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何時(shí)才用一般式？

就一般式y(tǒng)=ax2＋bx＋c（其中a，b，c為常數(shù)，且a≠0）而言，其中含有三個(gè)待定的系數(shù)a ，b ，c．求二次函數(shù)的一般式時(shí)，必須要有三個(gè)獨(dú)立的定量條件，來建立關(guān)于a ，b ，c 的方程，聯(lián)立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函數(shù)解析式，即可得到所求的二次函數(shù)解析式．

巧取交點(diǎn)式法

知識歸納：二次函數(shù)交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2

分別是拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．已知拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求二次函數(shù)解析式時(shí)，用交點(diǎn)式比較簡便．

典型例題一：告訴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，和第三個(gè)點(diǎn)，可求出函數(shù)的交點(diǎn)式．

例1已知拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2和1 ，且通過點(diǎn)（2，8），求二次函數(shù)的解析式．

析解設(shè)函數(shù)的解析式為y＝a(x+2)(x－1)，∵過點(diǎn)（2，8），∴8＝a(2+2)(2－1)．解得a=2，∴拋物線的解析式為y＝2(x+2)(x－1)，

即y＝2x2+2x－4. 典型例題二：告訴拋物線與x軸的兩個(gè)交

點(diǎn)之間的距離和對稱軸，可利用拋物線的對稱性求解. 例2已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－2），并且圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4

．求二次函數(shù)的解析式. 思路啟迪在已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)的距離和頂點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，問題比較容易解決．由頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－2）的條件，易知其對稱軸為x＝3，再利用拋物線的對稱性，可知圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0）和（5，0）．此時(shí)，可使用二次函數(shù)的交點(diǎn)式，得出函數(shù)解析式．

頂點(diǎn)式的妙處

頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k（a≠0），其中（h，k）是拋物線的頂點(diǎn)．當(dāng)已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸，或能夠先求出拋物線頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)頂點(diǎn)式解題十分簡潔，因?yàn)槠渲兄挥幸粋€(gè)未知數(shù)a．在此類問題中，常和對稱軸，最大值或最小值結(jié)合起來命題．在應(yīng)用題中，涉及到橋拱、隧道、彈道曲線、投籃等問題時(shí)，一般用頂點(diǎn)式方便．

典型例題一：告訴頂點(diǎn)坐標(biāo)和另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，直接可以解出函數(shù)

頂點(diǎn)式. 例3已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2），且通過點(diǎn)（

1，10），求此二次函數(shù)的解析式. 析解∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2），

故設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+1)2-2 （a≠0）．把點(diǎn)（1，10）代入上式，得10=a(1+1)2-2．∴a=3．∴二次函數(shù)的解析式為y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1．典型例題二：如果a>0，那么當(dāng)x= -b2a時(shí)，y有最小

值且y最小=4ac-b24a；如果a<0，那么，當(dāng)x=-b2a時(shí)，y有最大值，且y最大=4ac-b24a．告訴最大值或最小值，實(shí)際上也是告訴了頂點(diǎn)坐標(biāo)

，同樣也可以求出頂點(diǎn)式. 例4 已知二次函數(shù)當(dāng)x＝4時(shí)有最小值－3，且它的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為6，求這個(gè)二次函數(shù)的解析

式. 析解∵二次函數(shù)當(dāng)x＝4時(shí)有最小值－3，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，

－3），對稱軸為直線x＝4，拋物線開口向上. 由于圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為6，根據(jù)圖象的對稱性就可以得到圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0）和（7，0）．

∴拋物線的頂點(diǎn)為（4，－3）且過點(diǎn)（1，0）．故可設(shè)函數(shù)解析式為y＝a(x－4)2－3．將（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．

∴y＝13(x－4)2－3，即y＝13x2－83x＋73. 典型例題三：告訴對稱軸，相當(dāng)于告訴了頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，綜合其他條件，也可解出．

例如（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，-2）和B（1，0），且對稱軸是直線x＝3．求這個(gè)二次函數(shù)的解析式. （2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1，圖象交y軸于點(diǎn)（0，2），且過點(diǎn)（-1，0），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式. （3）已知拋物線的對稱軸為直線x=2，且通過點(diǎn)（1，4）和點(diǎn)（5，0），求此拋物線的解析式. （4）二次函數(shù)的圖象的對稱軸x=-4，且過原點(diǎn)，它的頂點(diǎn)到x軸的距離為4，求此函數(shù)的解析式．（此cc四dd題ee同ff學(xué)gg們hh自ii己jj嘗kk試ll解[[出mm）

典型例題四：利用函數(shù)的頂點(diǎn)式，解圖像的平移等問題非常方便.

例5把拋物線y=ax2+bx+c的圖像向右平移3 個(gè)單位, 再向下平移2 個(gè)單位, 所得圖像的解析式是y=x2-3x+5, 則函數(shù)的解析式為_______.

析解先將y=x2-3x+5化為y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114．∵它是由拋物線的圖像向右平移3 個(gè)單位, 再向下平移2 個(gè)單位得到的，∴原拋物線的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.

竹林中學(xué)熊富霞