上回說到利息的基本原理，重點(diǎn)探討了錢能生息的本質(zhì)（詳情請(qǐng)戳：《利息淺談（一）——為啥錢能生息？》）。今天我們進(jìn)入更加硬核的數(shù)學(xué)部分，看下利息的核算原理究竟用的是怎樣的數(shù)學(xué)模型。
很多人說，數(shù)學(xué)要學(xué)那么好有什么用？買個(gè)菜還用得上微積分？
呵呵，買菜是用不上微積分，可是買房就用得上了?。‰y道你就這點(diǎn)追求，打算一輩子只買菜不買房？
日常生活中用微積分的場(chǎng)景雖然不多，但人和人的差距也不需要處處體現(xiàn)，有那么一處犯難就發(fā)現(xiàn)已經(jīng)是個(gè)巨大的鴻溝而無法彌補(bǔ)了。而沒有這個(gè)層次的思維訓(xùn)練，突擊是學(xué)不會(huì)的。今天我們就以買房貸款中的利息計(jì)算問題為例和大家討論下這里面的數(shù)學(xué)。
以前覺得，銀行的利率與利息的核算，按一般理解也頂多是個(gè)加減乘除級(jí)別的問題，知道有單利復(fù)利有區(qū)別，但作為對(duì)數(shù)學(xué)如此敏感的我因?yàn)楹妥约宏P(guān)系不大也沒有太在意。直到最近和同事討論：
等額本金和等額本息還款，哪個(gè)更劃得來？
同事說，你看等額本息一開始都是還的利息，要還得多得多，劃不來。我雖然大體有印象，這本沒什么區(qū)別，僅在于借錢時(shí)間長(zhǎng)短而已。但發(fā)現(xiàn)自己僅有定性認(rèn)識(shí)，還真沒定量算過，其實(shí)是一知半解，遂認(rèn)真研究了一把銀行房貸利率的算法。推演完畢才發(fā)現(xiàn)，這里的內(nèi)容真的值得好好學(xué)習(xí)回顧一番。
利率是什么，利息如何計(jì)算？
上一篇文章提到，銀行等金融機(jī)構(gòu)在返還給投資者資本增值過程中的分成時(shí)，往往以固定利率分成，那么這個(gè)方式就是約定利率和利息，這是存款。如果是貸款，只是方向不同而已，利息模型是一樣的。
注意，這些概念都是金融工具里的數(shù)學(xué)規(guī)定，實(shí)際資本的增長(zhǎng)周期，大小，波動(dòng)都和這個(gè)值不同，有差距的部分由銀行自負(fù)盈虧。
下面我們來具體看看利率和利息這兩個(gè)概念的具體含義。
利率是利息率的簡(jiǎn)稱，是單位時(shí)間內(nèi)利息相對(duì)本金增值的比例。看到了吧，這個(gè)比例的說法就說明，這是個(gè)線性增長(zhǎng)的模型，沒有規(guī)模效應(yīng)，原意也是沒有復(fù)合增長(zhǎng)或者“利滾利”的概念的。那利息也很好算，就是利率乘以時(shí)間而已。如果是活期，還有隨時(shí)支取的能力，這種級(jí)別的流動(dòng)性是很大的價(jià)值。但所謂的隨時(shí)也不是理想化的，比如要在銀行上班的時(shí)候，以及最小的計(jì)息周期可能是天，存一個(gè)小時(shí)并沒有利息等等。而定期存款，雖然說是什么利率，但是實(shí)際上你只能在規(guī)定時(shí)間支取，這個(gè)利率就只是個(gè)以單利模式參考的數(shù)值而已，在時(shí)間還沒到的時(shí)候如果還不能交易的話是沒有價(jià)值的，不像活期那樣真的可以隨時(shí)行之。
由此也可以看出投資存款和其他投資最大的區(qū)別，銀行是以固定利率，規(guī)定或任意的時(shí)間來給你返回資本的時(shí)間價(jià)值的，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化的產(chǎn)品叫作存款，逆過程叫貸款。這種產(chǎn)品相對(duì)穩(wěn)定，而其他的投資，比如股票，風(fēng)投或者對(duì)自己，后代的投資，是不知道要猴年馬月才會(huì)開花結(jié)果，多少，以什么形式的。人們有對(duì)這種固定收益模式的，低風(fēng)險(xiǎn)，確定回報(bào)投資的需求，銀行就一定會(huì)有生意。
對(duì)于一項(xiàng)存款或貸款產(chǎn)品，其參數(shù)有利率，計(jì)息方式，計(jì)息周期，支取周期以及到期時(shí)間約定，我們稱之為五要素利息模型，即利息的增長(zhǎng)函數(shù)，由這5個(gè)參數(shù)決定。利息和利率講完了，我們接著看后面兩個(gè)。
計(jì)息方式和計(jì)息周期
除了利息和利率，還有一個(gè)被忽略了的重要概念：計(jì)息方式。當(dāng)你去銀行存貸款的時(shí)候，合同里必然都會(huì)寫明，但是天花亂墜的宣傳廣告里可就沒有了。但是當(dāng)金額大，利率高，時(shí)間長(zhǎng)的場(chǎng)景中，這兩者有著天壤之別。計(jì)息方式一般有單利和復(fù)利兩種，取決于是否約定，錢的增值是個(gè)可以以一定周期把利息轉(zhuǎn)化為本金繼續(xù)增值的過程，俗稱利滾利。在一般的銀行活期存款的操作實(shí)踐中，1個(gè)周期內(nèi)為單利計(jì)息，超過1個(gè)周期為復(fù)利，該周期也稱為復(fù)利的計(jì)息周期，我們記作l。比如銀行會(huì)每個(gè)季度在你的存折上結(jié)息一次，這些錢自動(dòng)就進(jìn)入賬戶開始計(jì)入本金開始增長(zhǎng)，就可以看作復(fù)利增長(zhǎng)了，但是若不滿一個(gè)季度，提前結(jié)息就是單利的。具體而言，假設(shè)本金為單位1，利息率為r每周期，那么假設(shè)還款時(shí)間為n個(gè)計(jì)息周期后，本息和為：
單利：1 + nr
復(fù)利：(1 + r) ^ n
如銀行活期實(shí)操中所說，這里n可以為整數(shù)，此時(shí)一般取復(fù)利，也可以為小數(shù)，那么其小數(shù)部分取單利。注意哪怕是單利計(jì)息也是可以有計(jì)息周期的，只不過反正沒有復(fù)利增值，利息不會(huì)變成本金，什么時(shí)候計(jì)息無所謂。
根據(jù)二項(xiàng)式定理的展開公式可以看到，若n，r都很大，那么二者的差距會(huì)很大，即年限越來越長(zhǎng)以及原利率越高，單利復(fù)利計(jì)息方式差距越大。
支取周期和到期時(shí)間
很多人覺得，存貸款產(chǎn)品搞清楚它們的利率和計(jì)息方式，能算清楚利率就行了。大面上這些是基礎(chǔ)不錯(cuò)，不過，如果你忽略了支取周期和到期時(shí)間，可能在一些關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上要吃大虧。我們以活期和定期兩種存款為例來講解。
如果是活期，n可以取任意正數(shù)，這是最靈活的到期時(shí)間約定，相當(dāng)于無期限的到期時(shí)間o。只要銀行給你開門，n的任意多位小數(shù)部分都能實(shí)現(xiàn)利息，不過實(shí)操下，一定會(huì)有一個(gè)最小周期，稱為支取周期，記為m，一般m <= l，m <= o，m | l，因此對(duì)于支取而言，首先是銀行給你開門，另外，會(huì)對(duì)你存錢的時(shí)間t等效為[t / m] * m(+ 1)。這個(gè)+1與否取決于具體業(yè)務(wù)，比如銀行存款都默認(rèn)下一天計(jì)息不加1，貸款當(dāng)天計(jì)息需要加1，反正銀行不會(huì)虧就是了。
所以，活期存款是一種低而固定利率，復(fù)利計(jì)息，計(jì)息周期三個(gè)月，支取周期為1天，沒有到期時(shí)間的產(chǎn)品。雖然看起來是復(fù)利，只不過，因?yàn)槠浣Y(jié)算周期很長(zhǎng)，利率本身值也很低，因此區(qū)別并不大，屬于幾乎沒有成本的好。
如果是定期，那么，往往相當(dāng)于取時(shí)間單位為定期長(zhǎng)度，那么m = l = o = 1，三者值沒有區(qū)別。同樣固定利率，而都必須在唯一的到期時(shí)間上以一個(gè)計(jì)息周期結(jié)算，反正只有1個(gè)計(jì)息周期，復(fù)利不復(fù)利也沒有什么意義了。從此也可以看出，定期存款其實(shí)是一種很死板的產(chǎn)品，越是這樣，對(duì)銀行核算風(fēng)險(xiǎn)和收益越精確，比如就不存在活期的擠兌風(fēng)險(xiǎn)，因此也愿意付出更高的利息給用戶。而相比活期，用戶確實(shí)也損失了更多的資金的流動(dòng)性，到期那天也很難接著馬上有這個(gè)利息的產(chǎn)品接上，這些損失都由更高的利率來償還。
定期的實(shí)操上，為了方面客戶比較計(jì)算，會(huì)按照單利計(jì)息的方式，公布所謂年化利率值，而這里面，大有文章。我們下期再說。
當(dāng)然，支取周期和到期時(shí)間上還有很多名堂，比如銀行的各種帶分紅的理財(cái)產(chǎn)品，有按年定額給付，最后又按一定額度逐年返還之類的操作；還有我們的等額本息和本金的房貸產(chǎn)品等等，都可以看作是在某個(gè)利率和計(jì)息周期下，花式給定了支取周期和到期時(shí)間。這使得客戶對(duì)這筆投資的流動(dòng)性變得完全不可控，而對(duì)于銀行來說，又足夠安全可控?？傊?，我們不能聽信廣告上花里胡哨的介紹，而是要通過利息和利率，計(jì)息方式（復(fù)利的計(jì)息周期），以及支取周期和到期時(shí)間這5個(gè)要素的全面理解，來全面了解一款產(chǎn)品的收益和風(fēng)險(xiǎn)。
以上就是利息計(jì)算模型在金融實(shí)操上的一些數(shù)學(xué)模型本質(zhì)上的理解，文章開頭提到的“等額本金和等額本息還款，哪個(gè)更劃得來？”的問題大家可以用我們給出的5要素利息模型先想想，我們后面的文章還會(huì)聊到，謝謝欣賞。
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