希臘數(shù)學(xué)的最后成果均是在這里總結(jié)和完成的。
生活在亞歷山大城的歐幾里得（約前330～約前275）是古希臘最享有盛名的數(shù)學(xué)家。
古希臘著名科學(xué)哲學(xué)家亞里斯多德認(rèn)為，演繹推理的價值要高于歸納推理。他這一思想形成的原因是什么呢？
如果讓我們看一看古希臘幾何學(xué)的發(fā)展，就會容易理解亞里斯多德的這一看法了。事實上可以這樣說，整個希臘時代理論上最成功的產(chǎn)物就是幾何學(xué)這門演繹科學(xué)。
我們說它成功一是指這一時期幾何學(xué)理論的完備、嚴(yán)密與系統(tǒng)；二是指直到今天，我們中學(xué)里的幾何教科書還都是以兩千多年前的希臘幾何學(xué)為藍(lán)本的。
而希臘幾何學(xué)成功的代表者便是我們將要介紹的歐幾里得。
歐幾里得生于雅典，是柏拉圖的學(xué)生。他的科學(xué)活動主要是在亞歷山大進(jìn)行的，在這里，他建立了以他為首的數(shù)學(xué)學(xué)派。
歐幾里得，以他的主要著作《幾何原本》而著稱于世，他的工作重大意義在于把前人的數(shù)學(xué)成果加以系統(tǒng)的整理和總結(jié)，以嚴(yán)密的演繹邏輯，把建立在一些公理之上的初等幾何學(xué)知識構(gòu)成為一個嚴(yán)整的體系。
歐幾里得建立起來的幾何學(xué)體系之嚴(yán)謹(jǐn)和完整，就連20世紀(jì)最杰出的大科學(xué)家愛因斯坦也不能對他不另眼相看。
愛因斯坦說：“一個人當(dāng)他最初接觸歐幾里得幾何學(xué)時，如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動，那么他是不會成為一個科學(xué)家的?！?/font>
《幾何原本》中的數(shù)學(xué)內(nèi)容也許沒有多少為他所創(chuàng)，但是關(guān)于公理的選擇，定理的排列以及一些嚴(yán)密的證明無疑是他的功勞，在這方面，他的工作出色無比。
歐幾里得的《幾何原本》共有13篇，首先給出的是定義和公理。比如他首先定義了點、線、面的概念。
他整理的5條公理其中包括：
1.從一點到另一任意點作直線是可能的；
2.所有的直角都相等；
3.a=b，b=c，則a=c；
4.若a=b則a＋c=b＋c等等。
這里面還有一條公理是歐幾里得自己提出的，即：整體大于部分。
雖然這條公理不像別的公理那么一望便知，不那么容易為人接受，但這是歐氏幾何中必須的，必不可少的。他能提出來，這恰恰顯示了他的天才。
《幾何原本》第1～4篇主要講多邊形和圓的基本性質(zhì)，像全等多邊形的定理，平行線定理，勾股弦定理等。
第2篇講幾何代數(shù)，用幾何線段來代替數(shù)，這就解決了希臘人不承認(rèn)無理數(shù)的矛盾，因為有些無理數(shù)可以用作圖的方法，來把它們表示出來。
第3篇討論圓的性質(zhì)，如弦、切線、割線，圓心角等。
第4篇討論圓的內(nèi)接和外接圖形。
第5篇是比例論。這一篇對以后數(shù)學(xué)發(fā)展史有重大關(guān)系。
第6篇講的是相似形。其中有一個命題是：直角三角形斜邊上的矩形，其面積等于兩直角邊上的兩個與這相似的矩形面積之和。讀者不妨一試。
第7、8、9篇是數(shù)論，即講述整數(shù)和整數(shù)之比的性質(zhì)。
第10篇是對無理數(shù)進(jìn)行分類。
第11～13篇講的是立體幾何。
全部13篇共包含有467個命題?！稁缀卧尽返某霈F(xiàn)說明人類在幾何學(xué)方面已經(jīng)達(dá)到了科學(xué)狀態(tài)，在經(jīng)驗和直覺的基礎(chǔ)上建立了科學(xué)的、邏輯的理論。
歐幾里得，這位亞歷山大大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，已經(jīng)把大地和蒼天轉(zhuǎn)化為一幅由錯綜復(fù)雜的圖形所構(gòu)成的龐大圖案。
他又運用他的驚人才智，指揮靈巧的手指將這個圖案拆開，分成為簡單的組成部分：點、線、角、平面、立體——把一幅無邊無垠的圖，譯成初等數(shù)學(xué)的有限語言。
盡管歐幾里得簡化了他的幾何學(xué)，但他堅持對幾何學(xué)的原則進(jìn)行透徹的研究，以便他的學(xué)生們能充分理解它。
據(jù)說，亞歷山大國王多祿米曾師從歐幾里得學(xué)習(xí)幾何，有一次對于歐幾里得一遍又一遍地解釋他的原理表示不耐煩。
國王問道：“有沒有比你的方法簡捷一些的學(xué)習(xí)幾何學(xué)的途徑？”
歐幾里得答道：“陛下，鄉(xiāng)下有兩種道路，一條是供老百姓走的難走的小路，一條是供皇家走的坦途。但是在幾何學(xué)里，大家只能走同一條路。走向?qū)W問，是沒有什么皇家大道的，請陛下明白?！?/font>
歐幾里得的這番話后來推廣為“求知無坦途”，成為傳誦千古的箴言。
關(guān)于歐幾里得的一生的細(xì)節(jié)，由于資料缺乏，我們知道得很少。有一個故事說的是歐幾里得和妻子吵架，妻子很為惱火。
妻子說：“收起你的亂七八糟的兒何圖形，它難道為你帶來了面包和牛肉?！?/font>
歐幾里得天生是個憨脾氣，只是笑了笑，說道：“婦人之見，你知道嗎？我現(xiàn)在所寫的，到后世將價值連城！”
妻子嘲笑道：“難道讓我們來世再結(jié)合在一起嗎？你這書呆子?！?/font>
歐幾里得剛要分辯，只見妻子拿起他寫的《幾何原本》的一部分投入火爐中。歐幾里得連忙來搶，可是已經(jīng)來不及了。
據(jù)說妻子燒掉的是《幾何原本》中最后最精彩的一章。但這個遺憾是無法彌補的，她燒的不僅僅是一些有用的書，她燒的是歐幾里得血汗和智慧的結(jié)晶。
如果上面這個故事是真的，那么他妻子的那場震怒可能并不是歐幾里得引起來的。因為古代的作家們告訴我們，他是一個“溫和慈祥的老頭?！?/font>
由于歐幾里得知識的淵博，他的學(xué)生們簡直把他當(dāng)作偶像來崇拜。歐幾里得在教授學(xué)生時，像一個真正的父親那樣引導(dǎo)他們，關(guān)心他們。
然而有時，他也用辛辣的諷刺來鞭撻學(xué)生中比較傲慢的，使他們馴服。有一個學(xué)生在學(xué)習(xí)了第一定理之后，便問道：“學(xué)習(xí)幾何，究竟會有什么好處？”
于是，歐幾里得轉(zhuǎn)身吩咐傭人說：“格魯米阿，拿三個錢幣給這位先生，因為他想在學(xué)習(xí)中獲得實利?！?/font>
歐幾里得主張學(xué)習(xí)必須循序漸進(jìn)、刻苦鉆研，不贊成投機(jī)取巧的作風(fēng)，更反對狹隘的實用觀念。后來者帕波斯就特別贊賞他這謙遜的品德。
像古希臘的大多數(shù)學(xué)者一樣，歐幾里德對于他的科學(xué)研究的“實際”價值是不大在乎的。他喜愛為研究而研究。
他羞怯謙恭，與世無爭，平靜地生活在自己的家里。在那個到處充滿勾心斗角的世界里，對于人們吵吵鬧鬧所作出的俗不可耐的表演，則聽之任之。
他說：“這些浮光掠影的東西終究會過去，但是，星羅棋布的天體圖案，卻是永恒地巋然不動?！?/font>
歐幾里得除了寫作重要幾何學(xué)巨著《幾何原本》外，還著有《數(shù)據(jù)》、《圖形分割》、《論數(shù)學(xué)的偽結(jié)論》、《光學(xué)》、《反射光學(xué)之書》等著作。
說不盡的阿基米德
在古希臘后期，又出現(xiàn)了一位最偉大的科學(xué)家，他就是阿基米德。
他正確地得出了球體、圓柱體的體積和表面積的計算公式，提出了拋物線所圍成的面積和弓形面積的計算方法。
最著名的還是求阿基米德螺線（ρ=α×θ）所圍面積的求法，這種螺線就以阿基米德的名字命名。
錐曲線的方法解出了一元三次方程，并得到正確答案。阿基米德還是微積分的奠基人。他在計算球體、圓柱體和更復(fù)雜的立體的體積時，運用逐步近似而求極限的方法，從而奠定了現(xiàn)代微積分計算的基礎(chǔ)。
最有趣的是阿基米德關(guān)于體積的發(fā)現(xiàn)：
有一次，阿基米德的鄰居的兒子詹利到阿基米德家的小院子玩耍。詹利很調(diào)皮，也是個很討人喜歡的孩子。
詹利仰起通紅的小臉說：“阿基米德叔叔，我可以用你圓圓的柱于作教堂的立柱嗎？”
“可以?！卑⒒椎抡f。
小詹利把這個圓柱立好后，按照教堂門前柱子的模型，準(zhǔn)備在柱子上加上一個圓球。他找到一個圓柱，由于它的直徑和圓柱體的直徑和高正好相等，所以球“撲通”一下掉入圓柱體內(nèi)，倒不出來了。
于是，詹利大聲喊叫阿基米德，當(dāng)阿基米德看到這一情況后，思索著：圓柱體的高度和直徑相等，恰好嵌入的球體不就是圓柱體的內(nèi)接球體嗎？
但是怎樣才能確定圓球和圓柱體之間的關(guān)系呢？這時小詹利端來了一盆水說：“對不起，阿基米德叔叔，讓我用水來給圓球沖洗一下，它會更干凈的?！?/font>
阿基米德眼睛一亮，抱著小詹利，慈愛地說：“謝謝你，小詹利，你幫助解決了一個大難題。”
阿基米德把水倒進(jìn)圓柱體，又把內(nèi)接球放進(jìn)去；再把球取出來，量量剩余的水有多少；然后再把圓柱體的水加滿，再量量圓柱體到底能裝多少水。
這樣反復(fù)倒來倒去的測試，他發(fā)現(xiàn)了一個驚人的奇跡：內(nèi)接球的體積，恰好等于外包的圓柱體的容量的三分之二。
他欣喜若狂，記住了這一不平凡的發(fā)現(xiàn)：圓柱體和它內(nèi)接球體的比例，或兩者之間的關(guān)系，是3∶2。
他為這個不平凡的發(fā)現(xiàn)而自豪，他囑咐后人，將一個有內(nèi)接球體的圓柱體圖案，刻在他的墓碑上作為墓志銘。
阿基米德的驚人才智，引起了人們的關(guān)注和敬佩。朋友們稱他為“阿爾法”，即一級數(shù)學(xué)家（α—阿爾法，是希臘字母中第一個字母）。
阿基米德作為“阿爾法”，當(dāng)之無愧。所以20世紀(jì)數(shù)學(xué)史學(xué)家E.T.貝爾說：“任何一張列出有史以來三個最偉大的數(shù)學(xué)家的名單中，必定包括阿基米德。
“另外兩個數(shù)學(xué)家通常是牛頓和高斯。不過以他們的豐功偉績和所處的時代背景來對比，拿他們的影響當(dāng)代和后世的深邃久遠(yuǎn)來比較，還應(yīng)首推阿基米德。”
我們說，阿基米德的數(shù)學(xué)成就在于他既繼承和發(fā)揚了古希臘研究抽象數(shù)學(xué)的科學(xué)方法，又使數(shù)學(xué)的研究和實際應(yīng)用聯(lián)系起來，這在科學(xué)發(fā)展史上的意義是重大的，對后世有極為深遠(yuǎn)的影響。
阿波羅尼
亞歷山大前期著名的三大數(shù)學(xué)家除歐幾里得、阿基米德外，還有一位重要人物，他就是歐幾里得的學(xué)生阿波羅尼。
阿波羅尼（約前262～約前190）生于佩爾格，年青時到亞歷山大跟隨歐幾里得的后繼者學(xué)習(xí)。他的主要成就是建立了完美的圓錐曲線論。
他在總結(jié)前人的成就的基礎(chǔ)上，再加上自己的研究成果，撰寫了《圓錐曲線論》8大卷，將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地。
《圓錐曲線論》是圓錐曲線的經(jīng)典之作，寫作風(fēng)格和歐幾里得、阿基米德是一脈相承的，先設(shè)立若干定義，再由此依次證明各個命題，推理是十分嚴(yán)格的。
《圓錐曲線論》的出現(xiàn)，引起了人們的重視，被公認(rèn)為是這方面的權(quán)威之作，被認(rèn)為是古希臘最杰出的數(shù)學(xué)著作之一。
阿波羅尼是第一個從同一圓錐的截面上來研究圓錐曲線的人，他以一個平面按不同的角度與圓錐相交，分別得出拋物線、橢圓和雙曲線。
同時，他也弄清楚了雙曲線有兩個分支，并給出了圓錐曲線的定義。
在這一書中，他說明了求一圓錐曲線的直徑，有心圓錐曲線的中心、拋物線和有心圓錐曲線的軸的方法和作圓錐曲線的切線的方法，討論了雙曲線的漸近線和共軛雙曲線，研究了有心圓錐曲線焦點的性質(zhì)等等。
阿波羅尼這時尚無坐標(biāo)的概念，但在他的討論中已隱含了坐標(biāo)的意思。
《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，它可以說是代表了希臘幾何的最高水平，自此以后，希臘幾何便沒有實質(zhì)性的進(jìn)步。
直到17世紀(jì)的笛卡爾和帕斯卡，圓錐曲線的理論才有所突破。以后便向著兩個方向發(fā)展，一是笛卡爾的解析幾何，二是射影幾何，兩者幾乎是同時出現(xiàn)。
這兩大領(lǐng)域的思想和基本原理，都可以在阿波羅尼的工作中找到萌芽。當(dāng)然這是后話，暫且不提。
和阿基米德相比較，阿波羅尼注意圖形的幾何性質(zhì)，而阿基米德側(cè)重數(shù)值計算，這是他成為微積分先驅(qū)的重要原因。
《圓錐曲線論》的篇幅很大，第1～7卷就有387個獨立命題，完全用文字來表達(dá)，沒有使用符號和公式。命題的敘述相當(dāng)冗長，言辭有時是含混的，這在希臘的著作中，是較難讀的一種。
除了《圓錐曲線論》外，阿波羅尼還有其他一些有價值的著作，它們是《論接觸》，《平面軌跡》、《12面體與20面體對比》、《傾斜》等。
古羅馬的三個數(shù)學(xué)家
到了古羅馬時期，其政治、軍事日益強大，它雄踞西方，稱霸一時。它在經(jīng)濟(jì)上曾經(jīng)很是繁榮，技術(shù)上也有不少的成績，但它在科學(xué)上、在科學(xué)思想上幾乎無所建樹。
古羅馬以基督教為國教，實行思想統(tǒng)治，禁錮了人們的思想，古希臘時期那種活躍的學(xué)術(shù)氣氛不復(fù)存在，新鮮的思想也難露頭角。數(shù)學(xué)科學(xué)更是舉步不前。
在這一時期，比較著名的數(shù)學(xué)科學(xué)家有丟番圖、帕波斯和希帕蒂婭。
說起數(shù)學(xué)家丟番圖的生平，還有一則別開生面的記載，在一本《希臘詩文選》中收錄了丟番圖的奇特的墓志銘，現(xiàn)轉(zhuǎn)抄于下：
墳中安葬著丟番圖，
多么令人驚訝，
它忠實地記錄了所經(jīng)歷的道路。
上帝給予的童年占六分之一，
又過十二分之一，兩頰長胡，
再分七分之一，點燃起結(jié)婚的蠟燭。
五年之后天賜貴子，
可憐遲到的寧馨兒，
享年僅及其父的一半，便進(jìn)入冰冷的墳?zāi)埂?/font>
悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補，
又過四年，他也走完了人生的旅途。
細(xì)心的讀者已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，這獨特的墓志銘就是丟番圖一生的履歷表，而且它本身就是一道耐人尋味的年齡計算題。
讓我們來解開丟番圖的年齡之謎：
設(shè)丟番圖的年齡為×，則
丟番圖大致活動于公元250年前后，其生平不詳。他的著作《算術(shù)》和關(guān)于所謂多角數(shù)（形數(shù)）一書，這是世界上最早的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)論文。
《算術(shù)》共13卷，現(xiàn)存6卷。這本書可以歸入代數(shù)學(xué)的范圍。代數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的最大特點是引入了未知數(shù)，并對未知數(shù)加以運算。
它根據(jù)問題的條件列入方程，然后解方程求出未知數(shù)，如我們前邊關(guān)于丟番圖年齡的計算。
算術(shù)也有未知數(shù)，這未知數(shù)就是答案，一切運算只允許時已知數(shù)來施行。在代數(shù)中既然要對未知數(shù)加以運算，就需要用某種符號來表示它。
丟番圖將這方面的成果冠以算術(shù)之名是很自然的，因此，他被后人稱作是“代數(shù)學(xué)之父”的美譽。
希臘數(shù)學(xué)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以后，興趣中心都在幾何，他們認(rèn)為只有經(jīng)過幾何論證的命題才是可靠的。為了邏輯的嚴(yán)密性，代數(shù)也披上了幾何的外衣。
所以一切代數(shù)問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都納入僵硬的幾何模式之中。直到丟番圖的出現(xiàn)，才把代數(shù)解放出來，擺脫了幾何的羈絆。
例如，（a＋b）2=a2＋2ab＋b2的關(guān)系在歐幾里得《幾何原本》中是一條重要的幾何定理，而在丟番圖的《算術(shù)》中，只是簡單代數(shù)運算法則的必然后果。
丟番圖認(rèn)為，代數(shù)方法比幾何的演繹陳述更適宜于解決問題。解題過程中顯示出高度的巧思和獨創(chuàng)性，在希臘數(shù)學(xué)中獨樹一幟。
如果丟番圖的著作不是用希臘文寫的，人們就不會想到這是希臘人的成果，因為看不出有古典希臘數(shù)學(xué)的風(fēng)格，從思想方法到整個科目結(jié)構(gòu)都是全新的。
如果沒有丟番圖的工作，也許人們以為希臘人完全不懂代數(shù)，有人甚至猜想他是希臘化了的巴比倫人。
丟番圖在《算術(shù)》中，除了代數(shù)原理的敘述外，還列舉了屬于各次不定方程式的許多問題，并指出了求這些方程解的方法，識別了實根、有理數(shù)可能是“根”和正根。
為了表示求知數(shù)及其冪、倒數(shù)、等式和減法，他使用了字母的減寫，用并列書寫表示兩個量的加法，量的系數(shù)則在量的符號之后用阿拉伯?dāng)?shù)字表示。
在兩個數(shù)的和與差的乘法運算中采用了符號法則。他還引入了負(fù)數(shù)的概念，并認(rèn)識到負(fù)數(shù)的平方等于正數(shù)等問題。
丟番圖在數(shù)論和代數(shù)領(lǐng)域作出了杰出的貢獻(xiàn)，開辟了廣闊的研究道路。這是人類思想上一次不尋常的飛躍，不過這種飛躍在早期希臘數(shù)學(xué)中已出現(xiàn)萌芽。
丟番圖的著作成為后來許多數(shù)學(xué)家，如費爾馬、歐勒、高斯等進(jìn)行數(shù)論研究的出發(fā)點。數(shù)論中兩大部分均是以丟番圖命名的，即丟番圖方程理論和丟番圖近似理論。
丟番圖的《算術(shù)》雖然還有許多不足之處，但瑕不掩瑜，它仍不失為一部承前啟后的劃時代著作。
再說古羅馬時期的另一位科學(xué)家帕波斯，他最有價值的著作是《數(shù)學(xué)匯編》。
公元4世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)已是強弩之末，“黃金時代”的幾何巨匠已離去五六百年了，到公元146年，羅馬人占領(lǐng)亞歷山大后，科學(xué)便凋謝了。
公元后，除了托勒密等科學(xué)家有所建樹外，理論幾何的活力已經(jīng)用完。在此情況下，總結(jié)數(shù)百年來前人披荊斬棘所取得的成果，以免年久失傳，已是十分重要和必要的。
帕波斯正是在這種情況下，著手搜集整理前人的成果，把它們編成了重要的著作：《數(shù)學(xué)匯編》。
《數(shù)學(xué)匯編》在歷史上占有特殊地位，這不僅僅是它本身有許多發(fā)明創(chuàng)造，更重要的是記述了大量前人的工作，保存了一大批現(xiàn)在在別處無法看到的著作。它和普羅克洛斯的《概要》是研究希臘數(shù)學(xué)科學(xué)史的兩大原始資料，其功不可沒。
帕波斯還寫過關(guān)于地理、音樂、流體靜力學(xué)等方面的書，注釋過托勒密、歐幾里得的著作。他是博學(xué)多才的。
而他的主要的貢獻(xiàn)，正是我們介紹的，是收集、總結(jié)、補充和評述幾乎是整個希臘時期的學(xué)術(shù)工作，使它流傳下來并發(fā)揚光大。這些功勞是不可磨滅的。
下面再談一位科學(xué)家希帕蒂婭。我們在這里介紹她，完全是因為希帕蒂婭是有史記載的第一位女科學(xué)家、哲學(xué)家。
希帕蒂婭早年跟隨父親學(xué)習(xí)，她在數(shù)學(xué)上的成就主要是幫助父親評注托勒密的數(shù)學(xué)名著《大匯編》，還協(xié)助其父編輯了歐幾里得的《幾何原本》。
據(jù)古代一本辭典記載，希帕蒂婭還評注丟番圖的《算術(shù)》和阿波羅尼的《圓錐曲線》等名著，可惜這些評注本都已失傳。
希帕蒂婭也在亞歷山大從事科學(xué)和哲學(xué)活動，講授數(shù)學(xué)和新柏拉圖主義。她的哲學(xué)興趣比較傾向于研究學(xué)術(shù)與科學(xué)問題，而較少追求神秘性和排他性。
約在公元400年左右，希帕蒂婭成為亞歷山大的新柏拉圖主義學(xué)派的領(lǐng)袖。由于她的學(xué)術(shù)聲望，甚至有的基督徒也拜她為師。
但是，早期的基督徒在很大程度上把科學(xué)視為異端邪說，把傳播希臘傳統(tǒng)文化視為異教徒加以迫害。公元415年，希帕蒂婭被信奉基督教的一群暴民私刑處死。
她的悲壯身世，成為一些文藝作品的主題，著名作家金斯利把她寫進(jìn)小說《希帕蒂婭》中。小說中的希帕蒂婭，聰明、美麗、展雄辯之才又虛懷若谷。
古印度數(shù)學(xué)成就
古印度在數(shù)學(xué)方面有相當(dāng)大的成就，在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位。自哈拉巴文化時期起，古印度人用的就是十進(jìn)位制，但是早期還沒有位值法。
大約到了公元7世紀(jì)以后，古印度才有了位值法記數(shù)，不過開始時還沒有“0”的符號，只用空一格來表示。公元9世紀(jì)后半葉有了零的符號，寫作“.”。
這時，古印度的十進(jìn)制位值法記數(shù)就完備了。后來這種記數(shù)法為中亞地區(qū)許多民族采用，又經(jīng)過阿拉伯人傳到了歐洲，逐漸演變?yōu)楝F(xiàn)今世界上通用的“阿拉伯記數(shù)法”。
所以說，阿拉伯?dāng)?shù)字并不是阿拉伯人創(chuàng)造的，他們只是起了傳播作用。而真正對阿拉伯?dāng)?shù)字有貢獻(xiàn)的，正是古印度人。
《準(zhǔn)繩經(jīng)》是現(xiàn)存古印度最早的數(shù)學(xué)著作，這是一部講述祭壇修筑的書，大約成于公元前5至前4世紀(jì)，其中包含有一些幾何學(xué)方面的知識。
這部書表明，他們那時已經(jīng)知道了勾股定理，并使用圓周率π為3.09，古印度人在天文計算的時候已經(jīng)運用了三角形，公元499年成書的《圣使集》中有關(guān)數(shù)學(xué)的內(nèi)容共有66條，包括了算術(shù)運算、乘方、開方以及一些代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)和三角學(xué)的規(guī)則。
圣使還研究了兩個無理數(shù)相加的問題，得到正確的公式，在三角學(xué)方面他又引進(jìn)了正矢函數(shù)，他算出的π為3.1416。
公元7～13世紀(jì)是古印度數(shù)學(xué)成就最輝煌的時期，其間的著名人物有梵藏（約589～？）、大雄（9世紀(jì)）、室利馱羅（999～？）和作明（1114～？）。
梵藏約于628年寫成了《梵明滿悉檀多》，對許多數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了深人的探討，梵藏是古印度最早引進(jìn)負(fù)數(shù)概念的人，他還提出負(fù)數(shù)的運算方法。
梵藏對零作為一個數(shù)已有所認(rèn)識，但他卻錯誤地認(rèn)為零除零還是等于零的結(jié)論。他提出了解一般二次方程的規(guī)則，得出二次方程x2+px-q=0的根為
梵藏還給出了ax＋by=0的整數(shù)解和處理不定方程ax2＋1=y2的方法。他最重要的成就是得出了求等差數(shù)列末項以及數(shù)列之和的正確公式。
在幾何學(xué)方面，梵藏有以四邊形之邊長求四邊形面積的正確公式，即
長。而大雄繼續(xù)了他前人的工作，他的主要著作是《計算精華》。他認(rèn)識到零乘以任何一個數(shù)都等于零，不過他又錯誤地認(rèn)為以零除一個數(shù)仍然等于這個數(shù)。
大雄對分?jǐn)?shù)的研究也很有意義，他認(rèn)識到以一個分?jǐn)?shù)除另外一個分?jǐn)?shù)，等于把這個分?jǐn)?shù)的分子分母顛倒相乘。
現(xiàn)存的室利馱羅的數(shù)學(xué)著作有《算法概要》一書，據(jù)說他還有一部專論二次方程的著作。他的主要工作是研究二次方程的解法。
在這一時期，數(shù)學(xué)上成就最大的要數(shù)作明。他的《歷數(shù)全書頭珠》中的《嬉有章》和《因數(shù)算法章》反映了古印度數(shù)學(xué)的最高成就，是那個時期的代表作。
作明對零進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，正確地指出以零除一個數(shù)為無限大。他繼續(xù)研究二次方程求解的問題，知道一個數(shù)的平方根有兩個數(shù)，一正一負(fù)。
他還明確地指出負(fù)數(shù)的平方根是沒有意義的。作明在不定方程的研究中取得了十分顯著的成績，他用巧妙的方法解決了許多不定方程的求整數(shù)解的問題。
如下列方程：
6x2＋2x=y， 5x4-100x2=y2，
等等。
古印度數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展便趨緩慢，沒有更多引人注目的東西了。巴比論的數(shù)學(xué)
在公元前3000年左右，巴比倫開始有了像點樣的數(shù)字了?，F(xiàn)在考古發(fā)現(xiàn)的巴比倫泥板文書對研究數(shù)學(xué)史，提供了有力的證明。這些泥板書是在膠泥軟時刻上字后，曬干保存下來的。
這些泥板書大致是于兩個時期制成的，有些是公元前2000年左右，大部分是公元前600年到公元300年的。
較早的泥板是用斷面呈三角形的筆斜刻的，刻痕顯楔形，因此這種文字叫楔形文字。在楔形文字中，已經(jīng)出現(xiàn)了1到60的整數(shù)寫法和記號。
巴比倫人也會表示分?jǐn)?shù)，但一組記號所表示的分?jǐn)?shù)也可以作多種理解，這是一種混淆不清的表示法。
巴比倫人還有表示平方、平方根、立方和立方根的數(shù)表。當(dāng)方根是整數(shù)時，給出的是準(zhǔn)確值。對于非整數(shù)的方根，相應(yīng)的60進(jìn)制數(shù)值只是近似的。
這時他們使用的圓周率π=3.125。在一塊泥板上，我們竟然看到他們解了這樣一個指數(shù)方程：（1＋0.2）x=2，x＝3.8。
在巴比倫時期，求給定寬和高的一扇門對角線問題時出現(xiàn)了平方根，他們給出的答案沒有說明是怎樣求出來的。
但是，他們卻很好地用了求對角線長的近似公式：
其中d為對角線長，w為寬，h為高。
早期巴比倫有一個代數(shù)基本問題，是求出一個數(shù)，使它與它的倒數(shù)之和等于已給定的數(shù)。這個問題的解答是要解一個二次方程。這說明巴比倫人已經(jīng)知道二次方程求根方法。
巴比倫人還可以解出含有5個未知量的五元一次方程來。他們用一種特殊的方法結(jié)合各個方程，最后算出所有未知量。
數(shù)學(xué)在巴比倫人的生活中的很多地方都起到了作用。巴比倫位于古代貿(mào)易通道上，他們商業(yè)活動范圍很廣。他們用算術(shù)和簡單代數(shù)知識來表示長度和重量，來交換各種商品和兌換錢幣。
現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)的牽涉到數(shù)學(xué)的大多數(shù)楔形文字著作是關(guān)于經(jīng)濟(jì)問題的。顯然，經(jīng)濟(jì)對數(shù)學(xué)的發(fā)展是十分顯著的。
其次，在工程建設(shè)上，需要用到計算，比如挖運河，修堤壩，以及其他水利工程都要用到計算。所以說，巴比倫的數(shù)學(xué)和人們實際應(yīng)用是分不開的。
巴比倫的占星術(shù)很興盛，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)本身就具有一種神秘性，因此可以用數(shù)學(xué)預(yù)卜未來。
在《圣經(jīng)》中可以看到巴比倫人預(yù)卜未來的做法。希伯來人的“科學(xué)”測字術(shù)就是根據(jù)巴比倫人的預(yù)卜術(shù)而來的。有個預(yù)言說：獅子宣告巴比倫城的淪落，就是根據(jù)巴比倫預(yù)卜學(xué)原則而得出的結(jié)論。
古埃及的數(shù)學(xué)
再說在古埃及，文明的發(fā)展是在沒有外來勢力的影響下獨自進(jìn)行的。埃及人靠著尼羅河帶來的肥沃的土壤，創(chuàng)造著自己生生不息的文明和科學(xué)。
古埃及人造出了幾套自己的文字，其中有一套是象形文字，每個文字記號是某件東西的圖形，直到公元紀(jì)元前后，埃及的象形文字還用在紀(jì)念碑文和器皿上。
那時埃及人的書寫方式是用墨水寫在草片上，草片很容易干裂成粉末，所以除了銘刻在石頭上的象形文字外，古埃及的文件很少保存下來。
古埃及人在數(shù)學(xué)科學(xué)上的工作，我們現(xiàn)在知道得不太多，這可能與草書不耐保存，有很大的關(guān)系。
埃及的代數(shù)中實際上沒有成套的記號，加法和減法用一個人走近和離去的腿形來表示。表示平方根的記號是兩個「的直角。
埃及的幾何和算術(shù)也是合在一起的。埃及人也和巴比倫人一樣，把幾何看成實用工具。他們把算術(shù)和代數(shù)用來解有關(guān)面積、體積和其他幾何性質(zhì)的問題。
由于尼羅河漲水而產(chǎn)生了古埃及的幾何學(xué)，使埃及人研究出計算矩形、三角形和梯形面積的死方法。
埃及人對于圓面積的計算有其獨到之處。如S=（8d/9）2，其中d為直徑。這就等于π取3.1605。
埃及人也有算立方體、箱體、柱體和其他圖形體積的法則。有些法則是對的，有些也只能算是近似的。
這里最了不起的法則要算用來計算棱臺體積的公式。棱臺底是正方形，這個公式用現(xiàn)代記號是：
V=h/3（a2＋ab＋b2）， h是高，o、 b是上下底的邊長。這個公式之所以了不起，是因為正確，而且形式是對稱的。
埃及數(shù)學(xué)的另一個主要用途是天文測量和計算，這從相當(dāng)早的時期就是這樣了。
尼羅河是埃及人生命的源泉，他們靠耕種河水泛濫后淤土覆蓋的田地謀生，但他們也得準(zhǔn)備好應(yīng)付洪水的危害，因此就得預(yù)報洪水到來的日期。這就需要計算。
埃及人還把他們的天文知識和幾何知識結(jié)合起來用于建造他們的神廟，使一年里某幾天的陽光能以特定方式照射到廟宇里。
金字塔是代表埃及人對幾何的另一種用法。金字塔是帝王的陵墓。埃及人竭力使金字塔的底有正確的形狀，那么底和高的尺寸就有重大意義，這又需要精密的計算。
所以說，倘若數(shù)學(xué)是應(yīng)人類需要而產(chǎn)生和發(fā)展的，那么在古埃及，這一點是最明顯不過的了。
古代阿拉伯的數(shù)學(xué)家
古代阿拉伯的數(shù)學(xué)是在引進(jìn)印度和希臘數(shù)學(xué)之后起步的，在不長的時期內(nèi)，他們?nèi)〉昧丝捎^的成績。
阿拉伯頭一位著名的數(shù)學(xué)家是花拉子密，他在數(shù)學(xué)上的成就比起天文學(xué)上的成就還要大一些。他的算術(shù)和代數(shù)學(xué)的著作很早就流傳歐洲，對歐洲的數(shù)學(xué)有頗大的影響。
歐洲人主要就是從他那里學(xué)會了使用“阿拉伯記數(shù)法”。我們前面已經(jīng)講到，歐洲人自古希臘時候起即擅長幾何學(xué)，他們也習(xí)慣于用幾何學(xué)方法來解決代數(shù)學(xué)的問題，因此他們的數(shù)學(xué)有很大的局限性。
花拉子密的代數(shù)學(xué)著作《還原與對消》記述了800多個代數(shù)學(xué)問題，包括了一次方程和二次方程的解法。
這部著作在12世紀(jì)期間即被譯成拉丁文，直至16世紀(jì)以前仍是歐洲各大學(xué)的主要數(shù)學(xué)教科書，在歐洲產(chǎn)生了很大影響。
拉丁語中algebra（代數(shù)學(xué)）一詞就是從這部著作中的名稱演化而來的。歐洲人對代數(shù)的研究從接受阿拉伯人的代數(shù)學(xué)才正式開始的。這與花拉子密的功勞不無關(guān)系。
花拉子密的天文表中包括有三角學(xué)的內(nèi)容，他不僅運用了正弦函數(shù)，還引進(jìn)了正切函數(shù)。不過也有人懷疑正切函數(shù)是后人修訂天文表時加進(jìn)去的。
另一個阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家白塔尼在天文學(xué)的研究中也涉及到三角學(xué)的問題。他在他的著作中又引入了余切函數(shù)，并且造出了從1°到90°之間相隔1°的余切表。
曾主持馬臘格天文臺的奈綏爾丁也是一位很有成就的數(shù)學(xué)家。原先的三角學(xué)只不過是天文計算中的一種工具，奈綏爾丁則致力于使它成為一門獨立的學(xué)科。
他還提出了解球面直角三角形的6個基本公式，并且指出解一般三角形的方法。歐洲人到15世紀(jì)中期才知道奈綏爾丁的工作，在此之前，歐洲人還從未把三角學(xué)看成是數(shù)學(xué)上的一個分支。
在這一時期，還有一位重要科學(xué)家，他叫卡西（？～1436？）。他在圓周率的研究上取得了顯著的成績。
他是用窮竭法求圓周率的，他計算了圓內(nèi)接和外接3×228邊正多邊形的周長，求得圓周率π=3.141，592，653，589，793，25，即準(zhǔn)確至小數(shù)后第17位。
他打破了我國祖沖之保持了近千年的世界紀(jì)錄，1000年后才又為歐洲人所超過。
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