［學(xué)習(xí)目標(biāo)］
1. 正多邊形的有關(guān)概念；正多邊形、正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角。正n邊形的半徑，邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。
2. 正多邊形和圓的關(guān)系定理
任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓，因此可采用作輔助圓的辦法，解決一些問(wèn)題。
3. 邊數(shù)相同的正多邊形是相似多邊形，具有以下性質(zhì)：
（1）半徑（或邊心距）的比等于相似比。
（2）面積的比等于邊心距（或半徑）的比的平方，即相似比的平方。
4. 由于正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)n等分它的外接圓，因此畫正n邊形實(shí)際就是等分圓周。
（1）畫正n邊形的步驟：
將一個(gè)圓n等分，順次連接各分點(diǎn)。
（2）用量角器等分圓
先用量角器畫一個(gè)等于的圓心角，這個(gè)角所對(duì)的弧就是圓的
，然后在圓上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的n等分點(diǎn)，連結(jié)各分點(diǎn)即得此圓的內(nèi)接正n邊形。
5. 對(duì)于一些特殊的正n邊形，如正四邊形、正八邊形、正六邊形、正三角形、正十二邊形還可以用尺規(guī)作圖。
6. 圓周長(zhǎng)公式：，其中C為圓周長(zhǎng)，R為圓的半徑，把圓周長(zhǎng)與直徑的比值
叫做圓周率。
7. n°的圓心角所對(duì)的弧的弧長(zhǎng)：
n表示1°的圓心角的度數(shù)，不帶單位。
8. 正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于，每個(gè)外角為
，等于中心角。
二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：
1. 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：
正多邊形和圓關(guān)系，弧長(zhǎng)公式及應(yīng)用。
正多邊形的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題。
只有正五邊形、正四邊形對(duì)角線相等。
2. 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：
解決有關(guān)正多邊形和圓的計(jì)算，應(yīng)用弧長(zhǎng)公式。
【典型例題】
例1. 正六邊形兩條對(duì)邊之間的距離是2，則它的邊長(zhǎng)是（ ）
A. B. C. D.
解：如圖所示，BF＝2，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BF于G，則FG＝1
又∵∠FAG＝60°
故選B
點(diǎn)撥：正六邊形是正多邊形中最重要的多邊形，要注意正六邊形的一些特殊性質(zhì)。
例2. 正三角形的邊心距、半徑和高的比是（ ）
A. 1∶2∶3 B.
C. D.
解：如圖所示，OD是正三角形的邊心距，OA是半徑，AD是高
設(shè)，則AO＝2r，AD＝3r
∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3
故選A
點(diǎn)撥：正三角形的內(nèi)心也是重心，所以內(nèi)心到對(duì)邊的距離等于到頂點(diǎn)距離的。通過(guò)這個(gè)定理可以使問(wèn)題得到解決。
例3. 周長(zhǎng)相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積之間的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
解析：設(shè)它們的周長(zhǎng)為，則正三角形的邊長(zhǎng)是，正四邊形的邊長(zhǎng)為，正六邊形的邊長(zhǎng)為
故選B
點(diǎn)撥：一定要注意三個(gè)正多邊形的周長(zhǎng)相等這一重要條件，否則容易得出錯(cuò)誤結(jié)論。
例4. 如圖所示，正五邊形的對(duì)角線AC和BE相交于點(diǎn)M，求證：
（1）；
（2）
點(diǎn)悟：若作出外接圓可以輕易解決問(wèn)題。
證明：（1）正五邊形必有外接圓，作出這個(gè)輔助圓，則
∴∠BEA＝36°
（2）
又∵公共角∠ABM＝∠EBA
∴△ABM∽△EBA
例5. 已知正六邊形ABCDEF的半徑為2cm，求這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)和面積。
解：∵正六邊形的半徑等于邊長(zhǎng)
∴正六邊形的邊長(zhǎng)
正六邊形的周長(zhǎng)
正六邊形的面積
點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵是正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑。
例6. 已知正方形的邊長(zhǎng)為2cm，求它的外接圓的外切正三角形的邊長(zhǎng)和面積。
解：∵正方形的邊長(zhǎng)為2cm
∴正方形的外接圓半徑為cm
∴外接圓的外切正三角形一邊上的高為cm
∴正三角形的邊長(zhǎng)為
∴正三角形的面積為
點(diǎn)撥：本題的重點(diǎn)是正方形的邊長(zhǎng)、圓的半徑和正三角形的半徑之間的關(guān)系。
例7. 如圖所示，已知⊙和⊙外切于點(diǎn)P，⊙和⊙的半徑分別為r和3r，AB為兩圓的外公切線，A、B為切點(diǎn)，求AB與兩弧所圍的陰影部分的面積。
解：連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作
在中，
∴梯形的面積為：
又∵
∴扇形的面積為：
扇形的面積為：
∴陰影部分的面積為：
點(diǎn)撥：求組合圖形的面積一般要構(gòu)造出易解決問(wèn)題的基本圖形，然后求出各圖形的面積，最后通過(guò)面積的加減得出結(jié)論。
例8. 如果弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)增加1°，設(shè)弧的半徑為單位1，則它的弧長(zhǎng)增加___________。
解：由弧長(zhǎng)公式，得：
當(dāng)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)增加1°，則弧長(zhǎng)為
∴弧長(zhǎng)增加，故填
點(diǎn)撥：本題主要考查弧長(zhǎng)公式。
例9. 如圖，大的半圓的弧長(zhǎng)為a，n個(gè)小圓的半徑相等，且互相外切，其直徑和等于大半圓的直徑，若n個(gè)小半圓的總弧長(zhǎng)為b，則a與b之間的關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
解：設(shè)大半圓的半徑為R，小半圓的半徑為r
由題意，得：
∴小圓的半徑
∴每個(gè)小半圓的弧長(zhǎng)為
∴n個(gè)小半圓的總弧長(zhǎng)
即，故選A。
點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵是大半圓的半徑和小半圓的半徑之間的關(guān)系，然后通過(guò)弧長(zhǎng)和半徑之間的關(guān)系求解。
例10. 如圖所示，兩個(gè)同心圓被兩條半徑截得的的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，若，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A. B. C. D.
解：設(shè)∠O＝α，由弧長(zhǎng)公式得：
又
∴陰影部分的面積為：
故選C
點(diǎn)撥：本題主要考查弧長(zhǎng)、扇形面積的有關(guān)計(jì)算，要熟記公式，正確運(yùn)用。
例11. 如圖所示，⊙O的半徑OA為R，弦AB將圓周分成弧長(zhǎng)之比為3∶7的兩段弧，求弦AB的長(zhǎng)，如果將3∶7改為m∶n，此時(shí)弦AB的長(zhǎng)度是多少？
點(diǎn)悟：欲求弦長(zhǎng)AB，需用弦長(zhǎng)公式，需知圓心角的度數(shù)，∠AOB可通過(guò)兩弧長(zhǎng)之比3∶7求得，再利用求得AD，AB就可求。
解：作OD⊥AB于D，連結(jié)OB
∵這兩段弧之比為3∶7
∴這兩段弧所對(duì)的圓心角之比也為3∶7
設(shè)這兩個(gè)圓心角的度數(shù)為3x，7x，則
即
∴∠DOA＝54°，又
∴AD＝Rsin54°
∵AB＝2AD
同理可得3∶7改為m∶n時(shí)，解得：
點(diǎn)撥：有關(guān)正多邊形的計(jì)算，都要作出它的半徑和邊心距為輔助線，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題。
例12. 已知正六邊形邊長(zhǎng)為a，求它的內(nèi)切圓的面積。
點(diǎn)悟：欲求內(nèi)切圓的面積，根據(jù)圓面積公式，需求內(nèi)切圓的半徑OH，可依據(jù)正六邊形的性質(zhì)及邊長(zhǎng)a求得，代入面積公式，即可。
解：如圖所示，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)，內(nèi)切圓的圓心為O，連結(jié)OA、OB，作OH⊥AB于H，則∠AOH＝30°
例13. 已知正多邊形的周長(zhǎng)為12cm，面積為，則內(nèi)切圓的半徑為__________。
解：設(shè)正多邊形是正n邊形，圓半徑為r
∵正多邊形的周長(zhǎng)是12cm
∴正多邊形的邊長(zhǎng)是
又∵正多邊形的面積是
故應(yīng)填2cm。
點(diǎn)撥：要注意內(nèi)切圓半徑等于正多邊形的邊心距這一重要概念。
【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）
一. 判斷題。
1. 各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形。（ ）
2. 各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形。（ ）
3. 各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形。（ ）
4. 各角相等的圓外切多邊形是正多邊形。（ ）
5. 一個(gè)四邊形不一定有外接圓或內(nèi)切圓。（ ）
6. 矩形一定有外接圓，菱形一定有內(nèi)切圓。（ ）
7. 三角形一定有外接圓和內(nèi)切圓，且兩圓是同心圓。（ ）
8. 依次連結(jié)正多邊形各邊中點(diǎn)所得的多邊形是正多邊形。（ ）
二. 填空題。
9. 若正多邊形內(nèi)角和是540°，那么這個(gè)多邊形是_________邊形。
10. 兩個(gè)圓的半徑比為2∶1，大圓的內(nèi)接正六邊形與小圓的外切正六邊形的面積比為__________。
11. 有一修路大隊(duì)修一段圓弧形彎道，它的半徑R是36m，圓弧所對(duì)的圓心角為60°，則這段彎道長(zhǎng)約________m（精確到0.1m，）。
三. 解答題。
12. 已知半徑為R的圓有一個(gè)外切正方形和內(nèi)接正方形，求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)比和面積比。
13. 如圖，△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，點(diǎn)C、D在FG上，且CF＝CA，DG＝DA，過(guò)點(diǎn)A、C、D的⊙O分別交AF、AG于點(diǎn)B、F。
求證：五邊形ABCDE是正五邊形。
14. 如圖：三個(gè)半徑的圓兩兩外切，求由三條切點(diǎn)弧圍成的陰影圖形的周長(zhǎng)。
【試題答案】
一. 判斷題。
1. × 2. × 3. √ 4. √
5. √ 6. √ 7. × 8. √
二. 填空題。
9. 正五 10. 3∶1 11. 37.7
三. 解答題。
12. 邊長(zhǎng)比，面積比2∶1
13. 易求∠F＝∠G＝36°
∴∠FAC＝∠GAD＝∠CAD＝36°
從而，
由△AFC≌△AGD得：AC＝AD
∴ABCDE是正五邊形
14. 利用弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是求出三段弧所對(duì)圓心角的度數(shù)。
且
∴∠B＝90°，∠A＝30°，∠C＝60°
∴陰影部分周長(zhǎng)
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