「韋伊 文／陳天權(quán) 譯（清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系）」
「作者簡(jiǎn)介」韋伊（André Weil，1906－1998），法國(guó)數(shù)學(xué)家，Bourbaki學(xué)派的創(chuàng)始人之一，倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)榮譽(yù)會(huì)員，法蘭西科學(xué)院院士，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)外籍會(huì)員，美國(guó)國(guó)家科學(xué)院外籍院士。曾在眾多數(shù)學(xué)分去中做出過(guò)劃時(shí)代的貢獻(xiàn)。1979年獲Wolf數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，1980年獲Steele獎(jiǎng)的終身成就獎(jiǎng)，1980年獲Barnard獎(jiǎng)?wù)拢?994年獲Kyoto獎(jiǎng)。
陳天權(quán)（1937－），男，江蘇海門(mén)人，教授，主要從事非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)力學(xué)研究。
?譯者按 本文譯自《韋伊論文集》（A. Weil’s Collected Papers. Berlin：Springer，2009：121-126），原文題名The mathematics curriculum：a short guide for students，是原作者于1954年在芝加哥大學(xué)任教時(shí)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的文章。雖然文章寫(xiě)于半個(gè)世紀(jì)以前，但由于原作者對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解及其豐富的數(shù)學(xué)教育經(jīng)驗(yàn)，文章的許多方面對(duì)今天的數(shù)學(xué)教育仍有借鑒價(jià)值。例如，對(duì)美國(guó)大學(xué)生（與歐洲大學(xué)生相比）弱點(diǎn)的批評(píng)，對(duì)（初級(jí)階段）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所作的三個(gè)部分的劃分，以及對(duì)美國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中沒(méi)有習(xí)題因而忽略后兩部分的批評(píng)，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)語(yǔ)言的語(yǔ)法及詞匯的解釋，對(duì)過(guò)早專門(mén)化致使學(xué)生失去理智地確定自己工作領(lǐng)域機(jī)會(huì)的反對(duì)，并為此詳細(xì)列出學(xué)生應(yīng)有的基本知識(shí)，以及為了激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)應(yīng)該讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史有所了解等主張。所有這些對(duì)我們今天的高等院校的數(shù)學(xué)教育仍未失去它重要的參考價(jià)值。當(dāng)然任何人的主張都可能有偏頗，特別是半個(gè)世紀(jì)以前的主張不可能考慮到隨后五十年的數(shù)學(xué)發(fā)展與社會(huì)變遷，因此在參考原作者意見(jiàn)的同時(shí)，讀者也應(yīng)該有自己的主見(jiàn)。
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和歐洲大學(xué)生相比，美國(guó)大學(xué)生為自身的嚴(yán)重缺點(diǎn)所困擾。嚴(yán)肅地指出這些缺點(diǎn)，讓大家及早認(rèn)識(shí)它們并采取措施努力克服它們是非常必要的。除了早期數(shù)學(xué)（或選擇攻讀的其它領(lǐng)域）的訓(xùn)練不足外，美國(guó)學(xué)生還缺乏基本技巧——閱讀、寫(xiě)作和口述——的訓(xùn)練。換言之，他（她）們因不擅長(zhǎng)運(yùn)用書(shū)面及口頭語(yǔ)言而苦惱。例如：
無(wú)疑，學(xué)習(xí)與訓(xùn)練上述技巧是中學(xué)教育的任務(wù)，進(jìn)入大學(xué)時(shí)尚未掌握上述技巧的學(xué)生（在現(xiàn)在的大學(xué)生中占多數(shù)）必須努力補(bǔ)學(xué)這些技巧。不然，他（她）就不可能達(dá)到碩士學(xué)位或哲學(xué)博士學(xué)位所要求的科學(xué)上成熟的程度。應(yīng)該明白，在他（她）的大學(xué)老師那兒很難得到太多幫助。大學(xué)老師首先是科學(xué)家，他們的主要興趣是在它們的專題上。他們把自己的大部分精力與時(shí)間都貢獻(xiàn)到專題的教學(xué)與研究上，很少有人對(duì)教學(xué)過(guò)程中的問(wèn)題有強(qiáng)烈興趣，很少有人愿意直接去教這方面的問(wèn)題。這是美國(guó)高等教育的最嚴(yán)重的幾個(gè)問(wèn)題之一。使它更為嚴(yán)重的是，假若學(xué)生不能認(rèn)識(shí)自身在智力準(zhǔn)備上的不足（這是常見(jiàn)的），便會(huì)不自覺(jué)地將自己沉浸在日常作業(yè)和寫(xiě)得并不十分鼓舞人的教材的煩鎖學(xué)習(xí)中去。這并非說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不需要掌握細(xì)節(jié)。這只是說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也和學(xué)習(xí)其它科學(xué)一樣，這樣一種掌握只能通過(guò)對(duì)實(shí)質(zhì)的深刻理解而獲得。從大量細(xì)節(jié)中提煉出對(duì)實(shí)質(zhì)的深刻理解是需要技巧的，這是必須努力學(xué)會(huì)，也是可以學(xué)會(huì)的。
以上所述適用于任何學(xué)科，下面我們對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)說(shuō)幾句。任何（初級(jí)階段的）數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)都包含以下幾方面：
在初級(jí)階段，這三方面是同樣重要的。進(jìn)入高級(jí)階段后，（b）的重要性減弱了，或者與（c）難于區(qū)分了。所以高級(jí)階段的書(shū)或教材把許多東西留給學(xué)生自己去思考，自己去完成。專門(mén)設(shè)置習(xí)題的必要性逐漸消失。學(xué)生在很大程度上已成為教師的積極合作者。除非學(xué)生在初級(jí)階段解決（c）型問(wèn)題上有足夠訓(xùn)練，他（她）是不能指望在學(xué)術(shù)上取得成功的。
不言自明，假若沒(méi)有靈活地使用數(shù)學(xué)概念解決具體問(wèn)題的能力，真正理解這些基本概念是不可能的。反之，未理解這些基本概念而想利用這些概念去解決具體問(wèn)題更是不可思議的。因此，學(xué)習(xí)過(guò)程的（a），（b）和（c）三方面是不可分割的。也許是受了工程學(xué)院的影響，或者是由于所謂的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的錯(cuò)誤觀念的作祟，美國(guó)學(xué)院的數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)上包含了或多或少的機(jī)械式的訓(xùn)練。這種訓(xùn)練在教小學(xué)生學(xué)習(xí)乘法的九九表時(shí)是完全合適的，但對(duì)其它內(nèi)容的學(xué)習(xí)則很少有用了。在我系數(shù)學(xué)教學(xué)的新安排中，教學(xué)的重點(diǎn)又放到了它原來(lái)應(yīng)該放的地方：主要概念的理解上。這也許會(huì)導(dǎo)致對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程中（b）和（c）這兩部分的忽視。由于必修教材的講授被要求在很短的學(xué)時(shí)內(nèi)完成，這樣的忽視將變得非?？赡芰恕Ｊ紫?，美國(guó)學(xué)生進(jìn)入大學(xué)時(shí)幾乎沒(méi)有什么值得說(shuō)的數(shù)學(xué)知識(shí)；其次，美國(guó)尚未實(shí)行別的國(guó)家已經(jīng)實(shí)行的方法：每一門(mén)數(shù)學(xué)課應(yīng)配有合格的助手擔(dān)任的經(jīng)常性的習(xí)題課，以保證教授集中精力于他（她）感興趣的理論研究時(shí)，教學(xué)中的練習(xí)部分也能得到它應(yīng)得的重視。由于教學(xué)過(guò)程中（c）部分的重要性，現(xiàn)在它還只能說(shuō)是剛剛受到它應(yīng)得的考慮。因?yàn)槲覀兊拇蟛糠终n程都是三學(xué)時(shí)的，重點(diǎn)放在（a）上的決策將不可避免地以削弱（b）和（c）為代價(jià)。然而本系教師正對(duì)所有這些問(wèn)題給予應(yīng)有的注意，正在許可的條件下，努力改進(jìn)教學(xué)的各個(gè)方面。當(dāng)然，改進(jìn)將是逐步的。同學(xué)們，特別是決定選擇數(shù)學(xué)為自己職業(yè)的同學(xué)必須盡一切努力保持（a），（b）和（c）三方面的平衡。在即將到來(lái)的日子里，（c）是最容易被忽視的，也許選一本和所學(xué)的課題有關(guān)并含有需要用非常規(guī)方法求解的問(wèn)題的習(xí)題集（美國(guó)或外國(guó)出版的均可），可以彌補(bǔ)這方面的不足。
下面我們想討論構(gòu)成我們教學(xué)計(jì)劃中各門(mén)課的內(nèi)容及其相互關(guān)系。過(guò)去，傳統(tǒng)課程的安排是簡(jiǎn)單的。在初級(jí)階段，它包括：二維及三維（平面及空間）的解析幾何，與所謂的大學(xué)代數(shù)，即初等方程式論，目的是求實(shí)系數(shù)一元方程的數(shù)值解。解析幾何的表述形式是十八世紀(jì)Clairaut，Euler和Lagrange達(dá)到的水平（雖然它的邊緣由于此后的磨損而顯得十分模糊了）。代數(shù)基本上是Newton改進(jìn)后的Descartes的代數(shù)。緊接著便是微積分及其在曲面和曲線上的應(yīng)用，這基本上仍是Euler定下的格式。再后面便是所謂的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它沿著Newton的道路被以后的作者發(fā)展起來(lái)的初等理論力學(xué)。微積分又發(fā)展到單元復(fù)變函數(shù)理論，它是Cauchy，Riemann和Weierstrass工作的大大刪節(jié)后的綜述。最后，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)橢圓函數(shù)的定義及它的一些公式后，他（她）便被認(rèn)為是一個(gè)訓(xùn)練有素的數(shù)學(xué)家，適于從事他（她）的課題的高級(jí)研究工作了。
不幸，今天數(shù)學(xué)系的教師及學(xué)生已不可能再過(guò)這樣輕松的生活了。上述課題仍然不失為基本的，但已是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的了。因此，必須盡一切努力使學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)學(xué)習(xí)更多的東西。還因?yàn)檫^(guò)去半個(gè)世紀(jì)左右的抽象數(shù)學(xué)及公理化方法的發(fā)展已經(jīng)使我們愈來(lái)愈清楚地認(rèn)識(shí)到以下事實(shí)：從某個(gè)方面看，數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言，這種語(yǔ)言必須跟上和滿足日益發(fā)展的需要。這種語(yǔ)言有它自己的語(yǔ)法及詞匯，我們必須學(xué)會(huì)它的語(yǔ)法，掌握它的詞匯。近代數(shù)學(xué)的語(yǔ)法和詞匯首先是由抽象集合論，然后是由一般拓?fù)浜统橄蟠鷶?shù)提供的。它們都是數(shù)學(xué)的一些輔助分支，但它們卻有著顯著的差別：抽象集合論建立不到一百年，而一般拓?fù)渲挥形迨辏瑑烧呓钥烧J(rèn)為是成熟的（至少?gòu)慕裉斓臄?shù)學(xué)的需要來(lái)看）數(shù)學(xué)分支。代數(shù)雖然起源于巴比侖人，但至今仍在茁壯地發(fā)展中。無(wú)論如何，它們都已滲透到傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課題（如微積分與幾何）中去了。遠(yuǎn)在人們認(rèn)識(shí)到在許多不同的課題中支離破碎地重復(fù)研究它們是浪費(fèi)時(shí)間之前，這種滲透早已發(fā)生了。例如，把二次型化為平方和的方法只不過(guò)是巴比侖人早就知道的解二次方程的配方法，它對(duì)平面和立體解析幾何的二次曲線及二次曲面的研究和射影幾何來(lái)說(shuō)都是基本的方法，它在高維情形的推廣對(duì)于微積分中極大極小的研究，Hilbert空間正交化方法和在Hilbert空間尚未引入數(shù)學(xué)以前的許多具體問(wèn)題的研究中也有著根本的意義。將所有這些課題中的概念，以它在各種應(yīng)用中最合適的方式統(tǒng)一起來(lái)，畢其功于一役地加予處理，既能節(jié)省時(shí)間，更重要的是還能揭示方法的內(nèi)在聯(lián)系，這是值得嘗試的。
當(dāng)然不應(yīng)忘記，學(xué)習(xí)一種語(yǔ)言的語(yǔ)法是不能在使用這種語(yǔ)言之前進(jìn)行的（也許對(duì)于語(yǔ)言學(xué)家是例外）。語(yǔ)法的學(xué)習(xí)應(yīng)與語(yǔ)言的使用手拉手地進(jìn)行。同2高等數(shù)學(xué)研究2011年7月樣，數(shù)學(xué)中的抽象概念必須逐步地謹(jǐn)慎地引進(jìn)，這對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)尤應(yīng)如此。幸運(yùn)的是，一般拓?fù)渲械拇蠖鄶?shù)概念和代數(shù)（線代數(shù)和矩陣輪）中的大多數(shù)概念有著強(qiáng)烈的幾何背景，它們都可以用幾何語(yǔ)言來(lái)表述，因而比較容易被接受。
以上所述解釋了當(dāng)今數(shù)學(xué)課程的安排。預(yù)科水平的課程是提供給需要補(bǔ)初等數(shù)學(xué)知識(shí)（例如解析幾何，三角學(xué)，復(fù)數(shù)等以后經(jīng)常要用的知識(shí)）的學(xué)生的。預(yù)科之后是微積分，它的主要目的是對(duì)滿足適當(dāng)?shù)墓饣詶l件的函數(shù)的局部性質(zhì)，即函數(shù)在某個(gè)鄰域中的性質(zhì)。在近代數(shù)學(xué)中這類函數(shù)已不像一百年前或五十年前那樣占有重要位置了。但是對(duì)于培養(yǎng)有前途的數(shù)學(xué)家和專將數(shù)學(xué)用于解決某個(gè)科學(xué)問(wèn)題的科學(xué)家來(lái)說(shuō)，研究這類函數(shù)仍是數(shù)學(xué)教育中不可缺少的部分。而且在初級(jí)階段，學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)質(zhì)部分（相對(duì)于形式部分而言）主要還是來(lái)自這方面的學(xué)習(xí)。微積分的學(xué)習(xí)被組織成連貫的四個(gè)學(xué)期，初學(xué)者可望逐個(gè)學(xué)習(xí)。這些課程中包括一些例解說(shuō)明，但從長(zhǎng)遠(yuǎn)的觀點(diǎn)看，更多的例解材料應(yīng)放在初等微分幾何與初等力學(xué)這樣的課程中，后者又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)鋪平道路。
學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)微積分的同時(shí)或稍晚，便應(yīng)該開(kāi)始熟悉一些今后對(duì)他（她）不可缺少的抽象概念，這就是一系列代數(shù)課的目的之一。以通常的整數(shù)和解析幾何中的二維、三維向量空間為背景，一系列代數(shù)課將向?qū)W生介紹群、環(huán)、域、向量空間和線性變換等概念和關(guān)于這些概念的基本定理。這些概念已滲透到近代數(shù)學(xué)的大部分領(lǐng)域中，包括微積分課程的一些課題（如曲線與曲面積分，各種形式的Stokes公式所需要的Grassmann代數(shù)的知識(shí)，它是重線性代數(shù)的基本部分，它又和行列式理論不可分割）。因此，細(xì)心地彌合代數(shù)課與微積分課之間的縫隙是必要的。同時(shí)，代數(shù)課中的許多知識(shí)又和與之有緊密聯(lián)系的仿射幾何，射影幾何，任意維的歐氏幾何不可分割。假若代數(shù)課的講授不是形式地進(jìn)行的，而是在每個(gè)可能的場(chǎng)合盡力地提高和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，那么專門(mén)開(kāi)設(shè)這些幾何課就沒(méi)有必要了。學(xué)習(xí)代數(shù)與微積分時(shí)，學(xué)生已經(jīng)接觸到集合的一般概念（實(shí)數(shù)集合，函數(shù)集合，群的元素的集合等），并認(rèn)識(shí)到集合運(yùn)算（并、交、積等）的重要性。在代數(shù)里，學(xué)生已認(rèn)識(shí)到，一些數(shù)學(xué)對(duì)象并非作為先天存在而被接受的，它們是由一些刻畫(huà)它們的性質(zhì)描述的。這些性質(zhì)也未必唯一地確定它們。換言之，學(xué)生已經(jīng)接觸到抽象集合的處理方法，即公理化方法。不到五十年前，這些訓(xùn)練被認(rèn)為對(duì)邏輯學(xué)家比對(duì)數(shù)學(xué)家更合適。數(shù)學(xué)的發(fā)展已經(jīng)產(chǎn)生了這樣的影響，不僅這樣的訓(xùn)練對(duì)于數(shù)學(xué)系學(xué)生是必要的，而且只要學(xué)生在智力上已有接受它的準(zhǔn)備，它應(yīng)該提前得愈早愈好。具體地說(shuō)，經(jīng)驗(yàn)似乎告訴我們，不要比兩年微積分學(xué)完還要晚。以上說(shuō)明是針對(duì)集合論和一般拓?fù)湔n程的。雖然這兩門(mén)課程的實(shí)質(zhì)內(nèi)容都很平凡，但是它們提供了一種語(yǔ)言，這種語(yǔ)言使得以后要學(xué)習(xí)的大部分課題能方便地陳述出來(lái)。
在以上描述的課程完成以后，接著便應(yīng)進(jìn)行專門(mén)化（分科化）的學(xué)習(xí)了。雖然，不知道Galois理論可以成為一個(gè)好的分析學(xué)家，不懂得Lebesgue積分可以成為一個(gè)好的代數(shù)學(xué)家，不了解代數(shù)數(shù)論也可以成為一個(gè)好的拓?fù)鋵W(xué)家。但是，這樣做法并非是應(yīng)該鼓勵(lì)的?，F(xiàn)在，全能的數(shù)學(xué)家比以前愈來(lái)愈稀罕了。我們不準(zhǔn)備在這里討論這種過(guò)早的專門(mén)化可能帶來(lái)的災(zāi)難性后果，但愿意指出，本系不愿意鼓勵(lì)這種過(guò)早的專門(mén)化。我們希望所有的學(xué)生獲得純數(shù)學(xué)主要分支的基本知識(shí)，這將使他（她）們能發(fā)展自己的才能，并在確定今后的工作領(lǐng)域時(shí)能做出理智的選擇。我們要求學(xué)生應(yīng)理解的知識(shí)包括：
在很大程度上這些知識(shí)可以互相獨(dú)立地學(xué)習(xí)，只在高級(jí)階段，數(shù)學(xué)各分支之間的相互作用才變得重要起來(lái)。學(xué)習(xí)它們的順序可以根據(jù)學(xué)生的愛(ài)好和方便去決定，這只是個(gè)選擇和機(jī)會(huì)的問(wèn)題。
最后，學(xué)生必須認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)是一門(mén)有著悠久歷史的科學(xué)。假若對(duì)它的歷史背景沒(méi)有一些了解，要真正理解它是不可能的。首先，時(shí)間繪出了數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分支的圖象的一個(gè)維數(shù)。另外，數(shù)學(xué)中主要概念是不多的，清晰地理解它們的最好途徑是尋找它們互相滲透時(shí)逐步發(fā)展的線索，這對(duì)于各級(jí)有遠(yuǎn)見(jiàn)的數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)尤其重要。對(duì)于他（她）們來(lái)說(shuō)，在課堂上干巴巴地講述知識(shí)遠(yuǎn)不如闡述隱藏在這些知識(shí)背后的主要思想來(lái)得重要。應(yīng)該指出，數(shù)學(xué)研究是一種知識(shí)的探索。除非讓學(xué)生感受到偉大的智慧發(fā)現(xiàn)的激動(dòng)人心，他（她）會(huì)失去對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。這種激動(dòng)很難從教科書(shū)的學(xué)習(xí)中獲得，也很難從為了獲得哲學(xué)博士而攻讀的文獻(xiàn)中獲得。在眼前的情況下，不能指望學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史有一個(gè)全面的了解，除非他（她）是專攻數(shù)學(xué)史的。而且專攻數(shù)學(xué)史的也未必有此了解。然而，可以指望他（她）對(duì)他（她）特別感興趣的幾個(gè)方面的過(guò)去數(shù)學(xué)家的原著有所了解。
本文轉(zhuǎn)自：《高等數(shù)學(xué)研究》2011年7月
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