12. 粒子和場
世界的本源是什么？是物質(zhì)和運(yùn)動。那么，物質(zhì)和運(yùn)動的本源又是什么？如果將“本源”理解為構(gòu)成世界的最基本成分的話，根據(jù)目前大多數(shù)物理學(xué)家所認(rèn)可的“標(biāo)準(zhǔn)模型”，這些基本成分歸結(jié)為62種基本粒子（暫且不作具體討論）和4種相互作用。實(shí)際上，相互作用在“基本粒子”表中也有它們所對應(yīng)的“作用傳播子”，所以，不妨就可以將世界當(dāng)作是這62種基本粒子組成的。然而，雖然仍然把它們稱作基本“粒子”，但它們已經(jīng)遠(yuǎn)不是人們腦袋中那種經(jīng)典的、一個(gè)一個(gè)小球模樣的“粒子”形象了。上面這句話其實(shí)不完全正確，對光量子，或電磁場而言，粒子說和波動說一直都在交叉地爭奪天下。原來那種“小球粒子”，主要是針對電子、原子、質(zhì)子、中子一類的“物質(zhì)粒子”而言的。
是1900年誕生的量子力學(xué)，摧毀了經(jīng)典粒子和經(jīng)典場的形象。所有問題都是這個(gè)奇怪的“量子”帶來的，量子力學(xué)賦予了光波以粒子的屬性，又粉碎了實(shí)物粒子的經(jīng)典圖像。按照經(jīng)典的說法，實(shí)物由粒子構(gòu)成，光和引力，是場。但量子力學(xué)的誕生模糊了兩者的界限。實(shí)物粒子表現(xiàn)出波動性，電磁場卻表現(xiàn)出了粒子性。上節(jié)介紹的路徑積分方法十分確切地將這兩者統(tǒng)一在同一個(gè)思想框架中：量子力學(xué)可以被看作是經(jīng)典運(yùn)動在微觀尺度下的修正，這些修正來源于不同的路徑，在相位上相對于經(jīng)典路徑成指數(shù)衰減，它們使得經(jīng)典的軌道和環(huán)境都變得“模糊”起來。
既然粒子和場之間是模模糊糊的，并沒有明確的界限，為何不干脆將它們都用一種單一的“形象”表達(dá)出來呢？回答應(yīng)該是肯定的，這也算是統(tǒng)一的第一步吧。然后，下一個(gè)問題便是：這個(gè)形象應(yīng)該是粒子為本，還是場為本呢？也許你可以說，兩者都是“本”，一切都既是粒子又是波。既是波又是粒子。但大多數(shù)的人都認(rèn)為只應(yīng)該有一個(gè)本體，到底哪一個(gè)才是更基本的？并且，當(dāng)物理學(xué)界構(gòu)造理論和數(shù)學(xué)模型時(shí)，也需要決定首先構(gòu)造哪一個(gè)呀。最后，物理學(xué)家們選擇了“以場為本”，并將此理論取名為“量子場論”。顯而易見，量子場論還應(yīng)該與狹義相對論相容【1，2】。
歷史地看，量子場論的提出與之前介紹過的狄拉克方程有關(guān)。狄拉克的電子方程本來是用來解釋單個(gè)電子的相對論運(yùn)動狀態(tài)的，但是，它卻引導(dǎo)出了無限多的負(fù)能量的能級，為此，狄拉克不得不假設(shè)了一個(gè)狄拉克“?！钡母拍睿J(rèn)為真空中的負(fù)能級上已經(jīng)充滿了電子，偶然出現(xiàn)一個(gè)“洞”，便意味著出現(xiàn)了一個(gè)正電子，雖然這個(gè)理論成功地預(yù)言了正電子的存在，但并不說明這個(gè)理論就是完全正確的。狄拉克的本意是像薛定諤方程那樣，得到單電子的波函數(shù)，最后卻想不到拉扯出了無窮多個(gè)電子。無窮多個(gè)電子存在的狀態(tài)，還能被稱為“真空”嗎？真空中無窮多個(gè)能級被占據(jù)，也導(dǎo)致了無限大又不可測量的能量密度。此外，這種思維方式是基于電子這種費(fèi)米子所遵循的泡利不相容原理。如果試圖以類似的方式來建立玻色子的方程就不適用了，因?yàn)椴Ｉ硬⒉皇芘堇幌嗳菰淼氖`。既然狄拉克海的解釋涉及到了無窮多個(gè)電子，還不如一開始就考慮多電子的運(yùn)動而不要只考慮單電子的運(yùn)動。正電子也可以從一開始就冠冕堂皇地進(jìn)入理論中，而沒有必要作為真空的一個(gè)空洞而出現(xiàn)。所以，狄拉克海的假設(shè)雖然不完善，這種“真空不空”的思想?yún)s被大家接受并移植到量子場論中。對量子場論還有另外一個(gè)要求：要能夠處理粒子數(shù)變化的情形。量子力學(xué)提供的是單電子圖景，電子數(shù)是固定的，永遠(yuǎn)是那一個(gè)電子。而描述光子運(yùn)動的麥克斯韋電磁理論，雖然方程描述的電磁場是彌漫于空間中的“場”，但是，也無法處理光子數(shù)改變的情況，比如說，應(yīng)該如何描述原子中因?yàn)殡娮訝顟B(tài)的躍遷而輻射光子的過程？如果系統(tǒng)中本來沒有任何經(jīng)典電磁場存在，為什么突然就冒出了幾個(gè)光子呢？這種現(xiàn)象是經(jīng)典電磁場無法解釋的。
按照量子場論的觀點(diǎn)，每一種基本粒子，都應(yīng)該有一個(gè)與它對應(yīng)的場，這些場互相滲透、作用、交匯在一起，就像大氣那樣，充滿了整個(gè)空間。真空被看作是各種量子場的基態(tài)，粒子則被看成是場的瞬息激發(fā)態(tài)，例如，電子和正電子是電子場的激發(fā)態(tài)，夸克是夸克場的激發(fā)態(tài)……。不同的激發(fā)態(tài)，有不同的粒子數(shù)和不同的粒子狀態(tài)。不同場之間的相互作用，引起各種粒子的碰撞、生成、湮滅等等過程，用作用在這些量子態(tài)上的算符（包括產(chǎn)生、湮滅、粒子數(shù)算符等）來描述。上世紀(jì)20年代末，狄拉克、約旦和維格納等人，為量子場論建立了一套稱之為“正則量子化”的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)這個(gè)模型，麥克斯韋的電磁場，以及從薛定諤方程、狄拉克方程等解出的波函數(shù)，都可以被量子化。人們將這種方法稱為“二次量子化”，意思是有別于量子力學(xué)中求解波函數(shù)的量子化過程。
實(shí)際上，“二次量子化”只是一種因?yàn)闅v史過程而形成的說法。從費(fèi)曼路徑積分的觀點(diǎn)，可以說不存在什么“一次”“二次”量子化的問題，因?yàn)槁窂椒e分的思想對兩者是一樣的，只是討論的對象不同而已。量子力學(xué)中研究的是單粒子的時(shí)空運(yùn)動：一個(gè)粒子從時(shí)空中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)另一個(gè)點(diǎn)的總概率幅，等于所有可能路徑的概率幅之和。在量子場論中，研究的是系統(tǒng)量子態(tài)的演化：系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)過渡到另一個(gè)狀態(tài)的總概率幅，也是等于所有可能演化路徑的概率幅之和。兩種情形下的路徑積分，用的是形式相類似的同一公式：
圖12-1：量子場論中的路徑積分
路徑積分應(yīng)用到量子力學(xué)和量子場論的區(qū)別只是在于積分的空間不同，以及拉格朗日量表達(dá)式的不同。量子場論路徑積分表達(dá)式（12-1）中包含兩個(gè)積分：一是對所有路徑貢獻(xiàn)的概率幅求和，對各種不同系統(tǒng)而言，在它可能歷經(jīng)的所有路徑構(gòu)成的空間中進(jìn)行。出現(xiàn)在指數(shù)函數(shù)中的另一個(gè)積分，是對某個(gè)給定的路徑，從拉格朗日函數(shù)密度計(jì)算作用量時(shí)的積分，在場分布的真實(shí)空間中進(jìn)行。因?yàn)榱孔訄稣撌橇孔恿W(xué)和相對論結(jié)合而成，第二個(gè)積分空間的維數(shù)通常是（n=1+m）。當(dāng)m=3時(shí)，這是包括時(shí)間和3維空間的閔可夫斯基空間（不考慮引力的話）。當(dāng)m=0的時(shí)候，計(jì)算作用量的積分空間只有一維時(shí)間軸（t），公式（12-1）便簡化回歸到單粒子量子力學(xué)的情況。另外，空間維數(shù)m也可以擴(kuò)展到大于3的情形，等于10或者別的什么正整數(shù)值都行，其數(shù)學(xué)表達(dá)式都是類似的，只需要根據(jù)具體情況將物理意義加以推廣到高維而已。
路徑積分表達(dá)式（12-1）是最小作用量原理的量子場論版，我們在上一節(jié)中曾經(jīng)指出：對應(yīng)于作用量最小的那條軌道是經(jīng)典粒子的軌道，如果令S的變分為0，可以得到歐拉-拉格朗日方程，再進(jìn)一步可以導(dǎo)出經(jīng)典粒子的運(yùn)動規(guī)律，即牛頓定律。類似地，從（12-1）式出發(fā)，設(shè)定變分為0，也能對應(yīng)于一條系統(tǒng)演化的經(jīng)典軌道。相應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程被稱為Schwinger–Dyson方程。換言之，從量子場論的觀點(diǎn)看，Schwinger–Dyson方程是歐拉-拉格朗日方程的量子場論版，是該系統(tǒng)的某種經(jīng)典場描述。例如，對標(biāo)量場而言，在一定的條件下，Schwinger–Dyson方程成為克萊因-高登方程。換句話說，從量子場論的觀點(diǎn)看，量子力學(xué)中描述單粒子運(yùn)動的波函數(shù)是一種經(jīng)典場。
無論是用正則方法，還是用路徑積分，量子場論中的具體計(jì)算都不容易，對復(fù)雜的系統(tǒng)更是困難重重。比如說，所謂的“路徑空間”實(shí)際上是一個(gè)無窮維的空間，積分是無窮維重積分，一般無法精確計(jì)算。
不過，觀察一下（12-1）中的兩個(gè)積分可知，路徑積分的計(jì)算結(jié)果依賴于拉格朗日函數(shù)的具體形式。我們在本系列第4節(jié)中介紹了經(jīng)典粒子及場的拉氏函數(shù)，大致都是如圖12-2中所示的某種“動能減勢能”的形式。
圖12-2：拉格朗日函數(shù)
動能部分稍微好辦一些，因?yàn)樗鼈兪菆觯ɑ蛘邎龅奈⒎郑┑亩雾?xiàng)。如果沒有后面勢能lV(f)一項(xiàng)的話，經(jīng)過一系列繁復(fù)的代數(shù)運(yùn)算之后，最終可以將路徑積分的結(jié)果表示成圖中所示的高斯積分的形式。勢能項(xiàng)描述的是相互作用，當(dāng)相互作用比較小而被忽略不予考慮的情況下，得到的便是“自由場”的結(jié)果。
對于復(fù)雜而任意變化的相互作用，物理學(xué)家也想出了一些可行的辦法。因?yàn)閯菽懿糠?/span> lV(f)的大小取決于相互作用常數(shù)（假設(shè)為l），當(dāng)l比較小的時(shí)候，可以將拉氏函數(shù)中包括lV(f)的指數(shù)函數(shù)用l的泰勒級數(shù)展開，展開式通常被稱為戴森級數(shù)，它描述了相互作用對自由場的各級修正。
費(fèi)曼提出了一種形象化的方法來表示戴森級數(shù)，叫做費(fèi)曼圖。費(fèi)曼給費(fèi)曼圖制定了一套簡單形象的規(guī)則，可以很方便地計(jì)算粒子因相互作用產(chǎn)生的各種反應(yīng)的散射截面（即發(fā)生反應(yīng)的可能性），欲知詳情，請見參考資料中所列的任何一本量子場論參考書【1，2，3】。
費(fèi)曼圖的兩個(gè)簡單例子如圖12-3所示，描述了發(fā)生在2維時(shí)空（x, t）中的相互作用。
圖12-3：費(fèi)曼圖
圖12-3a：時(shí)空點(diǎn)1的電子，和時(shí)空點(diǎn)2的正電子，在時(shí)空點(diǎn)3相遇并湮滅，產(chǎn)生一個(gè)虛光子。虛光子運(yùn)動到時(shí)空點(diǎn)4時(shí)，生成夸克和反夸克，反夸克在時(shí)空點(diǎn)5發(fā)射一個(gè)膠子。最后，夸克運(yùn)動到6，反夸克到7。
圖12-3b：電子從時(shí)空點(diǎn)1運(yùn)動到2的費(fèi)曼圖，最左邊的圖是沒有產(chǎn)生虛光子的直接路徑；第二個(gè)圖中產(chǎn)生一個(gè)光子，后來又吸收了這個(gè)光子；第三個(gè)圖包括了兩次產(chǎn)生和吸收光子的過程；第四個(gè)圖是更高階的修正。
量子場論“以場為本”，認(rèn)為粒子只是場的“激發(fā)態(tài)”，猶如水波中的漣漪。但是，對如此而定義的“場”的本質(zhì)，應(yīng)該如何理解？它們到底是某種物理實(shí)在，還是僅僅是為了“激發(fā)”出可觀測“粒子”而使用的一種數(shù)學(xué)方法？這仍然是物理學(xué)界難以回答、頗存爭議的問題。不過，類比電磁場的例子，筆者認(rèn)為，“場”和“粒子”兩者都應(yīng)該是物理實(shí)在，這種觀點(diǎn)似乎更具有說服力。對此，你的答案是什么呢？
參考文獻(xiàn)：
【1】M. E. Peskin and D. V. Schroeder，An Introduction to Quantum Field Theory ，RedwoodCity: Addison-Wesley，1995
【2】Stephen Weinberg，The QuantumTheory of Fields，Cambridge University Press，1996
【3】A. Zee，Quantum Field Theory in a Nutshell，PrincetonUniversity Press，2003，好像有中譯本。
來源：科學(xué)網(wǎng)張?zhí)烊夭┛?/span>
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