前言

美妙的數(shù)學(xué)


　　長期以來，一個令人困惑的現(xiàn)象是：一些同學(xué)視數(shù)學(xué)如畏途，興趣淡漠， 導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績普遍低于其他學(xué)科。
這使一些教師、家長以至專家、學(xué)者大傷腦筋！ “興趣是最好的老師?！睂θ魏问挛铮挥杏辛伺d趣，才能產(chǎn)生學(xué)習(xí)鉆
研的動機。興趣是打開科學(xué)大門的鑰匙。 對數(shù)學(xué)不感興趣的根本原因是沒有體會到蘊含于數(shù)學(xué)之中的奇趣和美
妙。
　　一個美學(xué)家說：“美，只要人感受到它，它就存在，不被人感受到，它 就不存在。”
對數(shù)學(xué)的認識也是這樣。
　　有人說：“數(shù)學(xué)真枯燥，十個數(shù)字來回轉(zhuǎn)，＋、-、×、÷反復(fù)用，真乏 味！”
有人卻說：“數(shù)學(xué)真美好，十個數(shù)字顛來倒，變化無窮最奇妙！” 認為枯燥，是對數(shù)學(xué)的誤解；感到了興趣，才能體會到數(shù)學(xué)的奧妙。 其實，數(shù)學(xué)確實是個最富有魅力的學(xué)科。它所蘊含的美妙和奇趣，是其
他任何學(xué)科都不能相比的。
　　盡管語文的優(yōu)美詞語能令人陶醉，歷史的悲壯故事能催人振奮，然而， 數(shù)學(xué)的邏輯力量卻可以使任何金剛大漢為之折服，數(shù)學(xué)的濃厚趣味能使任何 年齡的人們?yōu)橹畠A倒！茫茫宇宙，浩浩江河，哪一種事物能脫離數(shù)和形而存 在？是數(shù)、形的有機結(jié)合，才有這奇奇妙妙千姿百態(tài)的大千世界。
數(shù)學(xué)的美，質(zhì)樸，深沉，令人賞心悅目；數(shù)學(xué)的妙，鬼斧神工，令人拍
案叫絕！數(shù)學(xué)的趣，醇濃如酒，令人神魂顛倒。 因為它美，才更有趣，因為它趣，才更顯得美。美和趣的和諧結(jié)合，便
出現(xiàn)了種種奇妙。
　　這也許正是歷史上許許多多的科學(xué)家、藝術(shù)家，同時也鐘情于數(shù)學(xué)的原 因吧！
數(shù)學(xué)以它美的形象，趣的魅力，吸引著古往今來千千萬萬癡迷的追求者。

一、數(shù)學(xué)的趣味美


　　數(shù)學(xué)是思維的體操。思維觸角的每一次延伸，都開辟了一個新的天地。 數(shù)學(xué)的趣味美，體現(xiàn)于它奇妙無窮的變幻，而這種變幻是其他學(xué)科望塵莫及 的。
　　揭開了隱藏于數(shù)學(xué)迷宮的奇異數(shù)、對稱數(shù)、完全數(shù)、魔術(shù)數(shù)??的面紗， 令人驚詫；觀看了數(shù)字波濤、數(shù)字漩渦??令人感嘆！一個個數(shù)字，非但毫 不枯燥，而且生機勃勃，鮮活亮麗！
　　根據(jù)法則、規(guī)律，運用嚴(yán)密的邏輯推理演化出的各種神機妙算、數(shù)學(xué)游 戲，是數(shù)學(xué)趣味性的集中體現(xiàn)，顯示了數(shù)學(xué)思維的出神入化！
　　各種變化多端的奇妙圖形，賞心悅目；各種撲朔迷離的符形數(shù)謎，牽魂 系夢；圖形式題的巧解妙算，啟人心扉，令人贊嘆！
　　
　　魔幻謎題，運用科學(xué)思維，“彈子會告密”、“卡片能說話”，能知你 姓氏，知你出生年月，甚至能窺見你腦中所想，心中所思??真是奇趣玄妙， 鬼斧神工。
面對這樣一些饒有興味的問題，怎能說數(shù)學(xué)枯燥乏味呢？

二、數(shù)學(xué)的形象美


黑格爾說：“美只能在形象中出現(xiàn)?！?談到形象美，一些人便聯(lián)想到文學(xué)、藝術(shù)，如影視、雕塑、繪畫，等等。
似乎數(shù)學(xué)只是抽象的孿生兄弟。 其實不然。
　　數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)，數(shù)形的有機結(jié)合，組成了萬事萬物的絢麗畫 面。
數(shù)字美：
　　阿拉伯?dāng)?shù)字本身便有著極美的形象：1 字像小棒，2 字像小鴨，3 字像耳 朵，4 字像小旗??瞧，多么生動。
符號美：
　　“=”（等于號）兩條同樣長短的平行線，表達了運算結(jié)果的唯一性，體 現(xiàn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的清晰與精確。
“≈”（約等于號）是等于號的變形，表達了兩種量間的聯(lián)系性，體現(xiàn)
了數(shù)學(xué)科學(xué)的模糊與朦朧。 “＞”（大于號）、“＜”（小于號），一個一端收緊，一個一端張開，
形象地表明兩量之間的大小關(guān)系。
　　{[（）]}（大、中、小括號）形象地表明了內(nèi)外、先后的區(qū)別，體現(xiàn)對 稱、收放的內(nèi)涵特征。

線條美： 看到“⊥”（垂直線條），我們想起屹立街頭的十層高樓，給我們的是
挺拔感；看到“—”（水平線條），我們想起了無風(fēng)的湖面，給我們的是沉
靜感；看到“～”（曲線線條），我們想起了波濤滾滾的河水，給我們的是 流動感。
幾何形體中那些優(yōu)美的圖案更是令人賞心悅目。

　　三角形的穩(wěn)定性，平行四邊形的變態(tài)性，圓蘊含的廣闊性??都給人以 無限遐想。
脫式運算的“收網(wǎng)式”變形以及統(tǒng)計圖表，則是數(shù)與形的完美結(jié)合。 我國古代的太極圖，把平面與立體、靜止與旋轉(zhuǎn)，數(shù)字與圖形，更做了
高度的概括！


三、數(shù)學(xué)的簡潔美


　　數(shù)學(xué)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，決定它必須精煉、準(zhǔn)確，因而簡潔美是數(shù)學(xué)的又一 特色。
數(shù)學(xué)的簡潔美表現(xiàn)在：
　　1.定義、規(guī)律敘述的高度濃縮性，使它的語言精煉到“一字千金”的程 度。
　　質(zhì)數(shù)的定義是“只有 1 和它本身兩個約數(shù)的數(shù)”，若丟掉“只”字，便 荒謬絕倫；小數(shù)性質(zhì)中“小數(shù)末尾的 0??”中的“末尾”若說成“后面”， 便“失之千里”。此種例證不勝枚舉。
2.公式、法則的高度概括性 一道公式可以解無數(shù)道題目，一條法則囊括了萬千事例。 三角形的面積=底×高÷2。把一切類型的三角形（直角的、鈍角的、銳
角的；等邊的、等腰的、不等邊的）都概括無遺。 “數(shù)位對齊，個位加起，逢十進一”把各種整數(shù)相加方法，全部包容了
進去。
3.符號語言的廣泛適用性 數(shù)字符號是最簡潔的文字，表達的內(nèi)容卻極其廣泛而豐富，它是數(shù)學(xué)科
學(xué)抽象化程度的高度體現(xiàn)，也正是數(shù)學(xué)美的一個方面。
a＋b=b＋a abc＝acb=bca??
其中 a，b，c 可以是任何整數(shù)、小數(shù)或分?jǐn)?shù)。
1
S = (a + b) h，適用于各種形狀梯形面積的求解。
2
a 1

a·b =

1 ，a÷b = a× b ，表達了乘與除相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，反映
b

了事物的對立統(tǒng)一。
πR2-πr2=π（R＋r）·（R-r），環(huán)形面積的多解性便富含其中。

r 2 ? 2r 2
2r 2

(? - 2)r 2
= 2r 2

- 2
= = 57％，則表明：“圓中方”剪去部分
2

與正方形面積間的固有聯(lián)系。 所以，這些用符號表達的算式，既節(jié)省了大量文字，又反映了普遍規(guī)律，
簡潔，明了，易記，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言干練、簡潔的特有美感。

四、數(shù)學(xué)的對稱美


　　對稱是美學(xué)的基本法則之一，數(shù)學(xué)中眾多的軸對稱、中心對稱圖形，幻 方、數(shù)陣以及等量關(guān)系都賦予了平衡、協(xié)調(diào)的對稱美。
略舉幾例：


算式：
2∶3=4∶6 x＋5=17-9 數(shù)陣：











圖形： 數(shù)學(xué)概念竟然也是一分為二地成對出現(xiàn)的：“整—分，奇—偶，和—差，
曲—直，方—圓，分解—組合，平行—交叉，正比例—反比例??，顯得穩(wěn) 定、和諧、協(xié)調(diào)、平衡，真是奇妙動人。












　　數(shù)學(xué)中蘊含的美的因素是深廣博大的。數(shù)學(xué)之美還不僅于此，它貫穿于 數(shù)學(xué)的方方面面。數(shù)學(xué)的研究對象是數(shù)、形、式，數(shù)的美，形的美，式的美， 隨處可見。它的表現(xiàn)形式，不僅有對稱美，還有比例美、和諧美，甚至數(shù)學(xué) 的本身也存在著題目美、解法美和結(jié)論美。
上述這些只是浮光掠影的介紹，然而，也足見數(shù)學(xué)的迷人風(fēng)采了。
　　打開這本書，如同進入一個奇妙世界，呈現(xiàn)眼前的盡是數(shù)、形變幻的奇 妙景觀，一個個“枯燥”的數(shù)字活蹦亂跳地為你做精彩表演，一個個“抽象” 的概念娓娓動聽地向你講述生動的故事。它揭示了隱藏于深層的數(shù)學(xué)秘密， 展示了數(shù)學(xué)迷宮的絢麗多彩。數(shù)的變幻，形的奇妙，有的令你追根究底，有 的令你流連忘返，有的令你驚訝感嘆，有的令你拍案叫絕??
走進這個奇妙世界，必將如咀嚼一枚橄欖果，品嘗到數(shù)學(xué)的濃濃趣味，
感受到數(shù)學(xué)王國神異高妙，從而使我們眼界大開。你將驚呼：“哇！數(shù)學(xué)原 來是這么有趣?。　?br>
奇妙數(shù)學(xué)大世界 A

數(shù)字花絮


　　十個阿拉伯?dāng)?shù)字，像五彩繽紛的花絮。四種運算符號+、-、×、÷，如 變幻多姿的魔棒。數(shù)字與符號的組合分化，則構(gòu)建一道道迷人的風(fēng)景線，它 牽動著多少智者的神經(jīng)，激蕩起幾多想象和思考。
　　一代代人的耕耘培育，使數(shù)學(xué)園地繁花似錦，光彩奪目。這里的每一個 數(shù)字都是一朵彩色的花瓣，這里的每一道問題都誘發(fā)出迷人的魅力。
　　一些題隱去了數(shù)字，只呈現(xiàn)一片虛幻的空白。每一塊空白又都是一個等 待回答的問號，撲朔迷離，直令人魂牽夢繞。
　　再沒有比“懸念”更能激發(fā)思考了！空白虛幻之中卻又隱藏種種技巧。 數(shù)字趣題雖沒有像應(yīng)用題、故事或游戲趣題那樣的事件、情節(jié)，往往只 透露一點點信息，卻要求從已知的點滴信息中，推出它的整體面貌。它像一 團霧，像一個謎，雖然一時看不清，抓不住，卻又有著實實在在的答案。這
樣，就更加激人深思，引人思考。一經(jīng)入目，必欲弄個水落石出。 數(shù)字趣題中，有的是在一個算式中只保留部分?jǐn)?shù)字，而將另一些數(shù)字隱
去，只用“□”、“☆”或其他文字符號來替代。要求根據(jù)已有的數(shù)字，運 用分析、推理，將被隱去的數(shù)字復(fù)原，使算式完整，成立。這種趣題，在我 國古代稱為“蟲蝕算”，意思是，本來很完整的算式，被書蟲啃蝕了，因而， 數(shù)字便殘缺不全。有的只提供一些數(shù)字，要求添加運算符號或巧妙組合，使 它們符合規(guī)定的條件。
有的是通過數(shù)字的排列組合出現(xiàn)一些奇妙的有規(guī)律的現(xiàn)象。如幻方、數(shù)
陣，它們縱橫或周邊，在同一直線上的各個數(shù)字之和，都為同一數(shù)值，奇幻 迷人。
數(shù)字趣題，依其表現(xiàn)形式，常見的有以下數(shù)種：
一、豎式謎 二、橫式謎 三、填空謎 四、幻方 五、數(shù)陣
解數(shù)字謎，要根據(jù)四則運算的法則、規(guī)律，對照已知條件，理清數(shù)與數(shù)
間的內(nèi)在聯(lián)系，先易后難，由此及彼，使被隱去或要求填寫的數(shù)字，一個一 個地暴露出來。從而撥開迷霧，顯出“廬山真面目”?；梅胶蛿?shù)陣的制作， 則更有一套獨特的方法。
　　解數(shù)字趣題，如同偵察員破案一樣，開始如理亂麻，漸漸便理清線索， 繼而順藤摸瓜，最終便真相大白了！
　　
豎式謎


　　在加、減、乘、除四則運算中，比較復(fù)雜的題目，都要先列豎式進行演 算。
　　常見的豎式，都是單純的求和或差，或積或商。豎式謎，卻只提供不完 全的條件。有時給出幾個或一個數(shù)字，隱去了其他各數(shù)；有時一個數(shù)字也沒 有，只用“□”或“★”等特殊符號，把豎式的框架顯示出來。
　　這種豎式看上去像一團迷霧，撲朔迷離，簡直是個沒解開的謎。只有熟 練算法、算理，根據(jù)已提供的點滴信息，分析、推理，順藤摸瓜，才能使一 個個隱去的數(shù)字重新出現(xiàn)。
　　解加、減法的豎式謎，主要根據(jù)進位、退位情況，進行分析、判斷。乘、 除法，除了考慮進、退位問題，還要根據(jù)乘、除法的法則，認真推敲。一般 要先將容易找出的數(shù)字填出來，這樣，未知數(shù)的范圍便越來越小，最終便可 找出全部隱藏的數(shù)字。
解數(shù)字謎，如同偵察員破案一樣，新奇，有趣。
例 1

解：加數(shù)都是兩位數(shù)，從第一個加數(shù)個位是 5 與和的個位數(shù)是 9，可以 推斷第二個加數(shù)的個位數(shù)必定是 4。即 5+？=9。從和的百位數(shù)與十位數(shù)是 18， 可斷定，兩個加數(shù)的十位數(shù)都是 9，這樣，謎便揭開了：




例 2






解：三個加數(shù)，只知道其中兩個加數(shù)的個位分別是 7、5，而和的個位卻
是 8，肯定是進位造成的。從 7+5+？=□8，可判斷另一個加數(shù)的個位必為 6， 十位上 5+□+7=□7，可斷定：□加上個位進上來的 1 是 5，去掉進上來的 1 應(yīng)是 4。百位上 2+□=6，可知：□=4，去掉進上來的 1，□=3。
可知原式為：





例 3

　　解：這個減法算式，只告知了減數(shù)是 1，被減數(shù)、減數(shù)都不知道！全式 應(yīng)有八個數(shù)字，其中七個都是未知數(shù)，初看是比較難解的。但是認真分析一
　　
下減法算式各部分的數(shù)位，便可以找到突破口。被減數(shù)有四位，減去 1 后， 差卻成了三位數(shù)，只有相減時連續(xù)退位，才會如此。那么，什么數(shù)減去 1 需 要向高位借數(shù)呢？只有“0”！而最高位退 1 后成了 0，表明被減數(shù)的最高位 就是“1”。這樣，就可以斷定被減數(shù)是 1000。知道了被減數(shù)和減數(shù)，差就 迎刃而解了！
可知，原式是：




例 4

　　解：個位上，被減數(shù)是 7，差是 6，可知減數(shù)是 1。十位上，減數(shù)是 8， 差是 9，可知被減數(shù)必小于 8，借位后才使差比減數(shù)大的。那么，？-8=9，可 知被減數(shù)十位上是 7。再看百位，因為被減數(shù)是四位數(shù)。相減后，成了三位 數(shù)，差的百位數(shù)又是 9，從而斷定，被減數(shù)的百位上是 0，千位上必定是 1 了。
可知，原式是：

例 5 下面的算式，加數(shù)的數(shù)字都被墨水污染了。你能知道被污染的四個 數(shù)字的和嗎？






　　解：和的個位數(shù)是 9，可知加數(shù)的個位數(shù)字相加沒有進位。即兩個數(shù)字 和是 9。和的百位與十位上的數(shù)是 18，便是兩個加數(shù)十位數(shù)字的和。所以， 被污染的四個數(shù)字的和是：18+9=27。
例 6 下面算式中的數(shù)字都被遮蓋住了，求豎式中被遮蓋住的幾個數(shù)字的
和。

　　解：這是一道三個三位數(shù)的加法。從和的前兩位是 29，可斷定三個加數(shù) 的百位必須是 9，因為三個 9 的和才是 27，多出的部分便是進位造成的。同 理，可斷定加數(shù)的三個十位數(shù)字的和，也必須是 9，多出的 2（29-27），是 個位進位造成的。而和的個位數(shù)是 1，斷定三個加數(shù)的個位數(shù)字和是 21。
因此，被遮蓋的數(shù)，數(shù)字和是：
27+27+21=75
例 7


　　解：這是個三位數(shù)與一位數(shù)相乘的算式。被乘數(shù)只知道十位數(shù)是 2，積 只知道個位數(shù)是 2，乘數(shù)是 7，其余都是未知數(shù)！但是從個位的一個數(shù)與 7 相乘，積的個位數(shù)是 2，可推斷被乘數(shù)的個位數(shù)只能是 6。 6×7=42，十位上
進 4。被乘數(shù)的十位數(shù)是 2，20×7=140，加上進位的 4，積的十位應(yīng)是 8，進
位 1。從積是三位數(shù)，可斷定被乘數(shù)的百位數(shù)必為 1（因為若大于 1，積則為 四位數(shù)了?。?×7=7，加上進上來的 1，積的百位數(shù)便是 8 了。
可知，原式是：




例 8

　　解：這是個四位數(shù)與兩位數(shù)相乘的算式。從乘數(shù)的個位數(shù) 9 和部分積個 位是 7，可推知被乘數(shù)的個位是 3，進 2。據(jù)此，推知被乘數(shù)的十位是 8，8
×9=72，加上進位 2，才符合積的十位數(shù)得 4 的要求。再根據(jù)積的百位數(shù)是
5，推知被乘數(shù)百位是 2，2×9=18，加上進位 7，得 5，進 2。繼而推知被乘 數(shù)千位是 5，5×9=45，加上進位 2，才可得積的千位數(shù) 7。
從被乘數(shù)是 5283 和第二部分積中的 5，可以推斷乘數(shù)的十位數(shù)，因為被
乘數(shù)的前兩位是 5、2，經(jīng)過嘗試，乘數(shù)的十位數(shù)只能是 3。 至此，其他各數(shù)字，便容易得出了！





例 9

解：為了分析，我們將題中的關(guān)鍵位置用字母標(biāo)出。 算式中，只有被乘數(shù)與 2 的積是四位數(shù)，與 A、B 的積都仍是三位，從而
斷定 A=B=1。以此為突破口，再追尋其他。
　　其中，部分積 D 與完全積中的 C，也很明顯是 1。D 由“□×2”得來， 最大的一位數(shù)乘 2 也只能進 1。由 D=1，斷定 C=1。
　　知道 D=1，“D+E”又進位，推斷 E 不是 8 必是 9。如果 E 是 8，則 F 非 6 即 7，但是 F+8=9，所以 E 不可能是 8。
　　

　　部分積“GH□”和“E8□”都是被乘數(shù)與 1 相乘得到的，所以，E=G=9， H=8。
知道了 H=8，從“8+K=□2”斷定 K=4。K 是被乘數(shù)與 2 相乘得到的，乘
2 后積的尾數(shù)是 4 的只有 2 或 7。 再通過一些試算，算式中的數(shù)字，便一個個都推斷了出來：







例 10 下面的算式，沒有一個已知數(shù)。只知道式內(nèi)的全部數(shù)字都是質(zhì)數(shù)。 能把所有的數(shù)字都找出來嗎？







　　解：式中的全部數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，那么組成算式的數(shù)字只能是 2、3、5、7 四個數(shù)字。
從三位數(shù)乘得的積都是四位數(shù)，并且得數(shù)全部是質(zhì)數(shù)，我們可以用 2、3、
5、7 任組成一個三位數(shù)和一個一位數(shù)相乘，凡積也全部是質(zhì)數(shù)的就記下來， 不符合就舍棄，這樣使范圍逐步縮小。
經(jīng)嘗試，只有 775×3=2325，555×5=2775，755×5=3775，325×7=2275
四種情況。 要符合題目的條件，乘數(shù)只能是數(shù)字相同的兩位數(shù)。這樣也有四種情況：
775×33 555×55 775×55 325×77。
相乘后，不僅它們的部分積，連完全積也必須都是質(zhì)數(shù)，才能符合題意。 經(jīng)檢驗后，只有下面的算式符合：






這團迷霧，終于真相大白。
例 11







解：在乘法中，積的位數(shù)估算方法是：看被乘數(shù)與乘數(shù)首數(shù)相乘的積：

首數(shù)相乘滿 10 時： 積的位數(shù)=被乘數(shù)位數(shù)+乘數(shù)位數(shù)
首數(shù)相乘不滿 10 時： 積的位數(shù)=被乘數(shù)位數(shù)+乘數(shù)位數(shù)-1
本題是三位數(shù)與兩位數(shù)相乘，積為四位數(shù)?？芍瑢偈讛?shù)相乘不滿 10 的。由此斷定，被乘數(shù)的首位是 1。再由兩部分積首位相加不進位，斷定被 乘數(shù)的十位數(shù)也只能是 1。被乘數(shù)的個位數(shù)，則根據(jù)積是四位數(shù)，參照乘數(shù) 的十位數(shù) 8，相乘后，部分積的首位不能滿 10，斷定必是 2。這樣，全式便 可以列出了：





例 12

　　解：這個除式中，除了告知商中兩個數(shù)字外，其余的全是未知數(shù)！初看 很難。但是，當(dāng)認真觀察全式后，便可發(fā)現(xiàn)線索：除數(shù)是兩位數(shù)，與商的首 位相乘，其積是三位數(shù)，而與商中的 8 相乘，則積是兩位數(shù)了，從而可斷定：
①商的首位是 9；②除數(shù)的首位是 1；③除數(shù)的個位數(shù)字，一定小于或等于 2。
因為，1□中個位若是 3，與 8 乘積就是三位數(shù)了；個位若是 1，與商的首位
9 乘，又不是三位數(shù)了?？芍貫?2。即除數(shù)是 12。
　　再看商的十位數(shù)。從商 98□7，對照除式是落下一位不夠除的，才連落 兩位數(shù)，這樣，又可斷定，十位上的商是 0。
已經(jīng)知道了除數(shù)和商，被除數(shù)便是：12×9807=117684。
可知，原式是：








例 13


解：首先要找出解題的突破口。
　　從余數(shù)是 0，表明商與除數(shù)相乘得 138，即“2□×6=138”，一個數(shù)乘 6 個位是 8 的只有 3 和 8，但是 2□方框中若是 8，便不合題意，因為 28×6≠
138。
確定了除數(shù)是 23，23×6=138，則被除數(shù)的個位數(shù)也必是 8。 再從商的十位數(shù)□與除數(shù) 23 相乘得 184，即 23×□=184，可知商的十位
數(shù)也是 8。
　　商的百位數(shù)已知是 1，與除數(shù) 23 相乘仍是 23，從首商差的數(shù)字是 19， 可推斷被除數(shù)的首位數(shù)字應(yīng)是 4。
這樣，算式便全部恢復(fù)了數(shù)字：









例 14











解：這是除數(shù)是三位數(shù)的除法。
　　商的百位是 1，它與除數(shù)相乘的積個位是 5，可知除數(shù)的個位也是 5，即 除數(shù)是 215，從而可知第一次相減余 55，拉下 9，得 559。被除數(shù)的千位數(shù)必
是 7。
再看 559 被 215 除應(yīng)商幾呢？從相減余下 9，可知商的百位數(shù)是 2。余
129，再拉下 0，繼續(xù)除。
除數(shù) 215 的多少倍是 1290 呢？從而又確定了商的個位數(shù)是 6。 這樣，全式便是：








例 15


　　解：這道題被除數(shù)是六位數(shù)，除數(shù)和商都是三位數(shù)，這么復(fù)雜的除式， 知道的數(shù)字只有一個 8，要將那些隱去的數(shù)字都找出來，就要有偵察員破案 的精神。
　　從除數(shù)與 8 相乘的積是三位數(shù)，而除數(shù)與商的百位和個位相乘都得四位 數(shù)，說明商的百位和個位都比 8 大，那就只能是 9 了！
即完全商是 989。

　　從除數(shù)乘 9 得四位數(shù)，斷定除數(shù)百位是 1，否則與 8 乘也是四位數(shù)了。 同理，商的十位數(shù)也必須比較小。經(jīng)對照商與乘積關(guān)系，反復(fù)嘗試，確定了 除數(shù)是 112。這樣，其他各數(shù)便不難推斷了。
例 16

　　解：這是一道六位數(shù)除以兩位數(shù)，商是四位數(shù)的除法算式。整個算式中， 只知道商的末位數(shù)字是 5，要我們把全部數(shù)字都找出來，真是個難解的謎！
從何處下手呢？
　　首先要認真觀察算式特點，由易到難，順藤摸瓜。一般都是從除數(shù)、商 與被除數(shù)的關(guān)系進行推導(dǎo)。
　　在除法中，余數(shù)必須小于除數(shù)，落下被除數(shù)中的一位后，仍不夠除，必 須在商的空位上補 0。由豎式特點，可判定商的百位數(shù)是 0。
商的千位數(shù)是幾呢？
　　從商的百位數(shù)是 0，可推斷，被除數(shù)的首位數(shù)和第一次余數(shù)的首位數(shù)必 定是 1，由此，又可推斷，如果除數(shù)是 11，商的千位數(shù)是 9，如果除數(shù)是 99， 商的千位數(shù)是 1。因為三位數(shù)減去兩位數(shù)，余數(shù)是 1 的，只能是 100—99，而 從除式的末尾看，商與除數(shù)的積只有兩位數(shù)，除數(shù)若是 99，那么與商的末位
數(shù) 5 相乘，便是三位數(shù)了！所以，除數(shù)只能是 11。 同樣，根據(jù)除式的特點及已推知除數(shù)是 11，可斷定，商數(shù)的十位數(shù)也是

9。
這樣，整個算式便可恢復(fù)原狀了。
9095×11=100045
原式為：








例 17

　　解：這道小數(shù)除法算式中，竟然連一個已知數(shù)都沒有。但是卻要求根據(jù) 算法、算理把全部數(shù)字都補上去，真是奇妙！
從哪里尋找突破口？
　　我們知道，小數(shù)除法最后一個不完全積的右端必有若干個 0，這是它與 整數(shù)除法的特殊之處。這就決定了它的商和除數(shù)的最后一位數(shù)字，必然為一 個是 5，另一個是偶數(shù)，否則，它們的積，便不可能是整十、整百、整千?? 了。
從這道式的特點看，商的十分位是 0。首次商后的余數(shù)，數(shù)字在 1～9 之
間，若不考慮小數(shù)點，補 0 后為 100～900 之間。定下這個數(shù)之后，便可進一 步分析除數(shù)和商的末位數(shù)了。
除數(shù)是三位數(shù)與商的末位相乘得整百的數(shù)只有：125×4=500，225×
4=900。
如果除數(shù)是 125 （實際是 1.25 ），則被除數(shù)是 130 （實際是
1.25+0.05=1.3）。
如果除數(shù)是 225 （實際是 2.25 ），則被除數(shù)是 234 （實際是
2.25+0.09=2.34）。 經(jīng)檢驗，這兩種情況都符合題意。 則此式可能是：
解 1：







解 2：



　　　　　　　　　　　　　　橫式謎


橫式謎比豎式謎更為復(fù)雜、迷人。 豎式謎只是四則運算中的一種，橫式謎則常把加、減、乘、除四則運算
貫穿在一個題目中，有著更大的靈活性。 解橫式謎，不能孤立地只看一數(shù)一式，必須兼顧上下左右的聯(lián)系，使所
填數(shù)字適應(yīng)整體要求。
　　例 1 將 0、1、2??9 這十個數(shù)字，不遺漏，不重復(fù)，分別填入□中， 組成三道算式：
□＋□＝□
□－□＝□
□×□＝□□
　　解：這類問題，雖然要多作嘗試，但也要找準(zhǔn)突破口，否則，胡亂嘗試， 費時費功也難找到正確答案。
　　這道題，首先要確定 0 的位置。經(jīng)分析，前兩式不可能含 0。0 只能在第 三式的積中。兩數(shù)的積含 0 的有：2×5＝10 4×5＝20 6×5＝30 8×5＝40， 共四道算式。這樣，就把嘗試的范圍大大地縮小了！
經(jīng)驗證，如下填法可符合要求：
7＋1＝8
9－6＝3
5×4＝20
　　例 2 將 1～9 九個數(shù)字，不重復(fù)，不遺漏，填入下列式中的□，使等式 成立。
□□÷□＝□□÷□＝□□÷□
解：全式中含有三道算式，都是兩位數(shù)除以一位數(shù)，解題應(yīng)從商入手。 商只能是一位數(shù)，若是兩位數(shù)，則重復(fù)的數(shù)字太多，三道算式便不能把
1～9 九個數(shù)字都包括進去。
這樣，只能從商是 2～9 各式中去嘗試、篩選。
商是 2 商是 3 商是 4 商是 5 18÷9 27÷9 36÷9 45÷9 16÷8 24÷8 32÷8 40÷8 14÷7 21÷7 28÷7 35÷7 10÷5 18÷6 24÷6 30÷6 15÷5 20÷5 25÷5 12÷4 16÷4 20÷4 12÷3 15÷3 商是 6 商是 7 商是 8 商是 9 54÷9 63÷9 72÷9 81÷9 48÷8 56÷8 64÷8 72÷8 42÷7 49÷7 56÷7 63÷7 36÷6 42÷6 48÷6 54÷6 30÷5 35÷5 40÷5 45÷5 24÷4 28÷4 32÷4 36÷4
18÷3 21÷3 24÷3 27÷3 12÷2 14÷2 16÷2 18÷2
從這一些算式中，按照要求進行分析，把式中含有重復(fù)數(shù)字的式子全部
剔除，余下的式子若符合條件，便是正確的解。 我們發(fā)現(xiàn)，只有商是 7 或 9 的有符合要求的算式。即：
21÷3＝49÷7＝56÷8
或：
27÷3＝54÷6＝81÷9
例 3 在下列式中，每個□內(nèi)填入一個大于 1 的數(shù)字，使等式成立。
　　　　　　　　[□×（□3＋□）]2＝8□□9 解：可采用“層層剝筍”的方法，逐步縮小謎底的范圍。 把方括號內(nèi)看作一個數(shù)，此式便成為：一個數(shù)的平方是四位數(shù)，這個四
位數(shù)是八千幾百幾十九。 我們知道，在乘法中，被乘數(shù)與乘數(shù)的首數(shù)相乘滿十的，積的位數(shù)＝被
乘數(shù)位數(shù)＋乘數(shù)位數(shù)。由此，縮小了方括號中數(shù)的估算范圍。 經(jīng)試算，能滿足等式右端條件的完全平方數(shù)只有 93，即：932＝8649，
從而斷定：方括號內(nèi)的數(shù)必須是 93。 再分析方括號內(nèi)各□應(yīng)填的數(shù)。
把小括號看成一個數(shù)，則是□×□□＝93，93 分解成因數(shù)相乘是 3×31，
可知小括內(nèi)的數(shù)和應(yīng)為 31。由“□3＋□＝31”，可推知是 23＋8。這樣，全 式便破譯出來了：
[3×（23＋8）]2＝8649
例 4 在下式□中，分別從 1～9 個數(shù)字中，選取八個填入，使帶分?jǐn)?shù)相 減的差值最大。





解：要使差的值最大，必須把數(shù)字組合成被減數(shù)最大而減數(shù)最小。 可先確定它們的整數(shù)部分：被減數(shù)填 98，減數(shù)填 12。
分?jǐn)?shù)部分從 3、4、5、6、7 五個數(shù)選取。
最大的真分?jǐn)?shù)是分子比分母小 1。因此，被減數(shù)的分?jǐn)?shù)部分只能在
6 、 5 、 4 、 3 中挑。減數(shù)的分?jǐn)?shù)部分值要求最小，應(yīng)取分母與分
7 6 5 4
子的差最大，由上述3、4 、5、6、7五個數(shù)組合，應(yīng)是 3 。這樣，
7
被減數(shù)的分?jǐn)?shù)部分只能挑 5 ，才能避7 字重復(fù)出現(xiàn)。
6
故而，上題可填為：


例 5 將 1～8 八個數(shù)字，分別填入下式□內(nèi)，使全式的值最?。?br>□□×□□×□□×□□
　　解：這是兩位數(shù)相乘的算式，要使相乘得的積最小，必須使各數(shù)的高位 數(shù)字盡可能小。
　　
根據(jù)這個原則，填寫的順序應(yīng)是：
從左至右，先將 1、2、3、4 填在各個數(shù)的十位上，再從右至左，將 8、
7、6、5 填在各個數(shù)的個位上。最后便得到：
15×26×37×48
例 6 將 1～9 這九個數(shù)字，分別填入九個□內(nèi)，使算式的值為最大。
□□□×□□□×□□□
　　解：要使乘積最大，同樣，要遵循“把比較大的數(shù)都填在高位上”的原 則。據(jù)此，可先從左至右，在各數(shù)的百位上分別填 9、8、7，再從右至左， 在各數(shù)的十位上填 6、5、4，最后再從右至左，在各數(shù)的個位上填 3、2、1。 結(jié)果得：
941×852×763

填空謎


　　例 1 把 4、5、6、7、8、9、10、11 八個數(shù)，分別填在等號兩端的□里， 使等式成立。
□＋□＋□＋□＝□＋□＋□＋□
　　解：因為等號兩端各有四個數(shù)，只要它們的和相等，等式便能成立。題 中八個數(shù)的總和是 60，則等號兩邊的四個數(shù)的和應(yīng)各為 30。這八個數(shù)還有如 下特點：4＋11＝15，5＋10＝15，9＋6＝15，7＋8＝15，只需把這四組數(shù)兩 兩一組，或?qū)⒚恳唤M的兩個數(shù)分開于等號兩端即可。因此，填法有：
（1）4＋11＋5＋10＝9＋6＋7＋8
（2）4＋11＋6＋9＝5＋10＋7＋8
（3）4＋5＋7＋8＝6＋9＋5＋10
例 2 0.25、0.75、22.5、 、 。
　　解：這類題的各個數(shù)間都存在一定的相互關(guān)系，并不是彼此孤立毫無聯(lián) 系的。它們都隱含著遞增、遞減或倍數(shù)關(guān)系。要認真地觀察、分析，找出其 中的規(guī)律。
本題的各數(shù)，愈向后愈大，而且相鄰兩數(shù)間，后一個數(shù)總是它前一個數(shù)
的 3 倍。發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律后，往后的數(shù)便可很容易的填出來了。 即：6.75（2.25×3）、20.25（6.75×3）
例 3 0、1、1、2、3、5、8、 、 。
　　解：這道題初看似無規(guī)律：數(shù)字雖然逐漸增多，但增多的部分并不相同， 又不成倍數(shù)關(guān)系。仔細分析后，便可發(fā)現(xiàn)：后面的數(shù)總是它前面兩個數(shù)的和， 這樣，問題便迎刃而解了。接下去應(yīng)填：13（5＋8＝13）、21（8＋13＝21）。
例 4

　　解：每個分?jǐn)?shù)的分子都比分母大，而且差數(shù)都是 3。因此可推斷最后一 個分?jǐn)?shù)的分子是 23＋3＝26，即“？”處應(yīng)填 26。
例 5






解：每個圖中，上端的數(shù)是被除數(shù)，下端的兩個數(shù)是除數(shù)和商。因此，？
＝63÷9＝7。
例 6

　　解：這類題必須仔細觀察，反復(fù)分析，才能發(fā)現(xiàn)共同的規(guī)律，否則，把 部分?jǐn)?shù)間的關(guān)系當(dāng)作共同特點，便誤入歧途了。本題對頂?shù)膬蓚€數(shù)間存在共 同規(guī)律，即較大的數(shù)都是較小數(shù)的 2 倍。題中不存在小數(shù)，因此，與 19 相對
　　
的數(shù)應(yīng)是 19×2＝38，即：？＝38。
例 7

　　解：這三組數(shù)，初看毫無聯(lián)系。實際，每組數(shù)的第一個數(shù)都是第二、三 兩個數(shù)和的 2 倍。即：
36＝（15＋3）×2
　　　　　　　　　　　24＝（5＋7）×2 據(jù)此，？＝（13＋8）×2＝42
　　例 8 請你把 27、32、50、72 各分成任意的四個數(shù)，將分成的四個數(shù)分 別填入各個括號中，使等式成立。
（1）分解 27：（）＋2＝（）－2＝（）×2＝（）÷2 （2）分解 32：（）＋3＝（）－3＝（）×3＝（）÷3 （3）分解 50：（）＋4＝（）－4＝（）×4＝（）÷4 （4）分解 72：（）＋5＝（）－5＝（）×5＝（）÷5 　　解：這類問題假如全靠嘗試是十分麻煩的。分解成的四個數(shù)，分別填入 四個括號，各式得數(shù)要相等，四個數(shù)的和還必須等于原數(shù)。
怎樣分解原數(shù)便成了關(guān)鍵！
從乘式入手，從最小的數(shù) 1 試驗，而后再調(diào)整。以（1）為例，若乘式填
1，則全式仍保持相等就成了：
　　　　　（0）＋2＝（4）－2＝（1）×2＝（4）÷2 式子雖成立了，但是分解的四個數(shù)和為：0＋4＋1＋4＝9，是 27 的三分
之一！所以，乘式原來填的 1 太小了，應(yīng)再擴大 3 倍，這樣再保持等式成立，
便成了：
　　　　　（4）＋2＝（8）－2＝（3）×2＝（12）÷2 各式的結(jié)果都等于 6。 分解的四個數(shù)和是：4＋8＋3＋12＝27。 其他各題，讀者自己填填看。
例 9 找出頭、腳數(shù)字間的規(guī)律，把“？”換成數(shù)。

　　解：尋找數(shù)字間的內(nèi)在關(guān)系，可以把每個圖作為獨立的個體，考察頭、 腳間三個數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。也可以把三個人當(dāng)作一個整體，考察數(shù)字的演化過 程，用數(shù)字間加、減、乘、除，找出存在的共同規(guī)律。
　　若從頭上的數(shù)字變化，僅三個人 5→4→？看不出規(guī)律。經(jīng)嘗試，每個人 “頭上”的數(shù)，都是“腳”上數(shù)字和的一半?？芍埃俊笔牵?＋8）÷2＝5。
　　
例 10 將“？”填上合適的數(shù)：
解：頭手共三個數(shù)。 若把三人當(dāng)作整體，仍看不出頭上數(shù)的變化規(guī)律。把每個人當(dāng)作獨立的
個體。經(jīng)嘗試，前二人頭上數(shù)的規(guī)律為：中數(shù)為兩邊數(shù)的差。從而可知“？” 應(yīng)填上“2”，即 5—3 的差。











例 11

解：第一人頭手三數(shù)是 19、21、23。 第二個人頭手三數(shù)是 71、73、75。
都是連續(xù)的三個奇數(shù)。第三人手中的兩個數(shù)也是奇數(shù)，可知“？”應(yīng)填
“5”。
例 12



　　解：小動物的四條腿和尾上都有數(shù)字。共五個。要我們求解的是尾上的 數(shù)字。應(yīng)考慮尾上的數(shù)可能是由四條腿上的數(shù)字而來。
通過多方嘗試，第一個動物中，前兩腿中兩數(shù)和與后兩腿中兩數(shù)和相減，
差為 5。即：（8＋6）－（4＋5）＝5。可知后一動物中，？＝（3＋9）－（4
＋2）＝6。
例 13


　　解：小姑娘的頭、手、足共有五個數(shù)字。頭上的數(shù)字很可能是其余數(shù)字 的計算結(jié)果。
經(jīng)檢驗，兩手?jǐn)?shù)字和與兩足數(shù)字和的差，恰為頭上數(shù)字。 可知：？＝（4＋15）－（13＋3）＝3
例 14





解：三角形內(nèi)角三個數(shù)的和恰為中心數(shù)。可知
？＝9＋8＋1＝18

幻方


　　例 1 將 1～9 九個自然數(shù)，填入下圖空格內(nèi)，使橫、堅、斜對角每三個 數(shù)的和都是 15。
解：在一個由若干個排列整齊的數(shù)組成的正方形中，圖中任意一橫行、 一縱列及對角線的幾個數(shù)之和都相等，具有這種性質(zhì)的圖表，稱為“幻方”。 我國古代稱為“河圖”、“洛書”，又叫“縱橫圖”。








　　由三行三列數(shù)組成的幻方，稱為“三階幻方”。制作這種幻方的方法是： 把九個自然數(shù)，按照從小到大的遞增次序斜排（如圖一），然后把上、 下兩數(shù)對調(diào)，左、右兩數(shù)也對調(diào)（如圖二），最后再把中部四個數(shù)各向外拉
出到正方形的四角，幻方就制成了。

　　如果把圖三制好的幻方，旋轉(zhuǎn) 90°、180°、270°都各成一個新的幻方。 如果畫在透明紙上，反過來觀察，再旋轉(zhuǎn)上述角度每次所得到的幻方，也具 備上述性質(zhì)。這樣便可得到八個圖，當(dāng)然，它們并無實質(zhì)上的區(qū)別。
幻方的神奇有趣，還不僅僅表現(xiàn)在縱、橫、斜和為 15，它具備的許多奇
妙特性，人們尚未充分認識。
　　例 2 將 1～9 九個自然數(shù)，填在 3×3 正方形表格內(nèi)，使其中每一橫行、 每一豎列及任一條對角線上的三數(shù)之和都不等，并且相鄰的兩個數(shù)在圖中位 置也相鄰。
解：具備題中特征的稱為“反幻方”。
據(jù)美國當(dāng)代科普作家加德納研究發(fā)現(xiàn)，符合上述條件的反幻方，只有兩 個，即：








　　反幻方也很有趣，瞧，它的數(shù)字排列酷似個螺旋，前一個由外向內(nèi)轉(zhuǎn)， 后一個由內(nèi)向外轉(zhuǎn)。
這使我們想到古代的回文詩。 鶯啼岸柳

月明弄 夜睛春
這是一首聯(lián)珠頂真的回文詩，自外向內(nèi)再自內(nèi)向外，如螺旋，可讀作： 鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春睛夜月明。 明月夜睛春弄柳，睛春弄柳岸啼鶯。
看一下，它們多么相像！
例 3 認真觀察下列的七階幻方，指出它有哪些顯著的特點。

　　解：這個幻方縱、橫、斜對角的七個數(shù)和是 175；如果圈出圖內(nèi) 5×5 格， 也是個幻方，它的縱、橫、斜五個數(shù)和也是 175；圈出中心的三階幻方，縱、 橫、斜三數(shù)和是 75。這個幻方的奇妙之處是：將七階幻方，剝掉一層，就成 了五階幻方；再剝掉一層，就成了三階幻方。它從中心向外輻射，內(nèi)部的三 階幻方是個核心。因此，這種幻方，叫做同心幻方，也叫嵌套幻方。
例 4 下圖是由 1～64 組成的八階幻方，如果把其中的數(shù)字逐個間隔地
取出來，按原順序重新組成兩個四階方陣，這個新的數(shù)字方陣，有什么特點？
1 35 24 54 43 9 62 32 6 40 19 49 48 14 57 27 47 13 58 28 5 39 20 50 44 10 61 31 2 36 23 53 22 56 3 33 64 30 41 11 17 75 8 38 59 25 46 16 60 26 45 15 18 52 7 37 62 29 42 12 21 55 4 34

解：我們先把上圖中數(shù)字逐個間隔地取出來，排成如下面的四階方陣，
再分析它們的特點。

　　在這兩個圖中，任意一橫行的數(shù)字和是 130，任意一縱行的和以及斜對 角四數(shù)之和都是 130！更為奇妙的是：把所有的對角線連起來，凡是不足四 個數(shù)的，便與它相對平行的間隔大的一個或兩個數(shù)相加，其和仍是 130。
例如：



例 5 下圖是個八階幻方，算一算，它們的縱、橫、對角線上的八個數(shù) 和是多少？再算算八個數(shù)的積是多少？你發(fā)現(xiàn)了什么？















　　解：只要學(xué)會多位數(shù)四則運算了，八個數(shù)的加或乘，并不難，細心一些 就行了。
任抽幾行算算看：
216＋161＋17＋52＋171＋90＋58＋75＝840
39＋34＋138＋243＋100＋29＋105＋152＝840
117＋232＋17＋50＋45＋108＋133＋138＝840
200＋153＋58＋13＋92＋57＋162＋105＝840
46＋60＋17＋87＋91＋225＋162＋152＝840
203＋153＋90＋184＋38＋108＋25＋39＝840

縱、橫、斜任意一行，八個數(shù)的和都是 840。 將上面的每八個數(shù)相乘，令人驚奇的是，它們的積也相等！都是
205806823185600。
這個乘積的數(shù)字太大了！ 有沒有乘積小一些的幻方呢？
　　遺憾的是，至今為止，數(shù)學(xué)愛好者們對階數(shù)低于 8 的“雙料”幻方，還 沒發(fā)現(xiàn)過！盡管多于八階、十六階以及更高階的幻方都有制作。但是這種等 和、等積的幻方，八階以下的根本沒有，或雖然有卻無人能創(chuàng)制，總之，現(xiàn) 在還是個謎！
　　例 6 下面的圖是由 1～81 連續(xù)自然數(shù)組成的九階幻方?，F(xiàn)把它分割成 相等的九塊。算算看，每一小塊中的縱、橫、斜對角的數(shù)字和有什么特點？ 解：從左至右，從上而下，我們對每一個方塊中的縱、橫、斜三數(shù)進行 加法運算，令人驚奇的是：這個九階幻方中，所分成的九小塊，每一小塊也
都自成幻方！ 它們的常數(shù)分別是：

31 36 29
30 32 34
35 28 33 76 81 74
75 77 79
80 73 78 13 18 11
12 14 16
17 10 15 22 27 20
21 23 25
26 19 24 40 45 38
39 41 43
44 37 42 58 63 54
57 59 61
62 55 60 67 72 65
66 68 70
71 64 69 4 9 2
3 5 7
8 1 6 49 54 47
48 50 52
53 46 51

96，231，42；69，123，177；204，15，150。
　　這三組數(shù)的和都是 369，也是相等的，這個數(shù)又是整個大幻方的常數(shù)。 這種一個大幻方中，又蘊含著許多各自獨立的小幻方，被稱作“母子幻 方”。最早的“母子幻方”創(chuàng)制者是我國宋代的數(shù)學(xué)家楊輝，當(dāng)時他只畫出 了圖形，沒加任何文字說明，人們大都像猜謎一樣看不懂。后人經(jīng)過研究，
終于明白了他的意圖，還弄懂了制作的方法。
例 7 上海博物館存有一塊伊斯蘭教徒佩帶的玉掛，它是從浦東陸家嘴 附近一個名叫陸深的墓中發(fā)現(xiàn)的。據(jù)考證，陸深是三國時東吳大將陸遜的后 人。玉掛的正面刻有：“萬物非主，唯其真宰，穆罕默德為其使者。”玉掛 的反面卻整齊地刻著 16 個阿拉伯?dāng)?shù)字，經(jīng)過專家的破譯，原來是個四階完全 幻方（如圖）。請你認真地計算一下，這個幻方有哪些更奇特的特點？












解：這個幻方具有如下特點：
①縱、橫、對角線四數(shù)之和（34）都相等。
②對角線“折斷”平行線上四數(shù)之和也相等，如：
11＋13＋4＋6＝3＋5＋14＋12＝34
14＋2＋3＋15＝5＋9＋12＋8
＝13＋16＋4＋1
＝11＋7＋6＋10
③幻方中，任何一個 2×2 正方形中四數(shù)之和也相等。如
8＋11＋13＋2＝11＋14＋2＋7
＝14＋1＋7＋12
＝34??
④幻方中，任何一個 3×3 正方形，它的四個角數(shù)字之也是 34！如：
8＋9＋14＋3＝11＋6＋1＋16
＝34??

數(shù)陣


　　數(shù)陣是由幻方演化出來的另一種數(shù)字圖?；梅揭话憔鶠檎叫巍D中縱、 橫、對角線數(shù)字和相等。數(shù)陣則不僅有正方形、長方形，還有三角形、圓、 多邊形、星形、花瓣形、十字形，甚至多種圖形的組合。變幻多姿，奇趣迷 人。一般按數(shù)字的組合形式，將其分為三類，即輻射型數(shù)陣、封閉型數(shù)陣、 復(fù)合型數(shù)陣。
　　數(shù)陣的特點是：每一條直線段或由若干線段組成的封閉線上的數(shù)字和相 等。
　　它的表達形式多為給出一定數(shù)量的數(shù)字，要求填入指定的圖中，使其具 備數(shù)陣的特點。
解數(shù)陣問題的一般思路是：
1.求出條件中若干已知數(shù)字的和。
2.根據(jù)“和相等”，列出關(guān)系式，找出關(guān)鍵數(shù)——重復(fù)使用的數(shù)。
　　3.確定重復(fù)用數(shù)后，對照“和相等”的條件，用嘗試的方法，求出其他 各數(shù)。有時，因數(shù)字存在不同的組合方法，答案往往不是唯一的。
　　
一、輻射型數(shù)陣


　　例 1 將 1～5 五個數(shù)字，分別填入下圖的五個○中，使橫、豎線上的三 個數(shù)字和都是 10。
解：已給出的五個數(shù)字和是：
1＋2＋3＋4＋5＝15







題中要求橫、豎每條線上數(shù)字和都是 10，兩條線合起來便是 20 了。20
－15＝5，怎樣才能增加 5 呢？因為中心的一個數(shù)是個重復(fù)使用數(shù)。只有 5 連加兩次才能使五個數(shù)字的和增加 5，關(guān)鍵找到了，中心數(shù)必須填 5。確定了 中心數(shù)后，按余下的 1、2、3、4，分別填在橫、豎線的兩端，使每條線上數(shù) 的和是 10，便可以了。
通過嘗試，可以填為：

　　例 2 將 1～7 七個數(shù)字，分別填入圖中的各個○內(nèi)，使每條線上的三個 數(shù)和相等。
解：圖中共有 3 條線，若每條線數(shù)字和相等，三條線的數(shù)字總和必為 3
的倍數(shù)。
設(shè)中心數(shù)為 a，則 a 被重復(fù)使用了 2 次。即，










1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a
28＋2a 應(yīng)能被 3 整除。
（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3
其中 28÷3＝9?余 1，所以 2a÷3 應(yīng)余 2。由此，便可推得 a 只能是 1、
4、7 三數(shù)。
　　當(dāng) a＝1 時，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他兩數(shù)的和是 10－1＝9，只要 把余下的 2、3、4、5、6、7，按和為 9 分成三組填入兩端即可。
同理可求得 a＝4、a＝7 兩端應(yīng)填入的數(shù)。


例 3 將從 1 開始的連續(xù)自然數(shù)填入各○中，使每條線上的數(shù)字和相等。
解：圖中共有三條線，若每條線數(shù)字和相等，三條線的數(shù)














字總和必為 3 的倍數(shù)。
設(shè)中心數(shù)為 a，a 被重復(fù)使用了兩次，即：
1＋2＋3＋??＋10＋2a＝55＋2a
55＋2a 應(yīng)能被 3 整除。
（55＋2a）÷3＝55÷3＋2a÷3
其中，55÷3＝18 余 1，所以 2a÷3 應(yīng)余 2。由此，可推知 a 只能在 1、4、
7 中挑選。
　　在 a＝1 時，55＋2a＝57，57÷3＝19，即中心數(shù)若填 1，各條線上的數(shù) 字和應(yīng)為 19。但是除掉中心數(shù) 1，在其余九個數(shù)字中，只有兩組可滿足這一 條件，即：
　　




所以，a 不能填 1。

9＋7＋2＝18
8＋6＋4＝18
7＋5＋3＝15

經(jīng)試驗，a＝7 時，余下的數(shù)組合為 12（19－7＝12），也不能滿足條件。 因此，確定 a 只能填 4。即














　　例 4 將 1～9 九個數(shù)字，填入下圖各○中，使縱、橫兩條線上的數(shù)字和 相等。
　　

解：1～9 九個數(shù)字和是：
　　　　　　　　1＋2＋3＋??＋9＝5×9＝45 把 45 平分成兩份：45÷2＝22 余 1。
　　這就是說，若使每行數(shù)字和為 23，則需把 1 重復(fù)加一次，即中心數(shù)填 1； 若使數(shù)字和為 24，中心數(shù)應(yīng)填 3???？傊?45÷2 余數(shù)是 1，只能使 1、
3、5、7、9 各個奇數(shù)重復(fù)使用，才有可能使橫、豎行的數(shù)字和相等。因而， 此題可有多種解法。但中心數(shù)必須是 9 以內(nèi)的奇數(shù)。如：












例 5 將 1～11 十一個數(shù)字，填入下圖各○中，使每條線段上的數(shù)字和 相等。











　　解：圖中共有五條線段，全部數(shù)字的總和必須是 5 的倍數(shù)，每條線上的 數(shù)字和才能相等。
1～11 十一個數(shù)字和為 66，66÷5＝13 余 1，必須再增加 4，可使各線上 數(shù)字和為 14。共五條線，中心數(shù)重復(fù)使用 4 次，填 1 恰符合條件。










　　此題的基本解法是：中心數(shù)重復(fù)使用次數(shù)與中心數(shù)的積，加上原余數(shù) 1， 所得的和必須是 5 的倍數(shù)。據(jù)此，中心數(shù)填 6、11 均可得解。
　　
二、封閉型數(shù)陣


例 1 把 2、3、4、5、6、7 六個數(shù)字，分別填入○中，使三角形各邊上 的數(shù)字和都是 12。






解：要使三角形每邊上的數(shù)字和都是 12，則三條邊的數(shù)字和便是 12×3
＝36，而 2＋3＋4＋5＋6＋7＝27，36 與 27 相差 9。 三個角頂?shù)臄?shù)字都重復(fù)使用兩次，只有這三個數(shù)字的和是 9，才能符合
條件。確定了角頂?shù)臄?shù)字，其他各數(shù)通過嘗試便容易求得了！






這題還可有許多解法，上圖只是其中一種。
例 2 把 1～9 九個數(shù)字，分別填入下圖○中，使每邊上四個數(shù)的和都是
21。







解：要使三角形每條邊上的數(shù)字和是 21，則三條邊的數(shù)字和便是：21
×3＝63。而 1～9 九個數(shù)字的和只有 45。45 比 63 少 18，只有使三角形三個 頂角的數(shù)字和為 18，重復(fù)使用兩次，才能使總和增加 18。所以應(yīng)確定頂點的 三個數(shù)。下面是填法中的一種。







確定了頂角的數(shù)后，其他各數(shù)便容易了。
例 3 下圖是四個互相聯(lián)系的三角形。把 1～9 九個數(shù)字，填入○中，使 每個三角形中數(shù)字的和都是 15。








解：每個三角形數(shù)字和都是 15，四個三角形的數(shù)字和便是：15×4＝60，
而 1～9 九個數(shù)字和只有 45。45 比 60 少 15。怎樣才能使它增加 15 呢？靠數(shù) 字重復(fù)使用才能解決。


　　中間的一個三角形，每個頂角都聯(lián)著其他三角形，每個數(shù)字都被重復(fù)使 用兩次。因此，只要使中間的一個三角形數(shù)字和為 15，便可以符合條件。因 此，它的三個頂角數(shù)字，可以分別為：
1、9、5 2、8、5 2、7、6 4、6、5 2、9、4 3、8、4 3、7、5 8、6、1 把中間的三角形各頂角數(shù)字先填出，其他各個三角形便容易解決了。 前頁下圖是其中的一種。
例 4 把 2～10 九個數(shù)字，分別填入下圖○中，使每條直線上的三個數(shù)和 為 15。








解：2～10 九個數(shù)字的和為：
　　　　　　　　2＋3＋4＋??＋10＝6×9＝54 若排成每個三角形每邊的數(shù)字和都是 15，圖中含有每邊都三個數(shù)字的三
角形有兩個，共六條邊，數(shù)字總和應(yīng)是 15×6＝90。54 比 90 少 36。在外圍
的六個數(shù)都被重復(fù)使用了兩次，它們又分屬于兩個三角形。所以，每個三角 形三個頂角的數(shù)和應(yīng)為：36÷2＝18。
這樣，便可以先填外三角形三個頂角的數(shù)。
三個數(shù)和為 18 的有很多組，可以通過試驗篩選出適宜的一組。 填好了外圍三角形各個數(shù)后，里面的三角形，因為頂角的數(shù)已知，其他
各數(shù)便容易填寫了。
下面是填法中的一種：

　　例 5 把 1～10 十個數(shù)字，分別填入下圖○中，使每個三角形三個頂角的 三個數(shù)字和相等。
　　

解：圖中有三個三角形，頂角數(shù)字互不聯(lián)系，中心的一個數(shù)獨立于各個 三角形之外。因此，要使各三角形頂角的數(shù)字和相等。去掉中心數(shù)后，數(shù)字 總和應(yīng)是 3 的倍數(shù)，而且三角形頂角的數(shù)字三組中不能出現(xiàn)重復(fù)。














如：以 10 為中心數(shù)，可填為如前頁下圖樣。
例 6 將 1～12 分別填入下圖○中，使圖中每個三角形周邊上的六個數(shù)的 和都相等。











　　解：圖中共有四個三角形，共有六個邊。1～12 的數(shù)字和是 78。每條邊 上的數(shù)字和應(yīng)為：78÷6＝13。
如：



　　這樣，我們可以推想：因為內(nèi)部的三條邊都被重復(fù)計算兩次，只要每個 數(shù)增加 1，十二個數(shù)的總和便增加 6，它們同樣可以填出來，因而，本題的解
　　
法是很多的。
7. 把 1 、 1 、 1 、 1 、 1



、 2 、 3 、 5



、 7 九個數(shù)分別填入下

2 3 4

6 12

3 4 12 12

圖○中，使每條直線上的三個數(shù)的和都相等。

解：九個分?jǐn)?shù)排成方陣，使縱、橫、對角線的三個數(shù)和相等，這已經(jīng)符 合幻方的要求了，因此，可以按幻方的制作方法求解。











這十二個分?jǐn)?shù)，按從小到大的順序排列是：

1 、 1 、 1 、 1 、 5

、 1 、

7 、 2 、 3

12 6 4

3 12 2 12 3 4

把它們按序排列為斜方形： 將上、下兩數(shù)，左、右兩數(shù)對調(diào)，再把中間四數(shù)向外拉出，這樣重新組
成的數(shù)陣，便是求得的解了。

例 8 將 1～8 八個數(shù)字，分別填入下圖○中，使每個小三角形頂點上三 數(shù)之和為 12。








　　解：圖中共有四個小三角形，每個三角形頂點數(shù)字的和若都是 12，數(shù)字 總和便是 12×4＝48，可是 1～8 八個數(shù)字總和只有 36。36 比 48 少 12。只有 靠共用頂角上數(shù)的重復(fù)使用，才能解決。因此，必須把四個公用頂角的數(shù)字 和填成 12。把 1～8 八個數(shù)四個一組，和為 12 的有：
　　
6＋3＋2＋1
5＋4＋2＋1
上述兩組中，經(jīng)驗證，只有 6＋3＋2＋1 可以作公用頂點的數(shù)字。 確定了公用頂點的數(shù)，其他各數(shù)也便容易了?？商顬椋?br>







　　例 9 在下圖五個○內(nèi)，各填入一個自然數(shù)，使圖中八個三角形中頂點的 數(shù)字和各不相同。求能滿足這個條件的自然數(shù)中最小的五個數(shù)。
　　解：能滿足使八個三角形頂點數(shù)字和各不相同的任意自然數(shù)有很多組， 但自然數(shù)中能滿足這個條件的最小自然數(shù)卻只有一組。
最小的一組自然數(shù)中的五個數(shù)，若有兩個相同的，其中三個數(shù)的和可以 多到有 7 個不同值，因此，五個數(shù)互不相同。如









果這五個數(shù)是 1，2，3，4，5，則其中三個數(shù)的和有如下組合方式：
1＋2＋3＝6 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＝12
1＋2＋4＝7 1＋3＋4＝8 2＋3＋5＝10
2＋4＋5＝11
這樣，總共只有七種不同的和，而圖中共有八個三角形，可知 1，2，3，
4，5 五個自然數(shù)不能滿足條件。 因而，可填為如下形式。









例 10 在下列圖中三個正方形中，每個正方形的四個頂點上，只填入 1，
2，3，4 四數(shù)，使圖中八個三角形頂點數(shù)字和互不相同。

　　解：圖中，頂角在大正方形邊上的四個三角形，頂角都分別為兩個三角 形共用，只有正方形的四個角分別只屬于一個三角形，所以，四個三角形頂
　　
點數(shù)字的和應(yīng)等于：


（1＋2＋3＋4）×3＝30

30 不是 4 的倍數(shù)，因而，外面的四個三角形頂點數(shù)字和不可能相等。同 理，里面的四個三角形頂點數(shù)字和也不可能相等。










題中要求，每個三角形頂點數(shù)字和不相同，1～4 四個數(shù)之和最小值是 1
＋1＋2＝4，最大值是 4＋4＋3＝11，這樣共可組成八組數(shù)，將八組數(shù)分別填 入各個三角形頂點，便可符合條件。
例 11 將 1～8 八個數(shù)字，分別填入下圖○中，使每個面的四個數(shù)和相 等。












　　解：數(shù)字圖是個正立方體，共有六個面。每個面四個頂點上的數(shù)都是三 個面重復(fù)使用的。
1～8 八個數(shù)的數(shù)字總和是：
1＋2＋3＋??＋8＝36 因為每個頂點的數(shù)都被重復(fù)使用三次，所以六個面的數(shù)字總和是：
36×3＝108

每個面的數(shù)字和便是：


108÷6＝18

這樣，便可填為下圖或其他形式。 由數(shù)學(xué)符號、文字符號或圖形等組合成的數(shù)學(xué)問題，幽深、隱秘，妙趣
橫生。
符、形問題撲朔迷離，初看無從下手。但只要認真分析一下題目的特點， 它與“蟲蝕算”有些相似，仍然可以從中找出隱含的“蛛絲馬跡”。











解這類問題，要根據(jù)組成題目的各種條件和其中的已知數(shù)目，上下或前

后對照，綜合分析，發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)部聯(lián)系，找出一兩個突破口，便可使問題 破譯。

符形數(shù)謎


由數(shù)學(xué)符號、文字符號或圖形等組合成的數(shù)學(xué)問題，幽深、隱秘，妙趣 橫生。
符、形問題撲朔迷離，初看無從下手。但只要認真分析一下題目的特點， 它與“蟲蝕算”有些相似，仍然可以從中找出隱含的“蛛絲馬跡”。
解這類問題，要根據(jù)組成題目的各種條件和其中的已知數(shù)目，上下或前 后對照，綜合分析，發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)部聯(lián)系，找出一兩個突破口，便可使問題 破譯。

豎式謎

例 1 題中的“桃、李、杏、橘、梨”各代表什么數(shù)字，算式才能成立？

　　解：這是由數(shù)種水果擺成的加法算式。在同一道題中，同一種水果，不 論它在哪個數(shù)位上，代表的數(shù)字都是相同的。
　　本題中，“梨”是由“桃+桃”進位得出的，可知它代表 1，因為兩個數(shù) 字相加只能進“1”。
　　從個位“橘+橘”仍得“橘”，可知“橘=0”。再從“桃+桃=橘”，可知 “桃=5”。
從“杏+梨=桃”，已知梨=1，桃=5，可知“杏=4”。 從“李+李=杏”，已知“杏=4”，所以“李=2”。 從而可知全式為：



例 2



　　解：從豎式看，三個加數(shù)是相同的兩位數(shù)，而且和的末兩位與加數(shù)相同。 個位的“習(xí)+習(xí)+習(xí)=習(xí)”，在 1～9 各數(shù)中，只有 0 和 5 可能。若習(xí)為 5， 則十位的“學(xué)”三數(shù)相加再加進位的“1”，便沒有符合條件的數(shù)。所以斷定
“習(xí)=0”。
十位的“學(xué)+學(xué)+學(xué)=學(xué)”，也只能是 5，才成立。由此，又可推斷“再=1”。 所以原式是：




例 3

解：個位“趣+趣+趣=□4”，推斷“趣=8”。和的十位數(shù)是 9，其中含 個位進上來的 2，所以，“有+有+有=□7”，推斷“有=9”，進位二。 從和的千位與百位數(shù)字特征，推斷出“真=1”，“是=6”。
原式便是：


例 4


解：根據(jù)豎式特點分析：可知“數(shù)=1”，“學(xué)=2”，“用=8”。再從“學(xué)
+用+好+好”中，推定“好=6”，“為=4”。 故數(shù)字式為：





例 5

解：個位數(shù)“看+看=看”，推斷“看=0”。 千位的“邊”是從進位得來的，百位的加數(shù)是兩個，進位只能是 1，所
以“邊=1”。
　　和的十位上是“邊”，可知“想+算=11”，百位上的“想+ 算”再加上 進位的 1，應(yīng)是 12，推斷：“想=9”。
所以算式是：


例 6




解：和的千位“真”是由加數(shù)的百位數(shù)“巧+真”進位得來，斷定“真
=1”，因為兩個數(shù)相加不可能進 2。 和的百位“巧+真=是”，已知“真=1”，可知“巧=9，是= 0”。 和的個位“巧+巧=啊”，已知“巧=9”，所以“啊= 8”。 算式應(yīng)為：



例 7

解：從和的連續(xù)進位，可斷定“K=9”。 由個位“K+N=0”中，已知 K=9，則 N=1。 算式應(yīng)為：





例 8


　　解：由個位五個 A 相加，和的個位是 0，且十位有二個 A，加上進位為 0， 可知 A 不是 0，便是 4。
從和的百位是“5”，斷定“A≠0”，且 A＜5。 算式便是：






例 9

　　解：從個位“C+M+C=6”，可知十位“M+C+C=6”。而和的十位數(shù)是 M， 斷定“M=6”，由“M=6”，可知“C=0”。
算式應(yīng)為：


例 10 ABC 是個三位數(shù)。



解：從個位“C+C=8”，可知“C=8÷2=4”。
　　從百位“A+A=3”，3 為單數(shù)，可斷定其中含有十位上進過來的 1，實際 A+A=2，“A=1”。
十位 B+B=14，可知“B=7”。
算式應(yīng)是：



例 11

解：這題全由英文字母組成。 由千位的進位情況，可斷定“M=1”、“S=9”、“Q=0”，由百位和十位
的進位情況，可求出“R=8”、“ N=6”、“D=7”、“E=5”“Y=2”。 算式應(yīng)為：


例 12

解：由千位數(shù)“A+C”進位，斷定“B=1”。 由個位數(shù)“D+B=B”，斷定“D=0”。 由十位數(shù)“C+A=B=1”可知 C＋A 滿十進 1。
　　由百位數(shù)“B+B=C”可知“C=2+1=3”，已知“C=3”，由十位和千位加式， 斷定“A=8”。
可知原式為：




例 13

解：從和的個位“兵-兵=兵”，可知“兵=0”。 從全式四位數(shù)減去三位數(shù)，差變成了三位數(shù)，可知因借位造成的，帥必
為 1。
從百位上“兵-將=將”，已知“兵=0”，則將必為 5。 原式應(yīng)是：





例 14

　　解：從算式可知，被減數(shù)是四位數(shù)，相減后，差變成了三位數(shù)，必因借 位造成的。從而斷定“前=1”。從“進-進=速”，同數(shù)相減需借位，其差為
9，可知“速=9”。由個位“前-進=速”，已知前為 1，速為 9，可斷定“進
=2”。 全式便是：



例 15



解：可以這么分析：
從百位 A-B=0，可知 B+1=A，10+B-C=A，C-A
　　=B。把 10+B-C=A 中的“B”換成 C-A 則可求得 10+（C-A）-C=A 10=2A “A=5”。
再由 B+1=A，可知“B=4”。

由 C-A=B，也即 C=A+B=5+4=9。 算式應(yīng)為：





例 16 下式中 A、B、C、D 各應(yīng)是什么數(shù)？

　　解：全式是五位數(shù)減去四位數(shù)，差變成了三位數(shù)。從而斷定：“A=1”， “D=9”，這樣便找到了解題的突破口。
從個位 7-C=9，可知“C=8”。
從十位 C-B=0，已知 C=8，則“B=7”。 全式便破譯了：



例 17 下式中文字各代表什么數(shù)？

　　解：被乘數(shù)是三位數(shù)，乘以 6 后變成了四位數(shù)，斷定飛＞1，這樣才有 可能進位。
假定“飛=2”，2×6=12，進 1。這樣，對照百位數(shù)的“飛×6”，則“快
=1”了！再對照十位的“呀×6=快”，便矛盾了，因為不論“呀”是幾與 6 相乘都不可能得 1（快）。所以，“飛≠2”。
飛不可能是 3，因為 3×6=18，尾數(shù)不是同一個字。其它 5、6、7、8、9
與 6 相乘，積的個位都不能與被乘數(shù)個位相同。 所以，“飛”只能是 4。 由此，可斷定“呀=0”，“快=2”。 算式是：




例 18 下列算式中，每個不相同的字都代表一個不同的數(shù)字。已知“賽” 代表 9，其他各代表什么數(shù)字？



解：已知“賽=9”，則個位“賽×賽=81”“來=1”進 8?！罢垺敝挥惺?br>7，才能使積的十位數(shù)字是 1。“請×賽+8=71”，進 7?！把?6”，才能使百 位的積也是 1。
同樣道理，可以推知： “學(xué)=5”，“數(shù)=4”，“加=3”，“參=2”，所以，算式是：



例 19


其中：A=1 B=（ ） C=（ ） D=（ ）
　　解：由“A=1”推斷“D=9”。千位A×9=9 結(jié)合十位的進位 8，推斷“B=0”， “C＝8”。
算式是：




例 20 把下式的文字變?yōu)閿?shù)字，使算式成立。

　　解：這個算式的特點是：被乘數(shù)的六個數(shù)字各不相同，積卻是同一個數(shù) 字。
　　首先分析個位數(shù)“學(xué)×學(xué)”同數(shù)相乘尋找突破口：“學(xué)”不可能是 1， 因為 1×1=1，與“學(xué)×學(xué)=好”相矛盾。
假定“學(xué)=2”，則“好=4”，這樣，必須“數(shù)=7”，才能使“好=4”。2
×7=14，進 1，只有“歡×學(xué)=3”，才能保證“好=4”，但乘數(shù)“學(xué)”若是 2， 與任何整數(shù)相乘，都不能得 3。所以“學(xué)≠2”。
假定“學(xué)=3”，則“好=9”。而被乘數(shù)中其他各數(shù)都不是 3，積也不能
再得 9。所以，“學(xué)≠3”。
　　假定“學(xué)=4”，4×4=16，則“好=6”，進位 1，此后 4 乘任何數(shù)再加進 來的 1，都不能得 6。所以，“學(xué)≠4”。
假定“學(xué)=5”，5×5=25，則“好=5”，不合題意。同理，“學(xué)≠6”。
再試“學(xué)=7”，“好=9”符合題意。
已知個位數(shù)，學(xué)=7，積為 999999，其他各數(shù)便不難求得了。 所以這道算式是：



例 21

　　解：“天然居”是連云港市中心的一座高級賓館。它的頂層可自動旋轉(zhuǎn)， 登臨樓頂，宛如騰云駕霧，遠望青山綠水，俯視車水馬龍，港城風(fēng)光盡收眼 底。
上述問題，也如謎似幻，難在乘式的積都是各不相同的文字。 但是，只要作深入的分析考查，仍可找到解題線索。就從個位“居×請=
□客”和萬位“客×請=居”入手吧。 被乘數(shù)是五位數(shù)，積仍是五位數(shù)，說明“客×請”的積小于 10，因數(shù)中
若沒有 1，則必為 2 和 4。因為“客”、“請”是兩個不相同的文字，不可能 都是 3。
　　假定“客=4”，“請=2”，則居可能是 8。若是 8，對照個位“居×請= 客”不符。
　　
假定“客=2”，“請=4”，則“居×請=□2”符合題意，再推斷出“居
=8”??。 這樣，經(jīng)過反復(fù)嘗試，最后便可揭開謎底。即：“客=2”，“上=1”，
“天=9”，“然=7”，“居=8”，“請=4”。 全式為：





例 22 下式中，“奇”字為奇數(shù)，即指 1、3、5、7、9 中的某一個，“偶” 字為偶數(shù)，即指 0、2、4、6、8 中的某一個。為使豎式成立，求它的所代表 的數(shù)字。






　　解：在乘法中，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶 數(shù)。
在加法中，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)。
據(jù)此，對照部分積進行分析，被乘數(shù)中的“奇≥3”，因為若＜3，即使
與 9 相乘，進位也不可能是偶數(shù)。從第二部分積看，它只能是 3，否則與乘 數(shù)中的“偶”相乘，便不會是兩位數(shù)了。
由被乘數(shù)中的“奇=3”，可推定乘數(shù)中的“偶=2”，否則，便不可能使
第二部分積為兩位數(shù)。
　　被乘數(shù)中的“偶”≤4，否則，第二部分積的百位數(shù)將是奇數(shù)了！驗證后， 斷定：“偶=2”。
最后分析乘數(shù)中的“奇”代表的數(shù)字。經(jīng)嘗試 3、5、9 都不符合條件，
所以，乘數(shù)的個位數(shù)的“奇=7”。 從而列出算式：







數(shù)字所在的數(shù)位，完全符合原式中奇、偶數(shù)的規(guī)定。
例 23 下式中，不同位置的“奇”、“偶”可以是相同的數(shù)，也可以是 不同的數(shù)。但是數(shù)位是“奇”必須是奇數(shù)，數(shù)位是“偶”必須是偶數(shù)。










　　解：為了便于分析和敘述，我們將式中的“奇”、“偶”換成不同的代 號。根據(jù)“奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)”，“偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)”，“偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)”
　　
的規(guī)律，可作如下分析：
fgh 和 mnp 是不同的三位數(shù)，說明：c、d 不可能是 1、9，只能是 3、5、
7 中的兩個數(shù)。從而可斷定“a=1”。b 位是奇數(shù)。若 b 是奇數(shù)，“ab6×5” 的十位數(shù)必是偶數(shù)，所以“c≠5”。如果“d＝5”，則“p=0”。從式中可見 “k-p”是借前一位的，所以“p≠0”，因而，“d≠5”，可能是：“c=3， d=7”或“c=7，d=3”。試算 ab6×7 和 ab6×3 的積十位分別是奇數(shù)和偶數(shù)，
便可斷定：“c=7，d=3”。









已知 c 為 7，b 只能為 1 或 3，試算可判定“b=1”。
因為 s 是奇數(shù)，則 6×e 進位的數(shù)是奇數(shù)，可推知 e 可能是 2 或 6，若 “e=6”，n 已確定為 4，則“j－n”需借位，便不符合算式 3，從而斷定： “e=2”。知道了除數(shù)和商，整個算式便可推出。
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　橫式謎

例 1 想想×算算=嘻嘻哈哈
　　解：這個算式的特點是：相乘的兩個兩位數(shù)，每個數(shù)的數(shù)字分別相同， 積的前兩位和后兩位數(shù)字也分別相同。兩個兩位數(shù)相乘所得的積又是四位 數(shù)。根據(jù)這個特點，“想”和“算”必須＞3，否則，積只能是三位數(shù)，也即 “想×算”積應(yīng)進位。由此，可作如下嘗試：
44×33=1452 55×33=1815
66×33=2178 77×33=2541
　　88×33=2904 99×33=3267 上述乘數(shù)是 33 的，積都不合要求。
55×44=2420 66×44=2904
77×44=3388 88×44=3872
99×44=4356
其中：77×44=3388 符合題目條件。
例 2 abcd×9=dcba
　　解：abcd 是四位數(shù)，與 9 相乘仍得四位數(shù)，表明被乘數(shù)首數(shù) a×9 沒有 進位，a 只能是 1，由積的尾數(shù) a 進 1，推知“d=9”，再結(jié)合進位情況和積 的數(shù)序，推知“b=8”，“c=0”，從而得解：
1089×9=9801
　　例 3 下式中，不同的字母代表 1～9 中的不同數(shù)字，要使兩道式同時成 立，各字母應(yīng)是什么數(shù)字？
A×B=CD，E+F=DC
　　解：觀察算式，可見積與和是逆序數(shù)，因此，可先從結(jié)果尋求突破口。 由于各個字母代表的數(shù)字不同，試取的積應(yīng)該是它的逆序數(shù)同時是另外 兩個不同數(shù)字的乘積，如：12=3×4，21=3×7，而若選 48 則肯定不行，因為
48=6×8，式子本身便重復(fù)了“8”。
經(jīng)驗證，可作如下填法：
3×7 = 21
8 + 4 = 12
　　例 4 “好、好、學(xué)、習(xí)”各代表一個什么數(shù)字，才能使下面三個等式同 時成立？
　　　　　　　　　　 ①好 + 好 + 學(xué) + 習(xí) = 18

②好 + 好 - 學(xué) + 習(xí) = 4

③好 + 好 + 學(xué) - 習(xí) = 8
　　解：這種相互聯(lián)系的題目，同一個文字在不同的題目中，代表的數(shù)字卻 是相同的。因此，不能孤立地只解一個，不顧其他。
由于題目中含有相同的文字，可以把式與式相加減，使問題簡化。 把①式與②式相加，得：
“4 好+2 習(xí)=22”

化簡

把②式與③式相加，得：


“2 好+習(xí)=11”

“4 好=12”，“好=3” 從“2 好+習(xí)=11，好=3”可知：“習(xí)=5”。
從“好+好+學(xué)+習(xí)=18”，已知“好=3，習(xí)=5”，可知：“學(xué)=7”。
例 5“如、花、歲、月”各代表一個什么數(shù)字，能使下面三個等式成立？
①如+花×歲+月=18
②如×花-歲+月=18
③如×歲+花-月=18 解：這種文字謎可以用“消量法”解。 將①式與③式相加，可消去“月”字：
（如+花×歲+月）+（如×歲+花-月）=18+18 如+花+花×歲+如×歲=36 如+花+歲×（花+如）=36
　　　　　　　　?。ㄈ?花）×（歲+1）=36 即：（如+花）×（歲+1）的積是 36
36 可分解為：
36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 可知：（如+花）和（歲+1）必為上述五個乘式中的一個。
（歲+1）的值不可能少于 2，也不可能大于 10。（如+花）的值不可能小
于 3，也不可能大于 17。所以，（如+花）與（歲+ 1）的值只有四種可能：
①“歲+1=3 如+花=12”
②“歲+1=4 如+花=9”
③“歲+1=9 如+花=4”
④“歲+1=6 如+花=6” 經(jīng)驗證，只有②成立?？芍?br>“歲=3，月=1，如=5，花=4”

符號謎
例 1 在□內(nèi)填入“+”、“-”號，使等式成立
1□23□4□56□7□8□9=100
　　解：解這類題目仍要先觀察等號右端的數(shù)，根據(jù)這個結(jié)果的大小，確定 算式中數(shù)間的符號。本題的結(jié)果是 100，比式中任何一個數(shù)都大得多，便可 肯定在式中的 23、56 之前必須用“+”號，而后再用“+”或“-”，試算其 他各數(shù)，直到符合最后結(jié)果是 100 為止。
這題的正確填法是：
1+23-4+56+7+8+9=100
　　例 2 下式左端是一位數(shù)的四則運算，請?zhí)钊?、-、×、÷、（）等符號， 使等式成立。
① 9 8 7 6 5 4 3 2 1=100
　　解：算式的結(jié)果是 100，如果全用“+”，9～1 九個數(shù)的和是 45（簡算 用中間項 5 乘以項數(shù) 9）。顯然，需用乘號。倘在較小的數(shù)間填“×”，與
100 仍相差很多，因此需在較大的數(shù)間填“×”。經(jīng)試算，8×9=72，余下七 個數(shù)的和是 4×7=28，相加恰是 100。即：
9×8+7+6+5+4+3+2+1=100
② 9 9 9 9 9=17
　　解：結(jié)果是 17，等號左端的數(shù)是五個 9。9+8=17。因此，必須把其中的 四個 9，通過添加運算符號，使其得數(shù)為 8，才能保證最后結(jié)果為 17。通過 試算：
　　　　　　　　　　　　　　　　　（9×9-9）÷9＝8
這樣，整個算式可組合為：
（9×9－9）÷59＋9＝17
例 3 改動下式中的一個運算符號，使下式成立。
1＋2＋3＋4＋5＋??＋19＋20＝200
　　解：這是個連續(xù)數(shù)相加的算式，確定改動哪一個符號，必須先知道已知 的和 200 與實際和的差數(shù)。
1～20 各數(shù)的實際和是：
總和＝（首項＋尾項）×（項數(shù)÷2）
（1＋20）×（20÷2）＝210
210 比已知的和多 10，即 210—200＝10 因此，只要在算式中，將“＋10”改為“－10”即可以了。
例 4 在下式合適的位置添上（）、〔〕和（），使等式成立。
1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝9081
　　解：本題的最后結(jié)果是 9081，數(shù)目較大，求解有一定難度，但仍可用“層 層剝筍”的方法，縮小推導(dǎo)范圍。
將 9081 分解得：
9081＝1009×9 因此，｛｝位置可定，即：
｛ ｝×9＝9081
　　1009－8＝1001。而 1001＝7×ll×13＝77×13。據(jù)此，可將 8 前的算式 用添括號的方法，使它成為結(jié)果為 77 和 13 相乘的兩個算式。經(jīng)試算，
（1＋2）×3＋4＝13（5＋6）×7＝77

從而，可以確定各種括號的位置。即：
｛〔（1＋2）×3＋4〕×（5＋6）×7＋8｝×9＝9081
例 5 用六個 9 組成等于 100 的算式。
　　解：本題沒有規(guī)定六個 9 的組合形式，因此，每一個數(shù)可以是 9，也可 以是 99，或 999??。各數(shù)間的運算符號也沒有特殊要求，＋、－、×、÷、
（）、〔〕、｛｝完全可根據(jù)自己需要選用，只要把六個 9 組合成算式使結(jié) 果為 100，便符合題目的要求了！因此，有時可以有許多種解法。
如，本題可組合為：
解 1：99＋99÷99＝100
解 2：（999－99）÷9＝100
解 3：9×9＋9＋9＋9÷9＝100 解 4：99÷9×9＋9÷9＝100
　　例 6 在下列算式中加上運算符號，使每一道算式都不相同，但結(jié)果卻都 等于 5。
① 5○5○5○5○5＝5
② 5○5○5○5○5＝5
③ 5○5○5○5○5＝5
④ 5○5○5○5○5＝5
⑤ 5○5○5○5○5＝5
　　解：解這類問題沒有固定規(guī)律，只有不斷地反復(fù)嘗試，才能找到答案。 下面是參考答案。
① 5＋5＋5－5－5＝5
② 5÷5－5÷5＋5＝5
③ 5÷5×5＋5－5＝5
④ 5×5÷5×5÷5＝5
⑤ 5×5－5×5＋5＝5
　　例 7 用五個 3 組成十一道算式，在數(shù)字間加上不同的運算符號，使它們 的結(jié)果依次等于 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
① 3○3○3○3○3＝0
② 3○3○3○3○3＝1
③ 3○3○3○3○3＝2
④ 3○3○3○3○3＝3
⑤ 3○3○3○3○3＝4
⑥ 3○3○3○3○3＝5
⑦ 3○3○3○3○3＝6
⑧ 3○3○3○3○3＝7
⑨ 3○3○3○3○3＝8
⑩ 3○3○3○3○3＝9 (11) 3○3○3○3○3＝10
解：填符號的方法不是唯一的。下面是參考答案。
① 3×3－3－3－3＝0
② 3－3÷3－3÷3＝1
③ 3×3÷3－3÷3＝2
④ 3×3÷3＋3－3＝3

⑤ 3×3÷3＋3÷3＝4
⑥ 3＋3＋3÷3＋3＝5
⑦ 3×3－3＋3－3＝6
⑧ 3×3－3＋3÷3＝7
⑨ 3＋3＋3－3＋3＝8
⑩ 3×3÷3＋3＋3＝9 (11) 3＋3＋3＋3÷3＝10
　　例 8 下面各式，等號兩端的數(shù)字是一樣的，請在等號右端的○中，填上 與等號左端不同的運算符號，使等式成立。
① 1×2×3＝1○2○3
② 4×2－1＝4○2○1
③ 8÷4＋1＝8○4○1
④ 3×2＋2×1＝3○2○2○1
⑤ 4×2＋3×1＝4○2○3○1
解：答案是：
① 1×2×3＝1＋2＋3
② 4×2－1＝4＋2＋1
③ 8÷4＋1＝8－4－1
④ 3×2＋2×1＝3＋2×2＋1
⑤ 4×2＋3×1＝4＋2×3＋1
　　例 9 下面的七道算式結(jié)果都等于 1，數(shù)字間應(yīng)加上哪些符號，算式才能 成立？
① 1○2○3＝1
② 1○2○3○4＝1
③ 1○2○3○4○5＝1
④ 1○2○3○4○5○6＝1
⑤ 1○2○3○4○5○6○7＝1
⑥ 1○2○3○4○5○6○7○8＝1
⑦ 1○2○3○4○5○6○7○8○9＝1
解：下面是參考答案：
① （1＋2）÷3＝1
② 1×2＋3－4＝1
③ 〔（1＋2）÷3＋4〕÷5＝1
④ 1×2×3－4＋5－6＝1
⑤ 1×2＋3＋4＋5－6－7＝1
⑥ （1×2×3－4＋5－6＋7）÷8＝1
⑦ 〔（1＋2）÷3＋4〕÷5＋6－（7＋8－9）＝1
　　例 10 下面的三道算式，運算結(jié)果都錯了，能否不改動數(shù)字，只加入適 當(dāng)?shù)睦ㄌ柺沟仁饺猿闪ⅲ?br>① 78＋84÷3＋21＝75
② 573－273＋149＝151
③ 500÷250×8－1500＝1
　　解：解這類問題，首先應(yīng)算出式子的結(jié)果，再對兩個不同的結(jié)果作比較 如（1）78＋84÷3＋21＝78＋28＋21＝127，大于 75，則考慮使算式得數(shù)變
　　
小，從而確定括號所加的位置。這三題可以是：
①（78＋84）÷3＋21＝75
② 573－（273＋149）＝151
③ 500÷（250×8－1500）＝1
　　例 11 在下列各式左端添上＋、－、 ×、÷、（）等，數(shù)字也可以根 據(jù)需要任意組合成兩位數(shù)或三位數(shù)等，使等式能夠成立。
① 9 9 9 9 9＝17
② 9 9 9 9 9＝18
③ 9 9 9 9 9＝19
④ 9 9 9 9 9＝20
⑤ 9 9 9 9 9＝21
⑥ 9 9 9 9 9＝22
解：下述答案可供參考：
① （9×9－9）÷9＋9＝17
② （9－9）×9＋9＋9＝18
③ 9＋（99－9）÷9＝19
④ （9＋9）÷9＋9＋9＝20
⑤ （99＋9）÷9＋9＝21
⑥ （99＋99）÷9＝22
　　例 12 下列各式是一位數(shù)四則運算，請?zhí)钊脒\算符號及順序符號，使等 式成立。
① 9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1
② 9○8○7○6○5○4○3○2○1＝10
③ 9○8○7○6○5○4○3○2○1＝100
④ 9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1000
⑤ 9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1993
⑥ 9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1994
解：參考答案：
① 9－8＋7－6＋5－4－3＋2－1＝1
② 9×8－7×6－5×4＋3－2－1＝10
③ 9×8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝100
④ （9×8×7－6－5＋4＋3）×2×1＝1000
⑤ （9＋8）×（7＋6）×（5＋4）＋3＋2－1＝1993
⑥ 9＋8×（7＋6×5×4－3）×2＋1＝1994
例 13 在下列各式的適宜位置添加（）、〔〕和｛｝，使等式成立。
① 1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝1005
② 1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝9081
③ 1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝1717
解：可如下添加括號：
①（1＋2）×〔3＋4×（5＋6）×7〕＋8×9＝1005
②｛〔（1＋2）×3＋4〕×（5＋6）×7＋8｝×9＝9081
③ 1＋2×3＋〔（4×5＋6）×7＋8〕×9＝1717
　　例 14 A、B、C 各代表一個整數(shù)，根據(jù)下面三個相聯(lián)系的式子，它們各 是什么數(shù)？
　　
A＋A＝A B－B＝A B×A＝A A÷B＝A
　　解：從前兩道關(guān)系式，可斷定“A＝0”，因為只有 0＋0＝0，同數(shù)相減 得 0。
　　從后兩道關(guān)系式，可斷定 B 為任意數(shù)都可以，因為任何數(shù)乘 0 等于 0，0 除以任何數(shù)得 0。由于 0 不能作除數(shù)，而 A÷B＝A，必須具備“B≠0”，等式 才成立。
　　例 15 下面的四道算式所得結(jié)果的和恰是 100，A 是什么數(shù)，算式才能成 立？
A＋A＝□ A－A＝□ A×A＝□ A÷A＝□
□＋□＋□＋□＝100
　　　解：四道算式中，有兩道可以直接得出結(jié)果。即：A－A＝0，A÷A＝1， 因為同數(shù)相減差是 0，同數(shù)相除商是 1。這樣，另兩式的結(jié)果之和必為 99。 經(jīng)嘗試運算，在 1～9 九個數(shù)字中，只有 A＝9 算式才能成立。即：
9＋9＝18
9－9＝0
9×9＝81
9÷9＝1
　　例 16 下題中“□、○、△”各代表一個數(shù)，根據(jù)已知的條件，你能知 道它們是什么數(shù)嗎？
① □＋□＋□＝120
② ○×△＝45
③ □÷○＝8
④ △＝？ 解：從①式，可知： “□＝120÷3＝40”
將③式換成：40÷○＝8，可知：
“○＝40÷8＝5” 將②式換成：5×△＝45，可知： “△＝45÷5＝9”
例 17 下列三式是互相有聯(lián)系的，每個圖形代表一個整數(shù)，其中□、△、
○各代表什么數(shù)？
① □＋△＋○＋○＝13
② □＋△＋△＋○＝14
③ □＋△＋△＋○＝17
　　解：經(jīng)觀察，每道式中都有兩個相同的圖形。若能求出三個各不相同圖 形的和，而后與四個圖形的和作比較，便可求得一個圖形所代表的數(shù)了。
將三式相加可得：
4□＋4○＋4△＝13＋14＋17＝44