本系列文章預計會有10個章節(jié)，這套文獻會系統(tǒng)講述計算機科學本身，這里是第一季第03篇如果讓你用機械設計一款可以實現(xiàn)一個簡單3位數(shù)以內(nèi)的加減計算的裝置，你有想法嗎？先思考下！其實這個問題我們從未思考過，因為我們所處的社會，隨手拿個計算器、算盤、草稿紙上算都能得出結(jié)果。但你會發(fā)現(xiàn)，一兩個這樣的計算不會勞累，如果是1000個，甚至1W個這樣的重復計算豈不是很累。當然，現(xiàn)代的方法是用計算機寫個程序就可以自動計算實現(xiàn)。但是在那個還沒有電力、蒸汽動力的社會，如何來實現(xiàn)。對古人來講不僅是一場技術(shù)挑戰(zhàn)，更是一種思維競爭。我們先來理一理做這樣一臺機器要怎么實現(xiàn)？首先，需要動力吧，從最簡單入手的話，人工就是一個很好的動力來源。人可以通過身體做功轉(zhuǎn)化機械能，至于如何轉(zhuǎn)化，要看具體的機械裝置。其次，需要一個能將動力轉(zhuǎn)化為計算的裝置... 當然，這個才是最難實現(xiàn)的。
艾倫·麥席森·圖靈
好，我們先停下來看看在上個世紀30年代中期，圖靈是怎么思考關(guān)于計算這個問題的，他有三個靈魂拷問。第一個問題，世界上是否所有數(shù)學問題都有明確的答案？第二個問題，如果有明確的答案，是否可以通過有限步驟的計算得到答案？第三個問題才是，對于那些有可能在有限步驟計算出來的數(shù)學問題，能否有一種假想的機械，讓它不斷運動，最后當機器停下來的時候，那個數(shù)學問題就解決了？其實，以上這三個問題已經(jīng)升華到一種非常深的哲學層面，以至于后來演化為：圖靈模型。這個后期再談，不過我們希望通過這三個問題來激發(fā)我們再一次對計算的認識。從上面這個圖來看，不難發(fā)現(xiàn)對于加法的計算，我們只需要將每個位制的數(shù)字進行相加即可，關(guān)鍵的問題就是考慮如何進位問題。當然這個問題簡單，請看下面這個機構(gòu)，這個機構(gòu)是契克卡德的單齒進位機構(gòu)?？梢钥闯龈呶积X輪有一條長桿會在齒輪轉(zhuǎn)動一周的時候?qū)⒌臀积X輪進行一次傳動，這個簡單的操作，就可以實現(xiàn)一個進位。有了以上思考和認知，我們再來仔細學習下帕斯卡是如何設計這款計算器的。見上圖，從外表看，機器的上半部分是開著6個小窗口的讀數(shù)區(qū)，每個區(qū)域都有一個數(shù)學顯示，而下半部分則是6個緊挨著的置數(shù)旋鈕?？梢钥吹贸?，其實盒子內(nèi)部的示數(shù)輪與置數(shù)輪是聯(lián)動的。下面的置數(shù)旋鈕的造型也是很特別，十根輻條從中心發(fā)散，像個車轱轆，制動的時候還需要用一支硬筆戳在輻條之間的空檔，順時針撥動，直至撞上底部那根類似留聲機唱針的固定小棍。這種置數(shù)方式像極了老式的轉(zhuǎn)盤電話機。帕斯卡起初的設計與契克卡德的單齒進位機構(gòu)類似（盡管他并不知道計算鐘的存在），是一種長齒進位機構(gòu)——齒輪的10個齒中有一個齒比另外9齒稍長一些，正好可以與旁邊代表更高數(shù)位的齒輪嚙合，正轉(zhuǎn)實現(xiàn)加法的進位，反轉(zhuǎn)實現(xiàn)減法的借位。我們看看動圖 28 +35 = 63，是怎么實現(xiàn)的？
解說：隨便找一個筆桿，先將高位撥動到2，然后再將低位撥動到8，再將高位+3，也就是撥動到5，然后再將低位+5，也就是 8+5 = 13，所以低位需要增加5個數(shù)，當?shù)臀粡?轉(zhuǎn)動到下一個3的時候，高位會通過進位機構(gòu)自動進一，就是將之前的5變?yōu)?。所以最后的結(jié)果就是63。說實話，我感覺好像并沒有簡化計算，反而手算會更快。但是我們不必糾結(jié)這個問題。古人能想到這一點已經(jīng)很厲害了。當時巴貝奇做出來的差分機，人稱“會思考的機器”。不過這類進位機構(gòu)有著一個很大的缺陷——齒輪傳動的動力來自人手。同時進行一兩個進位還好，若遇上更多位的連續(xù)進位就很麻煩，比如999999+1，從最低位一直進到最高位，長齒全部與下一位齒輪嚙合，齒輪旋轉(zhuǎn)起來相當吃力。你說你力氣大，照樣能轉(zhuǎn)得動旋鈕沒問題，可齒輪本身卻不一定能承受住這么大的力，搞不好容易斷裂。為了解決這一缺陷，帕斯卡嘗試了各種改進方法，卻發(fā)現(xiàn)再精妙的齒輪設計都無法繞開連續(xù)進位的魔咒。這個問題不解決，制造機械式計算機就是扯淡。這位天才思前想后，最后破天荒地想到了借助重力——他設計了一種叫sautoir的裝置，sautoir來自法語sauter，意為「跳」。低位齒輪在旋轉(zhuǎn)過程中將sautoir抬起，每當轉(zhuǎn)過9回到0時，sautoir便掉落，其上的爪子推動高位齒輪轉(zhuǎn)動36°，整個過程sautoir就像蕩秋千一樣從一個齒輪「跳」到另一個齒輪。上一個進位與下一個進位分離，連續(xù)進位時產(chǎn)生多米諾骨效應。
其實剛開始我還沒有理解這個裝置究竟解決了什么問題，后來我才意識到，其實就是省力，通過自動裝置來省去上面我們講過的普通進位機構(gòu)帶來的麻煩。往后的一百多年里，許多機械師都對這種前無古人后無來者的絕妙設計贊不絕口。帕斯卡本人對自己的發(fā)明更是相當滿意，他夸張道：有了sautoir，機器做到一萬位數(shù)，用起來也和兩位數(shù)沒差。然而，連續(xù)進位是沒問題了，sautoir卻有著一個致命缺陷——不能反轉(zhuǎn)，這就給使用前的置零制造了麻煩，需要從個位開始依次將每一位數(shù)轉(zhuǎn)到9，而后在個位上加1以產(chǎn)生連續(xù)進位，完成所有位的置零。一萬位的機器做出來恐怕也沒人敢用吧！不能反轉(zhuǎn)就以為不能做減法，那帕斯卡如何解決計算減法這個問題呢？繼續(xù)往下看。上面我們所講的基本都是加法計算，我們再來看看如何實現(xiàn)減法。怎么實現(xiàn)減法呢？這仍然難不倒我們的帕斯卡——既然只能做加法，那有沒有一種方法可以將減法轉(zhuǎn)換成加法呢？結(jié)果他還真想出了一種用加法代替減法的方案，正是計算機中沿用至今的補碼。十進制下的補碼是補九碼（9's complement）：對于一位數(shù)，1的補九碼就是8，2的補九碼是7，3的補碼是6，以此類推，原數(shù)和補碼之和為9即可。在6位數(shù)中，a的補九碼就是6個9減去a。設6位數(shù)的補九運算為cp()，用公式表示就是：利用簡單的數(shù)學技巧（結(jié)合律），便可將減法運算轉(zhuǎn)換為有補碼參與的加法運算：所以：兩數(shù)之差的補碼，等價于被減數(shù)的補碼與減數(shù)之和。可能你沒注意，其實帕斯卡計算器上面的欄還有一層被擋住的，我們打開看看。帕斯卡在示數(shù)輪上標了兩排數(shù)字，一排是原數(shù)0~9，，一排是一一相應的補碼，補碼在上，原數(shù)在下。不論轉(zhuǎn)到哪個數(shù)字，其補碼也一同出現(xiàn)。做加法時擋住補碼露出原數(shù)，做減法時反之，但任何置數(shù)都是對下排的置數(shù)。我們來看個案例，比如計算1998 - 886 = 1112 是如何計算的。補碼的補碼就是原數(shù)。輸入被減數(shù)1998的補碼998001，上排自動顯示為1998：給998001加上減數(shù)886，下排得998887，上排自動顯示為001112，便是最終結(jié)果：整個過程用戶看不到下面一排數(shù)字，其實玄機就在里頭，原理非常簡單，上下排互為補碼，09一輪回，卻很有意思。- 前人的思考，我們的階梯?；貧w到古人時代，我們不一定真正能夠解決這些工程問題，我覺得帕斯卡的能之所以有所成就，關(guān)鍵在于，第一：他真正懂數(shù)學，從補碼的思想來看，他對數(shù)學的運算技也有一定的實力。第二：知行合一，能夠親自動手敢于創(chuàng)作。他的精神值得我們借鑒和學習；
我查過很多關(guān)于寫帕斯卡本人和其研究的文章，其實很少很少，可能他的創(chuàng)作放在歷史長河里面還不及牛頓等人的一個頁碼，但是所有最讓人值得尊敬的都是首批潛心的開發(fā)者，從0到1，實屬不易。在此我以本篇文章來表達對他的敬意；
看清事物的本質(zhì)，有利于提升智慧。如果你對一樣事物研究的越透徹，你就越能在此基礎上進行創(chuàng)作。實現(xiàn)自我的自由度也就越大；
Masir - 2023/01/12
于 東莞
祝幸福~
[1].帕斯卡算術(shù)機——數(shù)學天才的十余年匠心 - 簡書 (jianshu.com)[2].https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%83%E8%8E%B1%E5%85%B9%C2%B7%E5%B8%95%E6%96%AF%E5%8D%A1[3].How the Pascaline Works - YouTube
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