上講回顧：
上一講我們從烏鴉數(shù)數(shù)的故事開篇，引入古希臘文明。我們著重介紹了希臘從實(shí)踐到理性的第一人、哲學(xué)之父、開數(shù)學(xué)論證先河的泰勒斯。然后我們介紹了用形表示數(shù)、解釋運(yùn)算規(guī)律的畢達(dá)哥拉斯。今天我們從畢達(dá)哥拉斯說起。我們先來回憶一個(gè)熟悉的定理：
北京科技館的這個(gè)裝置很有趣，你知道它是什么意思嗎？
對的，就是直角三角形兩直角邊的平方和（兩個(gè)小正方形的面積和）等于斜邊的平方（大正方形的面積）。這就是著名的勾股定理，在國外稱為畢達(dá)哥拉斯定理。今天我們主要圍繞這一內(nèi)容展開：
（一）勾股定理教學(xué)問題
這張郵票上的圖片大家是否熟悉？在我讀初中的時(shí)候老師會用一個(gè)教具演示給我們看：如何將上面邊長為3的小正方形和邊長為4的小正方形的面積拼成下面一個(gè)邊長為5的小正方形，由此引出直角三角形兩直角邊的邊長和等于斜邊的平方。
上個(gè)世紀(jì)90年代開始提倡讓學(xué)生動(dòng)手，學(xué)生小組拼拼圖或是畫畫、量量、算算，驗(yàn)證直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。通過動(dòng)手拼圖，學(xué)生的興趣自然提升了，可是否真的促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升呢？似乎還未必如此，顯然兩個(gè)小正方形的小格子剛好能拼成一個(gè)大正方形，隨便你怎么拼都可以成功，所以在這里的動(dòng)手“體驗(yàn)”的成分遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于探究的成分。另一方面“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的猜想是老師提出的，學(xué)生做的“畫畫、量量、算算”的過程其實(shí)都是學(xué)生在老師的指令下完成的，學(xué)生只是被動(dòng)地動(dòng)手，而缺少主動(dòng)地由情境提煉數(shù)學(xué)模型、歸納得出數(shù)學(xué)猜想、設(shè)計(jì)解決思路、驗(yàn)證并反思的過程，而且“畫畫、量量、算算”不僅有測量誤差，如果不是整數(shù)手算還比較繁瑣，由于一般這類操作都是驗(yàn)證型的，不存在多少懸念，學(xué)生興趣并不高。
本世紀(jì)初有了幾何畫板，我?guī)W(xué)生進(jìn)入電腦房，通過畫直角三角形，用畫板的“測量”功能測量三邊并計(jì)算其平方，拖動(dòng)三角形的頂點(diǎn)觀察數(shù)字的變化規(guī)律，對比任意非直角三角形，得出直角三角形的三邊關(guān)系。這樣似乎給了學(xué)生更多操作的主動(dòng)權(quán)，學(xué)生的操作也突破了特殊情況，可以得到更一般的結(jié)論猜想。可學(xué)生的操作依然是藏在老師的預(yù)設(shè)之后，即為什么直角三角形的三邊是平方之間的關(guān)系而不是其他呢？
是否存在那樣一種情境，可以讓學(xué)生自己生成一種直角三角形三邊關(guān)系的猜想？當(dāng)我們回溯到人類數(shù)學(xué)起步之初，那時(shí)的人們是如何發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的呢？這最初的情境是否有助于學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這一關(guān)系呢？
（二）由觀察地磚得到的結(jié)論
數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。畢達(dá)哥拉斯大約是“數(shù)形結(jié)合”最早的集大成者。上講提到的三角形數(shù)、正方形數(shù)等是他“以形來解釋數(shù)”的典范，此外他還精通用“數(shù)”來解釋“形”乃至解釋“萬物”。
據(jù)傳說有一次畢達(dá)哥拉斯應(yīng)邀參加餐會，豪華宮殿般的餐廳鋪的是美麗的正方形大理石地磚，這位善于觀察和理解的數(shù)學(xué)家凝視腳下這些美麗的、排列規(guī)則的方形瓷磚，想到它們“數(shù)”之間的關(guān)系，于是選一塊瓷磚，以它的對角線為邊畫一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形面積恰好等于兩塊磁磚的面積和（如上圖）。
他很好奇，于是換一個(gè)形狀，再以兩塊瓷磚拼成的矩形對角線作另一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形面積等于5塊瓷磚的面積，也就是以兩直角邊為邊作正方形面積之和。至此他大膽的假設(shè)：任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和。這就是后來著稱于世的畢達(dá)哥拉斯定理。
事實(shí)上畢達(dá)哥拉斯定理也并非畢達(dá)哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)的，而西方人稱其為畢達(dá)哥拉斯定理的重要原因在于畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派用演繹法證明并發(fā)展了這個(gè)定理。
據(jù)說古埃及的農(nóng)業(yè)賴尼羅河而生，但尼羅河學(xué)潮又會淹沒土地，于是需要有精確的土地測量技術(shù)以保障稅收的公平。于是測量術(shù)非常發(fā)達(dá)，埃及人最早用繩子圍成矩形的面積，并得出結(jié)論以此矩形對角線為邊的正方形面積等于以矩形兩直角邊為邊的正方面積之和。這個(gè)與地磚的問題應(yīng)該是異曲同工之妙吧。
這個(gè)定理是世界上證明方法最多的定理，全世界已發(fā)現(xiàn)的證明有500種以上。1940年盧米斯的《畢達(dá)哥拉斯定理》第二版收錄367種方法。
上圖應(yīng)該是老師們比較熟悉的一幅圖，我讀初中時(shí)學(xué)的應(yīng)該是這個(gè)經(jīng)典的希臘證明，被人們親切地稱為“風(fēng)車”，它用了經(jīng)典的希臘演繹推理。
借助現(xiàn)代的動(dòng)畫技術(shù)，原本較為繁瑣的幾何證明過程可以變得直觀而神奇。也就是為個(gè)圖，成為勾股定理的代表，很多紀(jì)念勾股定理的郵票上都用了這個(gè)風(fēng)車的模型。這個(gè)圖在后面的推廣中還有非常重要的意義，這里先不展開。
1876年4月，美國的加菲爾德在波士頓周刊《新英格蘭教育雜志》上發(fā)表了這個(gè)利用梯形面積公式證明這一定理的別開生面的證法：梯形面積=(a+b)(a+b)/2,同時(shí)它又是三個(gè)三角形的面積和=ab+c2/2,于是可得a2+b2=c2，于是得證。1881年他當(dāng)選為美國第二十屆總統(tǒng)，于是他的證明成為人們津津樂道的一段軼事。這個(gè)圖，是學(xué)生非常熟悉的經(jīng)典的圖形“一線三等角”，學(xué)生一定會對這個(gè)圖非常親切。
由于本文的目的不是研究定理的證明，這里只點(diǎn)到為止。只是想說明從畢達(dá)哥拉斯開始到現(xiàn)在，有多少不同職業(yè)的人衷情于此，可見這個(gè)定理的魅力和影響力。
畢達(dá)哥拉斯定理的發(fā)現(xiàn)還引起數(shù)學(xué)史上一次危機(jī)，后文再講。我們來看其他相關(guān)的結(jié)論。
與畢達(dá)哥拉斯定理相關(guān)的還有
“畢達(dá)哥拉斯數(shù)”：滿足方程a2+b2=c2的正整數(shù)解（勾股數(shù)組）。《幾何原本》中給出了找到所有畢達(dá)哥拉斯數(shù)的方法：設(shè)c = (p2+ q2)r，a = (p2- q2)r，b = 2pqr，只要令p, q, r取遍所有正整數(shù)，即可得到所有的畢達(dá)哥拉斯數(shù)。
有趣的是，當(dāng)n > 2時(shí)，an + bn = cn 沒有非平凡的整數(shù)解（平凡指a，b中有一個(gè)為0），這就是著名的費(fèi)馬大定理。這個(gè)定理在17世紀(jì)由費(fèi)馬提出并聲稱找到一個(gè)非常簡潔的證明，但沒有給出。這個(gè)看似非常簡單的定理，它激起了很多數(shù)學(xué)家的興趣，在證明過程中很多新的理論被提出，極大推動(dòng)了數(shù)論的發(fā)展。但這個(gè)猜想一直到358年之后的1995年才被劍橋大學(xué)的英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯證明，所用到的數(shù)論知識已經(jīng)遠(yuǎn)超出了費(fèi)馬時(shí)代。
“畢達(dá)哥拉斯樹”：是畢達(dá)哥拉斯據(jù)畢氏定理畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的圖形。因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達(dá)哥拉斯樹。因?yàn)?/span>直角三角形兩個(gè)直角邊平方的和等于斜邊的平方所以圖中每一組相鄰的三個(gè)正方形中，兩個(gè)小正方形面積的和等于大正方形的面積。以最大的一個(gè)正方形為第一層，上面兩個(gè)為第二層，再上面的四個(gè)為第三層，依次類推，而同一層上的所有小正方形面積之和等于最大正方形的面積。根據(jù)所做的三角形的形狀不同，重復(fù)做這種三角形的畢達(dá)哥拉斯樹的“枝干”茂密程度就不同。
在幾何畫板軟件的演繹下，動(dòng)態(tài)的畢達(dá)哥拉斯樹更是顯示出勃勃生機(jī)。這種由幾何圖形迭代變換生成各種圖形，成為一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支：分形。
其他推廣：這一定理的推廣也是異常的豐富。
由直角三角形一般化得到余弦定理：對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C ，則：
a2 = b2 + c2 - 2bccosA
b2 = a2 + c2 - 2accosB
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
從平面到立體可以得到立體勾股定理：如下圖，已知長方體柜子的長、寬、高，求柜子里可以放得下的物品的最大長度?；蛘呃忮F中的重要數(shù)量關(guān)系，都與勾股定理相關(guān)。
從“風(fēng)車”證明的圖形中，把向外的正方形改成任意相似的相似的圖形都滿足以直角邊向外作的兩個(gè)小圖形的面積和等于以斜邊向外作的圖形的面積。
再近一步，以直角三角形三邊向外作半圓，兩個(gè)紅色半圓的面積和等于一個(gè)綠色半圓的面積。下面來變一個(gè)“魔術(shù)”，將綠色的半圓向上翻折，你能得出怎樣的結(jié)論？
因?yàn)榫G色半圓的面積等于紅色半圓的面積，把兩部分重疊的部分減去，得到兩個(gè)紅色“月牙”的面積和等于原圖中直角三角形的面積。得到古希臘著名的月牙定理，為什么說這個(gè)月牙定理非常重要呢？古希臘有一種數(shù)學(xué)游戲叫尺規(guī)作圖——用無刻度的尺和圓規(guī)作各種幾何圖形，尺規(guī)作圖有三大難題，而“化圓為方”是其中之一，即求一個(gè)和已知圓的面積相等的正方形。把曲線圖形的面積轉(zhuǎn)化為直線圖形的面積，這確實(shí)讓人們無從下手，而月牙定理讓古希臘數(shù)學(xué)家們對“畫圓為方”的問題的解決看到了希望。
無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)：地磚的問題不只是給畢達(dá)哥拉斯學(xué)派帶來非凡的輝煌，事實(shí)上也給畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以沉重的打擊。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派信奉“所有的數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)比的形式”，然而畢達(dá)哥拉斯的一個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：以1為直角邊的直角三角形，斜邊無法表示成兩個(gè)整數(shù)比的形式，這一事實(shí)無疑動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的根基，成為數(shù)學(xué)史上第一個(gè)撼動(dòng)其基礎(chǔ)的難題，形成第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。數(shù)學(xué)史上目前公認(rèn)的數(shù)學(xué)危機(jī)有三次，每一次“危機(jī)”其實(shí)從長遠(yuǎn)上都起到極大的推動(dòng)作用，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)向與發(fā)展。然而從危機(jī)當(dāng)時(shí)來講，希臘人選擇了回避危機(jī)問題的路，從而限制了希臘幾何學(xué)的代數(shù)化之路。
關(guān)于無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)有很多傳說，韓國作家以此為背景寫了一部小說非常熱銷，大家有興趣不妨一讀，不過提醒大家這本只是小說啊！
讓我們再來回顧一下畢氏學(xué)派的發(fā)現(xiàn)之旅：從鋪地磚的問題，不只發(fā)現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯定理、畢達(dá)哥拉斯數(shù)、畢達(dá)哥拉斯樹，甚至發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。他還發(fā)現(xiàn)了可密鋪的各種圖形的可能，我們無法考證其他的發(fā)現(xiàn)是否由此生長而出，但顯然，從簡單的事實(shí)出發(fā)的深入地、反復(fù)地、持久地思考，是他的團(tuán)隊(duì)不斷突破的法寶。即便是最終給他以痛擊的無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，仍然沒有跳出“地磚”這一簡單事實(shí)。其實(shí)我們的身邊并不是缺少與數(shù)學(xué)相關(guān)的元素，只是我們還缺少這樣地深入而持久的關(guān)注。
畢氏學(xué)派繼承了泰勒斯的演繹傳統(tǒng)，堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)論證必須從“假設(shè)”出發(fā)，開創(chuàng)演繹邏輯思想，對數(shù)學(xué)發(fā)展影響很大。在幾何學(xué)方面，據(jù)說他們證明了“三角形內(nèi)角之和等于兩個(gè)直角”的論斷；能算出你若要用瓷磚鋪地，則只有用正三角、正四角、正六角三種正多角磚才能剛好將地鋪滿；研究了黃金分割；發(fā)現(xiàn)了正五角形和相似多邊形的作法；還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。也有人認(rèn)為歐幾里得的《原本》前兩章的內(nèi)容大部分來自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。但因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯學(xué)派的成果共享和保密原則，我們暫時(shí)還無法確切地考證出究竟哪些成果歸畢達(dá)哥拉斯、哪些成果是其團(tuán)隊(duì)的首創(chuàng)。但其后的智者學(xué)派、柏拉圖學(xué)派對數(shù)學(xué)、對幾何的熱愛與傳播，無疑由畢達(dá)哥拉斯而始。
（三）以思考關(guān)注生活
首先帶給大家一段由數(shù)學(xué)演繹的音樂：http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MjM5MDY4OTY4MA==&mid=2649722305&idx=1&sn=5eb744dfff27dc52e3346a7bf1bdc785&mpshare=1&scene=1&srcid=0415X7KSb3eqIvcm4RZqo7ND#rd
最早把音樂和數(shù)學(xué)聯(lián)系起來的是畢達(dá)哥拉斯。傳說一次畢達(dá)哥拉斯走過鐵匠鋪，打鐵的和諧聲音吸引了他，他站著聽了好久，發(fā)現(xiàn)聲音高低與鐵錘的重量有關(guān)。于是他比較了不同重量鐵錘發(fā)出不同諧音之間的比例關(guān)系，從而測定了各種音調(diào)的數(shù)學(xué)關(guān)系，并從音樂和聲中發(fā)現(xiàn)了宇宙和諧論。
他用實(shí)驗(yàn)證明，如果兩弦長度之比為1:2可以得到8度音，2:3可以得到5度音，3:4可以得到4度音，有沒有一個(gè)比可以把這三個(gè)比聯(lián)系起來呢？那就是6:4:3，此時(shí)用三條弦發(fā)出某一個(gè)樂音以及它的第五度音和第八度音，即和諧音。從這三個(gè)數(shù)中我們可以找到一個(gè)新的平均數(shù)形式：調(diào)和平均數(shù)，因而也有資料說畢達(dá)哥拉斯還發(fā)現(xiàn)了算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)這三大平均數(shù)。畢達(dá)哥拉斯用數(shù)學(xué)研究樂律，而由此所產(chǎn)生的“和諧”的概念也對以后古希臘的哲學(xué)家有重大影響。
畢達(dá)哥拉斯還通過說明數(shù)和物理現(xiàn)象間的聯(lián)系，來進(jìn)一步證明自己的理論。在宇宙論方面，畢達(dá)哥拉斯結(jié)合了米利都學(xué)派以及自己有關(guān)數(shù)的理論。他認(rèn)為存在著許多但有限個(gè)世界。他從球形是最完美幾何體的觀點(diǎn)出發(fā)，認(rèn)為大地是球形的，提出了太陽、月亮和行星作均勻圓運(yùn)動(dòng)的思想。他還認(rèn)為十是最完美的數(shù)，所以天上運(yùn)動(dòng)的發(fā)光體必然有十個(gè)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為由太陽、月亮、星辰的軌道和地球的距離之比，分別等于三種主要的和音，即八音度、五音度、四音度。下圖是網(wǎng)上搜到的畢達(dá)哥拉斯的宇宙模型。
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的徽章是一個(gè)五角星，如下圖：
這個(gè)神秘的五角星也讓人們浮想連篇，因?yàn)槲褰切峭恢本€上的各線段滿足黃金分割，而且其中的每一個(gè)三角形都是黃金三角形，因而人們認(rèn)為把它作為徽章說明畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了與黃金分割相關(guān)的一些結(jié)論。而黃金分割是現(xiàn)代公認(rèn)的美學(xué)理論基礎(chǔ)，是文藝復(fù)興時(shí)期藝術(shù)發(fā)展的基石。對此我們不得不感慨：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派真的是用數(shù)學(xué)在解釋音樂、美術(shù)以及宇宙、萬物。
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為從數(shù)量上看，夏天熱，冬天冷，春天干，秋天濕，最美好的季節(jié)是冷、熱、干、濕等元素在數(shù)量上和諧的均衡分布。畢氏學(xué)派從數(shù)量上的矛盾關(guān)系列舉出有限與無限、一與多、奇數(shù)與偶數(shù)、善與惡、明與暗、直與曲、左與右、陽與陰、動(dòng)與靜、正方與長方等十對對立的范疇，其中有限與無限、一與多的對立是最基本的對立，并稱世界上一切事物均還原為這十對對立。
畢氏對數(shù)學(xué)的研究還產(chǎn)生了后來的理念論和共相論。即有了可理喻的東西與可感知的東西的區(qū)別，可理喻的東西是完美的、永恒的，而可感知的東西則是有缺陷的。這個(gè)思想被柏拉圖發(fā)揚(yáng)光大，并從此一直支配著哲學(xué)及神學(xué)思想。
（四）數(shù)本原論
畢氏學(xué)派稱“數(shù)是宇宙萬物的本原”，他們研究數(shù)學(xué)的目的并不在于使用而是為了探索自然的奧秘。他們從5個(gè)蘋果、5個(gè)手指等事物中抽象出“5”這個(gè)數(shù)，它使得算術(shù)成為可能。在哲學(xué)方面，促使人們相信“數(shù)是構(gòu)成實(shí)物世界的基礎(chǔ)”。畢達(dá)哥拉斯將數(shù)神秘化，說數(shù)是眾神之母，是普遍的始原，是自然界中對立性和否定性的原則。他們認(rèn)為“1”是數(shù)的第一原則，萬物之母，也是智慧；“2”是對立和否定的原則，是意見；“3”是萬物的形體和形式；“4”是正義，是宇宙創(chuàng)造者的象征；“5”是奇數(shù)和偶數(shù)，雄性與雌性和結(jié)合，也是婚姻；“6”是神的生命，是靈魂；“7”是機(jī)會；“8”是和諧，也是愛情和友誼；“9”是理性和強(qiáng)大；“10”包容了一切數(shù)目，是完滿和美好。
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派要求會員在學(xué)術(shù)上達(dá)到一定的水平，其大多是數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、音樂家，他們所信奉的偶像是“數(shù)”，他們認(rèn)為對幾何形式和數(shù)字關(guān)系的沉思以及音樂能達(dá)到精神上的解脫，是西方最早探討美的本質(zhì)的學(xué)派。加入組織要經(jīng)歷神秘的儀式以達(dá)到“心靈的凈化”，還要接受長期訓(xùn)練和考核，遵守很多規(guī)范和戒律，并且宣誓永不泄露學(xué)派的秘密和學(xué)說。
在畢氏學(xué)派看來，數(shù)不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀。數(shù)為宇宙提供了一個(gè)概念模型，數(shù)量和形狀決定一切自然物體的形式，自然界的一切現(xiàn)象和規(guī)律都是由數(shù)決定的，都必須服從“數(shù)的和諧”，即服從數(shù)的關(guān)系。“數(shù)本原論”從有形的“水本原論”進(jìn)入無形的意識領(lǐng)域，開西方形而上學(xué)之先河，被黑格爾所贊譽(yù)。
很多資料傳說畢達(dá)哥拉斯證明了這定理后破例殺了百頭牛舉行“百牛祭”，邀全城人慶祝。不過，有史學(xué)家分析“殺?！敝e不符合畢氏學(xué)派“不殺生”的教義（《數(shù)學(xué)史》）。但畢氏學(xué)派對這一定理證明的狂熱追求卻影響著后世，延續(xù)數(shù)千年，得到五百余種證明方法。據(jù)傳說在百牛大會的祭會上畢達(dá)哥拉斯發(fā)表演講，向人們描繪了由數(shù)產(chǎn)生點(diǎn)，由點(diǎn)產(chǎn)生線，由線產(chǎn)生出平面圖形，由平面圖形產(chǎn)生出立體圖形，由立體圖形感覺到的一切物體產(chǎn)生出水、火、土、空氣四種元素。這四種元素以各種不同的方式相互轉(zhuǎn)化，并創(chuàng)造出有生命的、有精神的、球形的世界。
站在現(xiàn)代信息社會的視角看，幾乎一切的事物都可以被技術(shù)所模擬，而這些技術(shù)無不起源于一組組二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算與處理?？梢哉f現(xiàn)代社會更符合“萬物皆數(shù)”。但任何先進(jìn)的東西都是不可以走上極端，正如后世另一位數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家的羅素所批評的，其“現(xiàn)實(shí)需服從于理性的”形而上的開端為其后中世紀(jì)的黑暗統(tǒng)治埋下種子。
傳說畢氏還對哲學(xué)下了定義：“‘觀察’和‘理解’就是哲學(xué)”，他打破了婦女被禁止出席公開的會議的成規(guī)，認(rèn)為婦女也是和男人一樣在求知的權(quán)利上平等。傳說畢氏還是優(yōu)秀的教師，他認(rèn)為每一個(gè)人都該懂幾何。一次他想教一個(gè)勤勉的窮人學(xué)習(xí)幾何，就提議如果他能學(xué)懂一個(gè)定理就給他一塊錢幣。這個(gè)人跟他學(xué)幾何一段時(shí)間后對幾何產(chǎn)生了極大的興趣，反而要求畢達(dá)哥拉斯教快一些，并提議多教一個(gè)定理他就給一個(gè)錢幣。
著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說：“根據(jù)古代的傳說，是畢達(dá)哥拉斯把幾何從工匠的手藝提升為一種自由的藝術(shù)，就是說提升為一種那些不愿弄臟手腳的自由民的業(yè)務(wù)。”
我們看到，畢達(dá)哥拉斯這位抽象的大師，他擅長把世上有形的萬物、無形的聲音以及浩瀚的宇宙抽象成數(shù)學(xué)模型，他也擅長對數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步抽象化，得到一般的數(shù)學(xué)規(guī)律，……，直到把世界抽象成一句話來頂禮膜拜：“萬物皆數(shù)”。
據(jù)說畢達(dá)哥拉斯青年時(shí)拜訪泰勒斯，已年邁的泰勒斯把他推薦給自己的學(xué)生阿曼克西米德。而“數(shù)本原論”比泰勒斯的“水本原論”更抽象，卻比阿曼克西米德的不知為何物的“阿派郞”本原論更真實(shí)，更源于萬物?？梢姰呥_(dá)哥拉斯保持了古希臘“在繼承中發(fā)展”的優(yōu)良傳統(tǒng)。
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