通常,速算是指針對數(shù)據(jù)特征使計算速度得以提高的方法。在速算中經(jīng)常會用到一個重要概念:當兩個數(shù)的和是整十、整百……數(shù)時,這兩個數(shù)就稱為對那個整十、整百……數(shù)互為補數(shù)。下面介紹幾種常用的速算方法,并且這些速算方法都可以推廣到小數(shù):
一、加減法的速算
1、加整減補
如,324+98=324+100-2=422。(2是98對100的補數(shù)。)
2、減整加補
如,816-379=816-400+21=437。(21是379對400的補數(shù)。)
3、以乘代加
如,7+7+7+7+7+6=7×5+6=35+6=41,或,7+7+7+7+7+6=7×6-1=42-1=41。
二、乘除法的速算
1、一個數(shù)乘5。先除以2再乘10(在末尾添一個0)。
如,148×5=148÷2×10=740。再如,169×5=169÷2×10=845。
2、一個數(shù)除以5。先乘2再除以10(從末尾去掉一個0)。
如,1340÷5=1340×2÷10=268。再如,317÷5=317×2÷10=63.4。
3、一個數(shù)乘15。先把這個數(shù)擴大10倍,再增加一半。
如,72×15=720+720÷2=720+360=1080。
4、一個數(shù)乘25。先除以4再乘100。
如,36×25=36÷4×100=900。
5、一個數(shù)除以25。先除以100再乘4。
如,800÷25=800÷100×4=32。
6、一個數(shù)乘125。先除以8再乘1000。
如,56×125=56÷8×1000=7000。
7、一個數(shù)除以125。先除以1000再乘8。
如,9000÷125=9000÷1000×8=9×8=72。
8、兩位數(shù)乘11。積的百位數(shù)就是這個兩位數(shù)的十位數(shù),積的十位數(shù)等于這個兩位數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)的和(滿10的要進位),積的個位數(shù)就是這個兩位數(shù)的個位數(shù)。
如,42×11。積的百位數(shù)是4,十位數(shù)是4+2=6,個位數(shù)是2,積是462。
再如,59×11。積的百位數(shù)本來是5,因為十位數(shù)是5+9=14,所以百位數(shù)變成5+1=6,十位數(shù)變成4,個位數(shù)是9,積是649。這個方法可以推廣到多位數(shù)乘11。
9、十幾乘十幾。積的百位數(shù)和十位數(shù)等于一個因數(shù)與另一個因數(shù)個位數(shù)的和,積的個位數(shù)等于兩個因數(shù)的個位數(shù)的積(滿十的要進位)。
如, 12×13。積的百位數(shù)和十位數(shù)是12+3=15,個位數(shù)是2×3=6,積是156。
再如,16×19。積的百位數(shù)和十位數(shù)本來是16+9=25,因為個位數(shù)是6×9=54,所以百位數(shù)和十位數(shù)變成25+5=30,個位數(shù)變成4,積是=304。
10、 幾十一乘幾十一。積的千位數(shù)和百位數(shù)等于兩個因數(shù)的十位數(shù)的積,積的十位數(shù)等于兩個因數(shù)的十位數(shù)的和(滿十的要進位),積的個位數(shù)是1。
如,31×41。積的千位數(shù)和百位數(shù)是3×4=12,十位數(shù)是3+4=7,個位數(shù)是1,積是1271。
再如,81×51=4131。積的千位數(shù)和百位數(shù)本來是8×5=40,因為十位數(shù)是8+5=13,所以百位數(shù)變成0+1=1,十位數(shù)變成3,個位數(shù)是1,積是4131。
11、兩個因數(shù), 十位數(shù)相同,個位數(shù)的和等于10。積的千位數(shù)和百位數(shù)等于這個相同的十位數(shù)與比它大1的數(shù)的積,積的十位數(shù)和個位數(shù)等于兩個因數(shù)的個位數(shù)的積(不滿10的十位上補0)。
如,56×54。積的千位數(shù)和百位數(shù)是5×(5+1)=30,十位數(shù)和個位數(shù)是6×4=24,積是3024。
再如,81×89。積的千位數(shù)和百位數(shù)是8×(8+1)=72,十位數(shù)和個位數(shù)是1×9=09,積是7209。
12、兩個因數(shù), 個位數(shù)相同,十位數(shù)的和等于10。積的千位數(shù)和百位數(shù)等于兩個因數(shù)的十位數(shù)的積加上那個相同的個位數(shù),積的十位數(shù)和個位數(shù)等于兩個因數(shù)的個位數(shù)的積(不滿10的十位上補0)。
如,38×78。積的千位數(shù)和百位數(shù)是3×7+8=29,十位數(shù)和個位數(shù)是8×8=64,積是2964。
再如,83×23。積的千位數(shù)和百位數(shù)是8×2+3=19,十位數(shù)和個位數(shù)是3×3=09,積是1909。
13、兩個因數(shù),十位數(shù)相同,個位數(shù)的和不等于10。去掉一個因數(shù)的個位數(shù)使它變成整十數(shù),把去掉的數(shù)加到另一個因數(shù)上,積等于這兩個新兩位數(shù)的積加上原來兩個因數(shù)的個位數(shù)的積。
如,63×64=60×(64+3)+3×4=60×67+12=4020+12=4032。
14、兩個因數(shù),十位數(shù)相差1,個位數(shù)的和等于10。把較大的因數(shù)拆成一個整十數(shù)和一個一位數(shù),積等于所得整十數(shù)的平方減去一位數(shù)的平方。
如,46×34。把46拆成40和6,46×34=40×40-6×6=1600-36=1564。
15、一個因數(shù)十位數(shù)與個位數(shù)的和等于10,另一個因數(shù)個位數(shù)與十位數(shù)相同。積的千位數(shù)和百位數(shù)等于數(shù)字和為10的那個因數(shù)的十位數(shù)加1后與另一個因數(shù)的十位數(shù)的積,積的十位數(shù)和個位數(shù)等于兩個因數(shù)的個位數(shù)的積(不滿10的十位上補0)。
如,46×77。積的千位數(shù)和百位數(shù)是(4+1)×7=35,十位數(shù)和個位數(shù)是6×7=42,積是3542。
再如,82×33。積的千位數(shù)和百位數(shù)是(8+1)×3=27,十位數(shù)和個位數(shù)是2×3=06,積是=2706。
16、兩位數(shù)乘99。積的千位數(shù)和百位數(shù)等于比這個兩位數(shù)小1的數(shù),積的十位數(shù)和個位數(shù)等于這個兩位數(shù)的補數(shù)。
如,76×99。積的千位數(shù)和百位數(shù)是76-1=75,十位數(shù)和個位數(shù)是100-76=24,積是7524。
17、九十幾乘九十幾。積的千位數(shù)和百位數(shù)等于一個因數(shù)減去另一個因數(shù)的補數(shù),積的十位數(shù)和個位數(shù)等于兩個因數(shù)的補數(shù)的積(不滿10的十位上補0)。
如,97×94。積的千位數(shù)和百位數(shù)是97-(100-94)=91,十位數(shù)和個位數(shù)是(100-97)×(100-94)=18,積是9118。
再如,96×98。積的千位數(shù)和百位數(shù)是96-(100-98)=94,十位數(shù)和個位數(shù)是(100-96)×(100-98)=08,積是9408。
18、幾十九乘幾十九。把兩個因數(shù)四舍五入成整十數(shù),積等于這兩個整十數(shù)的積減去這兩個整十數(shù)的和再加1。
如,69×79=70×80-(70+80)+1=5600-150+1=5451。
19、一百零幾乘一百零幾。積的前三位數(shù)等于一個因數(shù)與另一個因數(shù)的個位數(shù)的和,積的十位數(shù)和個位數(shù)等于兩個因數(shù)的個位數(shù)的積(不滿10的十位上補0)。
如,108×109。積的前三位數(shù)是108+9=117,十位數(shù)和個位數(shù)是8×9=72,積是11772。
再如,103×102。積的前三位數(shù)是103+2=105,十位數(shù)和個位數(shù)是3×2=06,積是=10506。
三、平方數(shù)的速算
1、幾十五的平方。平方數(shù)的千位數(shù)和百位數(shù)等于這個數(shù)的十位數(shù)與比十位數(shù)大1的數(shù)的積,十位數(shù)和個位數(shù)是25。
如,75的平方。平方數(shù)的千位數(shù)和百位數(shù)是7×(7+1)=56,十位數(shù)和個位數(shù)是25,平方數(shù)是5625。
2、四十幾的平方。平方數(shù)的千位數(shù)和百位數(shù)等于25減去這個數(shù)的個位數(shù)的補數(shù)所得的差,十位數(shù)和個位數(shù)等于這個數(shù)的個位數(shù)的補數(shù)的平方(不滿10的十位上補0)。
如,42的平方。平方數(shù)的千位數(shù)和百位數(shù)是25-(10-2)=17,十位數(shù)和個位數(shù)是(10-2)×(10-2)=64,平方數(shù)是1764。
再如,49的平方。平方數(shù)的千位數(shù)和百位數(shù)是25-(10-9)=24,十位數(shù)和個位數(shù)是(10-9)×(10-9)=01,平方數(shù)是2401。
3、五十幾的平方。平方數(shù)的千位數(shù)和百位數(shù)等于25加上這個數(shù)的個位數(shù),十位數(shù)和個位數(shù)等于這個數(shù)的個位數(shù)的平方(不滿10的十位上補0)。
如,57的平方。平方數(shù)的千位數(shù)和百位數(shù)是25+7=32,十位數(shù)和個位數(shù)是7×7=49,平方數(shù)是3249。
再如,53的平方。平方數(shù)的千位數(shù)和百位數(shù)是25+3=28,十位數(shù)和個位數(shù)是3×3=09,平方數(shù)是2809。
4、九十幾的平方。平方數(shù)的千位數(shù)和百位數(shù)等于這個數(shù)減去它的個位數(shù)的補數(shù),十位數(shù)和個位數(shù)等于這個數(shù)的個位數(shù)的補數(shù)的平方(不滿10的十位上補0)。
如,94的平方。平方數(shù)的千位數(shù)和百位數(shù)是94-(10-4)=88,十位數(shù)和個位數(shù)是(10-4)×(10-4)=36,平方數(shù)是8836。
再如,98的平方。平方數(shù)的千位數(shù)和百位數(shù)是98-(10-8)=96,十位數(shù)和個位數(shù)是(10-8)×(10-8)=04,平方數(shù)是=9604。
乘法口訣速算方法,個人覺的很有用,值得和大家分享一下:
兩位數(shù)相乘,在十位數(shù)相同、個位數(shù)相加等于10的情況下,如62×68=4216
計算方法:6×(6+1)=42(前積),2×8=16(后積)。
一分鐘速算口訣中對特殊題的定理是:
任意兩位數(shù)乘以任意兩位數(shù),只要魏式系數(shù)為“0”所得的積,一定是兩項數(shù)中的尾乘尾所得的積為后積,頭乘頭(其中一項頭加1的和)的積為前積,兩積相鄰所得的積。
如(1)33×46=1518(個位數(shù)相加小于10,所以十位數(shù)小的數(shù)字3不變,十位大的數(shù)4必須加1)
計算方法:3×(4+1)=15(前積),3×6=18(后積)
兩積組成1518
如(2)84×43=3612(個位數(shù)相加小于10,十位數(shù)小的數(shù)4不變 十位大的數(shù)8加1)
計算方法:4×(8+1)=36(前積),3×4=12(后積)
兩積相鄰組成:3612
如(3)48×26=1248
計算方法:4×(2+1)=12(前積),6×8=48(后積)
兩積組成:1248
如(4)245平方=60025
計算方法24×(24+1)=600(前積),5×5=25
兩積組成:60025
ab×cd 魏式系數(shù)=(a-c)×d+(b+d-10)×c
“頭乘頭,尾乘尾,合零為整,補余數(shù)。”
1.先求出魏式系數(shù)
2.頭乘頭(其中一項加一)為前積 (適應尾相加為10的數(shù))
3.尾乘尾為后積。
4.兩積相連,在十位數(shù)上加上魏式系數(shù)即可 。
如:76×75,87×84吧,凡是十位數(shù)相同個位數(shù)相加為11的數(shù),它的魏式系數(shù)一定是它的十位數(shù)的數(shù) 。
如:76×75魏式系數(shù)就是7,87×84魏式系數(shù)就是8。
如:78×63,59×42,它們的系數(shù)一定是十位數(shù)大的數(shù)減去它的個位數(shù)。
例如第一題魏式系數(shù)等于7-8=-1,第2題魏式系數(shù)等于5-9=-4,只要十位數(shù)差一,個位數(shù)相加為11的數(shù)一律可以采用以上方法速算。
例題1 76×75, 計算方法: (7+1)×7=56 5×6=30 兩積組成5630,然后十位數(shù)上加上7最后的積為5700。
例題2 78×63,計算方法:7×(6+1)=49,3×8=24,兩積組成4924,然后在十位數(shù)上2減去1,最后的積為4914
下面是摘抄了幾節(jié)實例:
-如(1)33×46=1518(個位數(shù)相加小于10,所以十位數(shù)小的數(shù)字3不變,十位大的數(shù)4必須加1)-
-計算方法:3×(4+1)=15(前積),3×6=18(后積)-
-兩積組成1518-
-如(2)84×43=3612(個位數(shù)相加小于10,十位數(shù)小的數(shù)4不變 十位大的數(shù)8加1)-
-計算方法:4×(8+1)=36(前積),3×4=12(后積)-
-兩積相鄰組成:3612-
-如(3)48×26=1248-
-計算方法:4×(2+1)=12(前積),6×8=48(后積)-
-兩積組成:1248-
-如(4)245平方=60025-
-計算方法24×(24+1)=600(前積),5×5=25-
-兩積組成:60025-
(一)十幾與十幾相乘
十幾乘十幾,
方法最容易,
保留十位加個位,
添零再加個位積。
證明:設m、n 為1 至9 的任意整數(shù),則
(10+m)(10+n)
=100+10m+10n+mn
=10〔10+(m+n)〕+mn。
例:17×l6
∵10+ (7+6)=23(第三句),
∴230+7×6=230+42=272(第四句),
∴17×16=272。
(二)十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補(和為10)的兩位數(shù)相乘
十位同,個位補,
兩數(shù)相乘要記?。?nbsp;
十位加一乘十位,
個位之積緊相隨。
證明:設m、n 為1 到9 的任意整數(shù),則
(10m+n)〔10m+(10-n)〕
=100m(m+1)+n(10-n)。
例:34×36
∵(3+1)×3=4×3=12(第三句),
個位之積4×6=24,
∴34×36=1224。 (第四句)
注意:兩個數(shù)之積小于10 時,十位數(shù)字應寫零。
(三)用11 去乘其它任意兩位數(shù)
兩位數(shù)乘十一,
此數(shù)兩邊去,
中間留個空,
用和補進去。
證明:設m、n 為1 至9 的任意整數(shù),則
(10m+n)×(10+1)=100m+10(m+n)+n。
例:36×ll
∵306+90=396,
∴36×11=396。
注意:當兩位數(shù)字之和大于10 時,要進到百位上,那么百位數(shù)數(shù)字就成為m+1,
如:
84×11
∵804+12×10=804+120=924,
∴84×11=924。
第二節(jié):十一至十九的妙方法
導引:12 X14=168
通用口訣:頭乘頭,尾相加,尾乘尾(1. 1X1=1)(2.2+4=6)(3.2X4=8)=168
注明:該進位的進位,也適用十幾的平方(例:12X12=144)
第三節(jié):首加1的好方法
導引:23X27=621
通用口訣:(頭加1后,頭乘頭)尾乘尾)(1.(2+1)X2=6)2.(3X7=21)=621
注明:夠進位的進位。被乘數(shù)是相同數(shù),乘數(shù)互補,互補數(shù)加1
例:21X29= (2+1)X2=6 中間0 尾數(shù)1X9=9)=609
計算逢5 的平方數(shù)的好方法:(被乘數(shù)加1再乘以乘數(shù),尾乘尾)
第四節(jié):首加1 的好方法: (被乘數(shù)互補,乘數(shù)相同)
導引:37X44=1628(1.4X4=16 2. 7X4=28 3.連起來便是1628)
通用口訣:(頭 加1后,頭乘頭,尾成尾)
注明:頭乘頭為前積,尾乘尾為后積,該進位進位。
如果被乘數(shù)相同,乘數(shù)互補,則乘數(shù)頭加1 ,尾相乘不夠十位,加零頂位。
第五節(jié):幾十一乘幾十一的快方法
導引:21X41=861(2X4=8 2+4=6 1X1=1 連起來就是861)
通用口訣:頭乘頭,頭相加,尾乘尾
注明:夠進位的進位
兩位數(shù)相乘,在十位數(shù)相同、個位數(shù)相加等于10的情況下,如62×68=4216-
-計算方法:6×(6+1)=42(前積),2×8=16(后積)。-
-一分鐘速算口訣中對特殊題的定理是:任意兩位數(shù)乘以任意兩位數(shù),只要魏式系數(shù)為“0”所得的積,一定是兩項數(shù)中的尾乘尾所得的積為后積,頭乘頭(其中一項頭加1的和)的積為前積,兩積相鄰所得的積。-
-如(1)33×46=1518(個位數(shù)相加小于10,所以十位數(shù)小的數(shù)字3不變,十位大的數(shù)4必須加1)-
-計算方法:3×(4+1)=15(前積),3×6=18(后積)-
-兩積組成1518-
-如(2)84×43=3612(個位數(shù)相加小于10,十位數(shù)小的數(shù)4不變 十位大的數(shù)8加1)-
-計算方法:4×(8+1)=36(前積),3×4=12(后積)-
-兩積相鄰組成:3612-
-如(3)48×26=1248-
-計算方法:4×(2+1)=12(前積),6×8=48(后積)-
-兩積組成:1248-
-如(4)245平方=60025-
-計算方法24×(24+1)=600(前積),5×5=25-
-兩積組成:60025-
-
-ab×cd 魏式系數(shù)=(a-c)×d+(b+d-10)×c
-“頭乘頭,尾乘尾,合零為整,補余數(shù)。”-
-1.先求出魏式系數(shù) -
-2.頭乘頭(其中一項加一)為前積 (適應尾相加為10的數(shù))-
-3.尾乘尾為后積。-
-4.兩積相連,在十位數(shù)上加上魏式系數(shù)即可 。 -
-如:76×75,87×84吧,凡是十位數(shù)相同個位數(shù)相加為11的數(shù),它的魏式系數(shù)一定是它的十位數(shù)的數(shù) 。-
-如:76×75魏式系數(shù)就是7,87×84魏式系數(shù)就是8。-
-如:78×63,59×42,它們的系數(shù)一定是十位數(shù)大的數(shù)減去它的個位數(shù)。-
-例如第一題魏式系數(shù)等于7-8=-1,第2題魏式系數(shù)等于5-9=-4,只要十位數(shù)差一,個位數(shù)相加為11的數(shù)一律可以采用以上方法速算。-
-例題1 76×75, 計算方法: (7+1)×7=56 5×6=30 兩積組成5630,然后十位數(shù)上加上7最后的積為5700。 -
-例題2 78×63,計算方法:7×(6+1)=49,3×8=24,兩積組成4924,然后在十位數(shù)上2減去1,最后的積為4914-
常用速算口訣(三則)
(一)十幾與十幾相乘
十幾乘十幾,
方法最容易,
保留十位加個位,
添零再加個位積。
證明:設m、n 為1 至9 的任意整數(shù),則
(10+m)(10+n)
=100+10m+10n+mn
=10〔10+(m+n)〕+mn。
例:17×l6
∵10+ (7+6)=23(第三句),
∴230+7×6=230+42=272(第四句),
∴17×16=272。
(二)十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補(和為10)的兩位數(shù)相乘
十位同,個位補,
兩數(shù)相乘要記?。?nbsp;
十位加一乘十位,
個位之積緊相隨。
證明:設m、n 為1 到9 的任意整數(shù),則
(10m+n)〔10m+(10-n)〕
=100m(m+1)+n(10-n)。
例:34×36
∵(3+1)×3=4×3=12(第三句),
個位之積4×6=24,
∴34×36=1224。 (第四句)
注意:兩個數(shù)之積小于10 時,十位數(shù)字應寫零。
(三)用11 去乘其它任意兩位數(shù)
兩位數(shù)乘十一,
此數(shù)兩邊去,
中間留個空,
用和補進去。
證明:設m、n 為1 至9 的任意整數(shù),則
(10m+n)×(10+1)=100m+10(m+n)+n。
例:36×ll
∵306+90=396,
∴36×11=396。
注意:當兩位數(shù)字之和大于10 時,要進到百位上,那么百位數(shù)數(shù)字就成為m+1,
如:
84×11
∵804+12×10=804+120=924,
∴84×11=924。
兩位數(shù)乘法速算口訣 一般口訣:
首位之積排在前,首尾交叉積之和十倍再加尾數(shù)積。如37x64=1828+(3x4+7x6)x10=2368
1、同尾互補,首位乘以大一數(shù),尾數(shù)之積后面接。 如:23×27=621
2、尾同首互補,首位之積加上尾,尾數(shù)之積后面接。87×27=2349
3、首位差一尾數(shù)互補者,大數(shù)首尾平方減。如76×64=4864
4、末位皆一者,首位之積接著首位之和,尾數(shù)之積后面接。如:51×21=1071
------ “幾十一乘幾十一”速算 特殊:用于個位是1的平方,如21×21=441
5、首同尾不同,一數(shù)加上另數(shù)尾,整首倍后加上尾數(shù)積。23×25=575
速算1),首位皆一者,一數(shù)加上另數(shù)尾,十倍加上尾數(shù)積。17×19=323---- “十幾乘十幾”速算 包括了十位是1(即11~19)的平方,如11×11=121---- “十幾平方”
速算 2)首位皆二者,一數(shù)加上另數(shù)尾,廿倍加上尾數(shù)積。25×29=725----“二十幾乘二十幾”
速算 3)首位皆五者,廿五接著尾數(shù)積,百位再加尾數(shù)之和半。57×57=3249----“五十幾乘五十幾”
速算 4)首位皆九者,八十加上兩尾數(shù),尾補之積后面接。95×99=9405----“九十幾乘九十幾”
速算 5)首位是四平方者,十五加上尾,尾補平方后面接。46×46=2116---- “四十幾平方”
速算 6)首位是五平方者,廿五加上尾,尾數(shù)平方后面接。51×51=2601---- “五十幾平方”
6、互補乘以疊數(shù)者,首位加一乘以疊數(shù)頭,尾數(shù)之積后面接。37×99=3663 7、末位是五平方者,首位加一乘以首,尾數(shù)之積后面接。如65×65= 4225---- “幾十五平方”
8、某數(shù)乘以一一者,首尾拉開,首尾之和中間站。如34×11=3 3+4 4=374 9、某數(shù)乘以十五者,原數(shù)加上原數(shù)的一半后后面加個0(原數(shù)是偶數(shù))或小數(shù)點往后移一位。如151×15=2265,246×15 =3690
10、一百零幾乘一百零幾,一數(shù)加上另數(shù)尾,尾數(shù)之積后面接。如108×107=11556
11、倆數(shù)差2者,倆數(shù)平均數(shù)平方再減去一。如49x51=50x50-1=2499
12、幾位數(shù)乘以幾位九者,這個數(shù)減去(位數(shù)前幾位的數(shù)+1)的差作積的前幾位,末位與個位補足幾個0。
1)一個數(shù)乘9:這個數(shù)減去(個位前幾位的數(shù)+1)的差作積的前幾位,末位與個位補足10 4×9=36 想:個位前是0, 4-(0+1)=3,末位是10-4=6 合起來是36 783×9=7047 想 個位前是78,783-(78+1)=704,末位是10-3=7 合起來是7047
2)一個數(shù)乘99:這個數(shù)減去(十位前幾位的數(shù)+1),末兩位湊100: 14×99= 14-(0+1)=13, 100-14=86 1386 158×99= 158-(1+1)=156, 100-58=42 15642 7357×99= 7357-(73+1)=7283 100-57=43 728343
3)一個數(shù)乘999:可以依照上面的方法進行推理:這個數(shù)減去(百位前幾位的數(shù)+1),末三位湊1000 11234×999= 11234-(11+1)=11222,末三位是1000-234=766,11222766
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