初中幾何定理歸納
三角形三條邊的關(guān)系
定理：三角形兩邊的和大于第三邊
推論：三角形兩邊的差小于第三邊
三角形內(nèi)角和
三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°
推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余
推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和
推論3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角
角的平分線
性質(zhì)定理 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等
幾何語言：
∵OC是∠AOB的角平分線（或者∠AOC＝∠BOC）
PE⊥OA，PF⊥OB
點(diǎn)P在OC上
∴PE＝PF（角平分線性質(zhì)定理）
判定定理 到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上
幾何語言：
∵PE⊥OA，PF⊥OB
PE＝PF
∴點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上（角平分線判定定理）
等腰三角形的性質(zhì)
等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩底角相等
幾何語言：
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C（等邊對等角）
推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
幾何語言：
（1）∵AB＝AC，BD＝DC
∴∠1＝∠2，AD⊥BC（等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊）
（2）∵AB＝AC，∠1＝∠2
∴AD⊥BC，BD＝DC（等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊）
（3）∵AB＝AC，AD⊥BC
∴∠1＝∠2，BD＝DC（等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊）
推論2 等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角等于60°
幾何語言：
∵AB＝AC＝BC
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°（等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°）
等腰三角形的判定
判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等
幾何語言：
∵∠B＝∠C
∴AB＝AC（等角對等邊）
推論1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形
幾何語言：
∵∠A＝∠B＝∠C
∴AB＝AC＝BC（三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形）
推論2 有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
幾何語言：
∵AB＝AC，∠A＝60°（∠B＝60°或者∠C＝60°）
∴AB＝AC＝BC（有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）
推論3 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半
幾何語言：
∵∠C＝90°，∠B＝30°
∴BC＝ AB或者AB＝2BC（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）
線段的垂直平分線
定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
幾何語言：
∵M(jìn)N⊥AB于C，AB＝BC，（MN垂直平分AB）
點(diǎn)P為MN上任一點(diǎn)
∴PA＝PB（線段垂直平分線性質(zhì)）
逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上
幾何語言：
∵PA＝PB
∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上（線段垂直平分線判定）
軸對稱和軸對稱圖形
定理1 關(guān)于某條之間對稱的兩個(gè)圖形是全等形
定理2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線
定理3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，若它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上
逆定理 若兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱
勾股定理
勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方，即
a2 ＋ b2 ＝ c2
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形
四邊形
定理 任意四邊形的內(nèi)角和等于360°
多邊形內(nèi)角和
定理 多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于（n － 2）·180°
推論 任意多邊形的外角和等于360°
平行四邊形及其性質(zhì)
性質(zhì)定理1 平行四邊形的對角相等
性質(zhì)定理2 平行四邊形的對邊相等
推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
性質(zhì)定理3 平行四邊形的對角線互相平分
幾何語言：
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD‖BC，AB‖CD（平行四邊形的對角相等）
∠A＝∠C，∠B＝∠D（平行四邊形的對邊相等）
AO＝CO，BO＝DO（平行四邊形的對角線互相平分）
平行四邊形的判定
判定定理1 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵AD‖BC，AB‖CD
∴四邊形ABCD是平行四邊形
（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）
判定定理2 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D
∴四邊形ABCD是平行四邊形
（兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）
判定定理3 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵AD＝BC，AB＝CD
∴四邊形ABCD是平行四邊形
（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）
判定定理4 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵AO＝CO，BO＝DO
∴四邊形ABCD是平行四邊形
（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）
判定定理5 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵AD‖BC，AD＝BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形
（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
矩形
性質(zhì)定理1 矩形的四個(gè)角都是直角
性質(zhì)定理2 矩形的對角線相等
幾何語言：
∵四邊形ABCD是矩形
∴AC＝BD（矩形的對角線相等）
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°（矩形的四個(gè)角都是直角）
推論 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
幾何語言：
∵△ABC為直角三角形，AO＝OC
∴BO＝ AC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）
判定定理1 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
幾何語言：
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°
∴四邊形ABCD是矩形（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）
判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形
幾何語言：
∵AC＝BD
∴四邊形ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）
菱形
性質(zhì)定理1 菱形的四條邊都相等
性質(zhì)定理2 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角
幾何語言：
∵四邊形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD（菱形的四條邊都相等）
AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC
（菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角）
判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
幾何語言：
∵AB＝BC＝CD＝AD
∴四邊形ABCD是菱形（四邊都相等的四邊形是菱形）
判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
幾何語言：
∵AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO
∴四邊形ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）
正方形
性質(zhì)定理1 正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等
性質(zhì)定理2 正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
中心對稱和中心對稱圖形
定理1 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等形
定理2 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分
逆定理 如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱
梯形
等腰梯形性質(zhì)定理 等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等
幾何語言：
∵四邊形ABCD是等腰梯形
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D（等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等）
等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形
幾何語言：
∵∠A＝∠B，∠C＝∠D
∴四邊形ABCD是等腰梯形（在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形）
三角形、梯形中位線
三角形中位線定理 三角形的中位線平行與第三邊，并且等于它的一半
幾何語言：
∵EF是三角形的中位線
∴EF＝ AB（三角形中位線定理）
梯形中位線定理 梯形的中位線平行與兩底，并且等于兩底和的一半
幾何語言：
∵EF是梯形的中位線
∴EF＝ (AB＋CD)（梯形中位線定理）
比例線段
1、 比例的基本性質(zhì)
如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc
2、 合比性質(zhì)
3、 等比性質(zhì)
平行線分線段成比例定理
平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例
幾何語言：
∵l‖p‖a
（三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例）
推論 平行與三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例
定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行與三角形的第三邊
垂直于弦的直徑
垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧
幾何語言：
∵OC⊥AB，OC過圓心
（垂徑定理）
推論1
（1） 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧
幾何語言：
∵OC⊥AB，AC＝BC，AB不是直徑
（平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>（2） 弦的垂直平分線過圓心，并且平分弦所對的兩條弧
幾何語言：
∵AC＝BC，OC過圓心
（弦的垂直平分線過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?br>（3） 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧
幾何語言：
（平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?br>推論2 圓的兩條平分弦所夾的弧相等
幾何語言：∵AB‖CD
圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系
定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距也相等
推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等
圓周角
定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直角
推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形
圓的內(nèi)接四邊形
定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角
幾何語言：
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形
∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠ADB＝180°，∠B＝∠ADE
切線的判定和性質(zhì)
切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的
直線是圓的切線
幾何語言：∵l ⊥OA，點(diǎn)A在⊙O上
∴直線l是⊙O的切線（切線判定定理）
切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)半徑
幾何語言：∵OA是⊙O的半徑，直線l切⊙O于點(diǎn)A
∴l(xiāng) ⊥OA（切線性質(zhì)定理）
推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直徑必經(jīng)過切點(diǎn)
推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心
切線長定理
定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角
幾何語言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C兩點(diǎn)
∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切線長定理）
弦切角
弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角
幾何語言：∵∠BCN所夾的是 ，∠A所對的是
∴∠BCN=∠A
推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等
幾何語言：∵∠BCN所夾的是 ，∠ACM所對的是 ， =
∴∠BCN=∠ACM
和圓有關(guān)的比例線段
相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被焦點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等
幾何語言：∵弦AB、CD交于點(diǎn)P
∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑
所成的兩條線段的比例中項(xiàng)
幾何語言：∵AB是直徑，CD⊥AB于點(diǎn)P
∴PC2=PA·PB（相交弦定理推論）
切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓焦點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)
幾何語言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線
∴PT2=PA·PB（切割線定理）
推論 從圓外一點(diǎn)因圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的焦點(diǎn)的兩條線段長的積相等
幾何語言：∵PBA、PDC是⊙O的割線
∴PT2=PA·PB（切割線定理推論）
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