作者: 竇長穎(北京市第八十中學(xué)牌坊分校) . 本文參與遇見數(shù)學(xué)＃數(shù)學(xué)蒲公英＃第3次征文活動(dòng)，參與鏈接請點(diǎn)擊這里.

【摘要】數(shù)學(xué)模型是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中提出的十個(gè)核心概念之一，是一種數(shù)學(xué)的基本思想。數(shù)學(xué)模型思想是指用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實(shí)世界所依賴的思想，也就是讓數(shù)學(xué)走出數(shù)學(xué)的世界，是構(gòu)建數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系橋梁的思想。數(shù)學(xué)模型思想針對(duì)的不僅是數(shù)學(xué)，還包括現(xiàn)實(shí)世界中的那些將要講述和研究的事情。模型思想的建立是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，真正使學(xué)生有所感悟需要經(jīng)歷一個(gè)長期的過程。所以，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題、解決問題的過程，使學(xué)生初步形成模型思想。模型思想的教學(xué)，不是作為像具體知識(shí)點(diǎn)那樣可以單獨(dú)作為一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容來進(jìn)行專門教學(xué)的，而是融入到具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)過程中，讓學(xué)生在經(jīng)歷問題學(xué)習(xí)過程逐漸領(lǐng)悟的。同時(shí)，模型思想的建立，需要經(jīng)歷一個(gè)比較復(fù)雜的過程，需要老師們長時(shí)間的重視和不斷滲透，針對(duì)具體問題進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生才能經(jīng)歷一個(gè)從模糊到清晰的領(lǐng)悟過程，以促進(jìn)能力的提升和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，也為學(xué)生今后深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；模型思想；培養(yǎng)策略；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；

數(shù)學(xué)模型是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中提出的十個(gè)核心概念之一，是一種數(shù)學(xué)的基本思想。史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論（第 1 緝）》中提出：“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型......通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系?！盵1]模型思想作為一個(gè)概念，已經(jīng)日益為數(shù)學(xué)教師所熟知，而在課堂上的具體體現(xiàn)，則出現(xiàn)了百花齊放的狀態(tài)，當(dāng)然其中也出現(xiàn)了并不罕見的貼標(biāo)簽的情形，基于這樣的實(shí)際，本文對(duì)模型思想以及培養(yǎng)策略進(jìn)行了深度的解讀。

一、對(duì)模型思想的理解

（一）模型

什么是模型呢？許多數(shù)學(xué)教育工作者認(rèn)為，一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)就是模型，比如，方程就是模型，甚至一個(gè)代數(shù)式就是模型。廣義上說，這樣理解模型是可以的，但更確切地，單純的數(shù)學(xué)表達(dá)是模式而不是模型?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中所說的模型，強(qiáng)調(diào)模型的現(xiàn)實(shí)性，是用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)世界中的故事；強(qiáng)調(diào)在建立模型的過程中，讓學(xué)生感悟如何用數(shù)學(xué)的語言和方法描述一類現(xiàn)實(shí)生活中的問題。

（二）模型思想

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中，是這樣解釋模型思想的：“是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義?！?/strong> 由這個(gè)解釋可以看到，模型有別于一般的數(shù)學(xué)算式，模型也有別于通常的數(shù)學(xué)應(yīng)用，模型是能夠用來解決一類具有實(shí)際背景問題的數(shù)學(xué)方法。必須強(qiáng)調(diào)的是，模型的重要性往往不是取決于數(shù)學(xué)表達(dá)是否完美，而是取決于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的解釋。

數(shù)學(xué)模型思想是指用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實(shí)世界所依賴的思想，也就是讓數(shù)學(xué)走出數(shù)學(xué)的世界，是構(gòu)建數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系橋梁的思想。數(shù)學(xué)模型思想針對(duì)的不僅是數(shù)學(xué)，還包括現(xiàn)實(shí)世界中的那些將要講述和研究的事情。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,滲透數(shù)學(xué)模型思想,就是針對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念和命題,利用學(xué)生可以理解的形象、直觀、具體實(shí)例來說明,通過實(shí)例來幫助理解抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容。在小學(xué)數(shù)學(xué)中,通過一個(gè)典型問題的解決,帶動(dòng)相關(guān)問題的解決,由一到一類,滲透一種數(shù)學(xué)規(guī)律的思想,就可以叫做模型思想。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)中的相關(guān)模型

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，模型無處不在，小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得了大量的數(shù)學(xué)模型。小學(xué)數(shù)學(xué)中常蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型有：數(shù)概念模型，比如分?jǐn)?shù)；運(yùn)算模型，比如加法、減法、乘法、除法的運(yùn)算；方程模型——方程是建模思想的重要體現(xiàn)；幾何圖形模型——每一種圖形本身就是一種數(shù)學(xué)模型，平面圖形和立體圖形的周長、面積以及立體圖形的體積的計(jì)算公式就是模型化思想滲透的重要途徑。只有這樣，學(xué)生才能將實(shí)際問題提煉成數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)模型加以解決。

（一）總量模型

這種模型講述的是總量與部分量之間的關(guān)系，其中部分量之間的地位是平等的，是并列的關(guān)系。因此在這種模型中,部分量之間的運(yùn)算要用加法。如果單純從數(shù)學(xué)計(jì)算的角度考慮，還可以稱這個(gè)模型為加法模型。這種模型具體表示為：總量=部分量+部分量，或者用直觀圖來表示，兩個(gè)整數(shù) a 和 b 相加時(shí)，把相應(yīng)的方框兩端連線并去掉中間的相隔線，加法的意義就通過這個(gè)直觀圖表示出來了。比如：

顯然，模型中的部分量不局限于兩個(gè)?？梢杂眠@個(gè)模型來解決現(xiàn)實(shí)生活中一類涉及總量的問題，這樣的問題在小學(xué)低年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中是屢見不鮮的。比如，計(jì)算圖書室中各類圖書的總和是多少，計(jì)算在商店中買幾種商品的總花費(fèi)是多少，計(jì)算在年級(jí)中各個(gè)班同學(xué)數(shù)的總?cè)藬?shù)是多少……還可以針對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中具體問題背景的不同，引導(dǎo)學(xué)生靈活地使用這種模型，比如，可以在“部分量”那里講一些故事，也可以在總量那里講一些故事，把加法運(yùn)算變?yōu)闇p法運(yùn)算：部分量=總量-部分量。

（二）乘法模型

a 和 b 相乘，把兩個(gè)方框中的點(diǎn)排成 a 行、b 列個(gè)點(diǎn)。構(gòu)成一個(gè)新方框：

乘法模型中包括多種情況，如路程模型。這種模型講述的是距離、速度、時(shí)間之間的關(guān)系，如果假設(shè)速度是均勻的（或者平均速度），可以得到模型的形式：距離=速度 × 時(shí)間。再比如，解決“總價(jià)=單價(jià) × 數(shù)量”的問題，解決總數(shù)=行數(shù) × 列數(shù)”的問題等。顯然，在具體使用這類模型的時(shí)候，可以用時(shí)間講一些故事，比如，甲比乙晚出發(fā)多長時(shí)間；還可以用速度講一些故事，比如，某人在行程途中改變速度等。也可以用距離講一些故事，把乘法變?yōu)槌ǎ簳r(shí)間=距離 ÷ 速度。

（三）植樹模型

這類模型的問題背景是：在直線上或者平面上有規(guī)律地挖一些洞（也可以假設(shè)有一些洞），在洞中植樹。在一般情況下，植樹的數(shù)量小于洞的數(shù)量，這樣就可以提出兩類問題：一類問題是按一定規(guī)律在一部分洞中植樹，問可以植樹多少棵；一類問題是先確定植樹的棵數(shù)，然后探索植樹的規(guī)律。可以想象，在現(xiàn)實(shí)生活中這類問題是層出不窮的，也是非常有趣、非常有意義的。比如，要在一條道路沿線設(shè)立若干個(gè)加油站，就可以把道路的里程看成洞，把加油站看成樹；再比如，在一個(gè)區(qū)域要設(shè)立若干個(gè)商業(yè)點(diǎn)，就可以把居民住宅區(qū)看成洞，把商業(yè)點(diǎn)看成樹。特別是在現(xiàn)代社會(huì)這個(gè)模型被廣泛應(yīng)用于資源調(diào)查或者環(huán)境調(diào)查，因?yàn)榭梢栽O(shè)想調(diào)查點(diǎn)就是樹，為了更加經(jīng)濟(jì)科學(xué)地進(jìn)行調(diào)查，就需要合理地設(shè)計(jì)可以被用來植樹的洞。

顯然，在平面上設(shè)計(jì)這類問題要比在直線上困難得多，因此在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題的背景應(yīng)當(dāng)主要是針對(duì)直線而不是平面。

（四）工程模型

這類模型的問題背景是：有一個(gè)工程，甲工程隊(duì)和乙工程隊(duì)單獨(dú)完成分別需要 A 天和 B 天，考慮兩個(gè)工程隊(duì)合作完成這個(gè)工程所需要的時(shí)間。解決這樣的問題，一個(gè)簡便的方法是假設(shè)工程為 1，因?yàn)橛辛诉@個(gè)假設(shè)就可以確定甲工程隊(duì)和乙工程隊(duì)一天分別能完成工程的：1/A 和 1/B。正因?yàn)槿绱耍藗冇址Q這樣的問題為歸一問題。當(dāng)然，在具體使用這個(gè)模型的時(shí)候，可以假設(shè)兩個(gè)工程隊(duì)合作會(huì)提高效率或者降低效率；也可以假設(shè)甲工程隊(duì)先工作幾天之后，乙工程隊(duì)再參加；還可以假設(shè)有三個(gè)或者更多的工程隊(duì)來完成這個(gè)工程。這種模型還可以包括傳統(tǒng)的注水問題：有幾個(gè)水管向一個(gè)池子中注水，還可以考慮一邊注水一邊放水的情況等。

（五）其他模型

1.比例關(guān)系模型

如果給出兩個(gè)量數(shù)據(jù)變化的表格，學(xué)生通過觀察和計(jì)算有可能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)量的關(guān)系：兩個(gè)變量成反比例關(guān)系還是成正比例關(guān)系。這是建立比例關(guān)系模型。

2.體積關(guān)系模型

利用若干個(gè)相同的小正方體拼擺成一個(gè)長方體，探索長方體中含有的小正方體的個(gè)數(shù)與長方體的長、寬、高的關(guān)系，進(jìn)而歸納出長方體的體積公式，建立模型，這就是建立提及關(guān)系模型的過程。有了這些模型，就可以建立方程等去闡述現(xiàn)實(shí)世界中的“故事”，就可以幫助我們?nèi)ソ鉀Q問題。可以看到，使用模型的過程可以充分發(fā)揮人的想象力。這個(gè)想象力主要表現(xiàn)在構(gòu)建現(xiàn)實(shí)背景，想象背景中事物中的各種數(shù)量，想象各種數(shù)量關(guān)系之間的各種可能組合。因此，在這樣的教學(xué)過程中，不僅要培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，還要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng)策略

模型思想的建立是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，真正使學(xué)生有所感悟需要經(jīng)歷一個(gè)長期的過程。所以，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題、解決問題的過程，使學(xué)生初步形成模型思想。

（一）根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)逐步滲透模型思想

模型思想的建立是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，真正使學(xué)生有所感悟需要經(jīng)歷一個(gè)長期的過程。所以，教師在教學(xué)中要注意根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)逐步滲透，引導(dǎo)學(xué)生不斷感悟。1.第一學(xué)段教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生借助直觀模型解決實(shí)際問題。

用數(shù)學(xué)模型的思想來指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，不同的年級(jí)、內(nèi)容、學(xué)習(xí)對(duì)象應(yīng)該體現(xiàn)出一定的差異，但也存在著很大的關(guān)聯(lián)性。

比如低年級(jí)教師在教學(xué)“5-2=3”這一環(huán)節(jié)時(shí)，可先通過具體情境圖讓學(xué)生說圖意，理解有 5 個(gè)小朋友在澆花，走了 2 個(gè)小朋友，還剩下 3 個(gè)小朋友；然后再根據(jù)圖意提出數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生列式解答；繼而讓學(xué)生用圓片代替小朋友，將這一過程擺一擺：（結(jié)合情境圖和圓片說明)“5 個(gè)小朋友在澆花,走了 2 個(gè),還剩 3 個(gè)”和“從 5 個(gè)圓片中拿走 2 個(gè),還剩 3 個(gè)”,都可以用同一個(gè)算式（5-2=3）來表示。教師還可再讓學(xué)生說一說這里的 5 表示什么？2、3 又表示什么？最后讓學(xué)生說一說在生活中 5-2=3 還可以表示什么呢？學(xué)生可能會(huì)說“有 5 瓶牛奶，喝掉 2 瓶，還剩 3 瓶”，也可能會(huì)說“樹上有 5 只小鳥，飛走 2 只，還剩 3 只”......

這個(gè)教學(xué)片段根據(jù)低年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，由具體、形象的實(shí)例開始，借助操作予以內(nèi)化和強(qiáng)化，最后通過思維發(fā)散和聯(lián)想加以擴(kuò)展和推廣，賦予“5-2=3”以更多的“模型”意義，滲透了初步的數(shù)學(xué)建模思想。模型意識(shí)的培養(yǎng)和建模方法的指導(dǎo)，要根據(jù)具體內(nèi)容和具體年級(jí)有層次地進(jìn)行。2.第二學(xué)段教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問題中感悟數(shù)學(xué)模型思想。

在第二學(xué)段中，教師可以通過一些具體問題，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察分析，抽象出更為一般的模式表達(dá)。如用字母表示有關(guān)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，總結(jié)出路程、速度、時(shí)間和單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)等關(guān)系式。

例如行程問題的教學(xué)中，教師教學(xué)時(shí)通過創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的情境，引導(dǎo)學(xué)生采用探究學(xué)習(xí)的方式，在提出問題、交流研討、解決問題的基礎(chǔ)上，總結(jié)出行程問題的解答方法，從何進(jìn)一步體會(huì)速度、實(shí)踐、路程之間的關(guān)系，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

（二）引導(dǎo)學(xué)生在循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)中感悟模型思想

學(xué)生感悟模型思想需要經(jīng)歷一個(gè)長期的過程。小學(xué)數(shù)學(xué)建模必須結(jié)合學(xué)生的實(shí)際水平分層次逐步推進(jìn)，應(yīng)當(dāng)與正常教學(xué)內(nèi)容同步。教學(xué)過程中要讓學(xué)生循序漸進(jìn)，逐步提高，讓思維混亂的學(xué)生學(xué)會(huì)思考，讓害怕數(shù)學(xué)的學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)。

每一個(gè)從客觀世界中抽象出來的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)分支都是客觀世界中某種具體事物的數(shù)學(xué)模型。例如，自然數(shù) 1 就是具體的一只羊、一頭牛等的數(shù)學(xué)模型；而直線就是光線、木棍等的數(shù)學(xué)模型。這就要求教師把數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈搞清楚，把數(shù)學(xué)的構(gòu)建過程展示給學(xué)生，讓學(xué)生自己體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程及其作用。

如在教學(xué) 20 以內(nèi)進(jìn)位加法“9+6”時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)情境，得出算式“9+6”，組織學(xué)生探究，學(xué)生基于各自的已有經(jīng)驗(yàn)，得到以下五種模型。從 9 起，一個(gè)一個(gè)的數(shù)下去；9 與 1 相加得 10，再加 5；9 分成 5 和 4，4 與 6 相加得 10，再加 5；把 9 看作 10，6 里去掉 1；9 里拿出 5，6 里拿出 5，5 ＋ 5 ＋ 4 ＋ 1。在學(xué)生分析算理的基礎(chǔ)上，教師逐漸引導(dǎo)學(xué)生通過比較總結(jié)出計(jì)算 20 以內(nèi)進(jìn)位加法“湊十”的數(shù)學(xué)模型。在這一教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生在動(dòng)手操作中，不僅體會(huì)到怎樣探索求知的數(shù)學(xué)方法——轉(zhuǎn)化法，而且在分析綜合能力方面都得到了發(fā)展，正符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律。

（三）經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程建立模型思想

“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”[2]的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中模型思想的基本要求，也有利于學(xué)生在活動(dòng)過程中理解、掌握有關(guān)知識(shí)與技能，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟模型思想的本質(zhì)。這一過程更有利于學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，建立數(shù)的概念、認(rèn)識(shí)運(yùn)算、探索規(guī)律……都是學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)的活動(dòng)，都需要經(jīng)歷探索建立數(shù)學(xué)模型的過程。例如，利用若干個(gè)相同的 1 平方厘米的正方形測量一個(gè)長方形的面積引發(fā)猜測，到測量和探究幾個(gè)不同長方形中含有 1 平方厘米正方形的個(gè)數(shù)與長方形的長和寬的關(guān)系，再到歸納出長方形的面積計(jì)算公式建立模型，學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)模型化的過程，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”。又如，用方程解決實(shí)際問題，學(xué)生就要經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型和運(yùn)用模型解決問題的過程。[3]

如乘法分配律的教學(xué)，可以從“有一種新款童裝，上衣每件 90 元，褲子每條 60 元，學(xué)校舞蹈興趣組買來 8 套，一共花了多少錢？”從這樣的生活問題入手，從解決現(xiàn)實(shí)問題的事理出發(fā)，逐步簡約事理，去粗取精，通過提煉來突顯基本內(nèi)涵，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法歸納、概括本質(zhì)屬性，生成數(shù)學(xué)模型（一定的表達(dá)形式），具體步驟如下：1.誰來說說解決這個(gè)問題時(shí)可以怎樣想？（說事理）

先求出買 1 套童裝（1 件上衣和 1 條褲子）所花的錢，再求買 8 套童裝一共花的錢，或先分別求出買 8 件上衣與 8 條褲子的錢，再求買 8 套童裝一共花的錢。

2.誰能用數(shù)量關(guān)系式來表示以上解題思路？（事理的數(shù)學(xué)概括）

（1 件上衣的錢＋ 1 條褲子的錢）× 套數(shù)＝一共花的錢，或 1 件上衣的錢 × 件數(shù)＋ 1 條褲子的錢 × 條數(shù)＝一共花的錢，即（1 件上衣的錢＋ 1 條褲子的錢）× 套數(shù)＝ 1 件上衣的錢 × 件數(shù)＋ 1 條褲子的錢 × 條數(shù)

3.列式計(jì)算。（事理向算理的過渡）

（90 ＋ 60）×8 ＝ 1200 或 90×8 ＋ 60×8 ＝ 1200，即（90 ＋ 60）×8 ＝ 90×8 ＋ 60×8

4.同學(xué)們還能找出類似于（90 ＋ 60）×8 ＝ 90×8 ＋ 60×8 這樣的等式嗎？（算理的推廣）

5.這樣的等式有多少？列舉得完嗎？這些等式看上去各不相同，仔細(xì)分析，它們有共同之處嗎？你能設(shè)法用字母替代具體的數(shù)將它表示出來嗎？（算理的符號(hào)化——數(shù)學(xué)模型的形成）（a ＋ b）×c ＝ a×c ＋ b×c，還可以用圖形表示如下圖：

這樣的建模方式，其基本特點(diǎn)可以用源于生活而高于生活來概括。這種高于體現(xiàn)在對(duì)生活事理的簡約、提煉、概括和數(shù)學(xué)化的表達(dá)上。[4]

總之，模型思想的教學(xué)，不是作為像具體知識(shí)點(diǎn)那樣可以單獨(dú)作為一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容來進(jìn)行專門教學(xué)的，而是融入到具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)過程中，讓學(xué)生在經(jīng)歷問題學(xué)習(xí)過程逐漸領(lǐng)悟的。同時(shí)，模型思想的建立，需要經(jīng)歷一個(gè)比較復(fù)雜的過程，需要老師們長時(shí)間的重視和不斷滲透，針對(duì)具體問題進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生才能經(jīng)歷一個(gè)從模糊到清晰的領(lǐng)悟過程，以促進(jìn)能力的提升和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，也為學(xué)生今后深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。

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