二. 重點(diǎn)難點(diǎn)：
（一）銳角三角函數(shù)
1. 銳角三角函數(shù)的定義
如圖1，在中，
為直角，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做
的正弦，記作
；把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做
的余弦，記作；把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做
的正切，記作；把銳角A的鄰邊與對邊的比叫做的余切，記作。
圖1
即；
2. 互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系
3. 同角三角函數(shù)間的關(guān)系
4. 三角函數(shù)值
（1）特殊角的三角函數(shù)值
（2）用計(jì)算器求的任意角的三角函數(shù)值。
（3）銳角三角函數(shù)值的性質(zhì)：
①銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，，。
②當(dāng)角度在間變化時(shí)：
正弦、正切隨角度增大而增大，減小而減?。?/span>
余弦、余切隨角度增大而減小，減小而增大。
（二）解直角三角形
1. 解直角三角形：由直角三角形中除直角以外的兩個(gè)已知元素（其中至少有一條邊），求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。
2. 解直角三角形相關(guān)的知識
如圖2，在中，，
圖2
（1）三邊之間的關(guān)系：。
（2）銳角之間的關(guān)系：。
（3）邊與角之間的關(guān)系：
，
。
（4）如圖3，若直角三角形ABC中，斜邊上的高于點(diǎn)D，設(shè)，，則
。
圖3
（5）如圖4，若CD是直角三角形ABC中斜邊上的中線，則
①；
②點(diǎn)D是的外心，外接圓半徑。
圖4
（6）如圖5，若r是直角三角形ABC的內(nèi)切圓半徑，則。
圖5
（7）直角三角形的面積
①如圖3，。
②如圖5，。
3. 直角三角形的可解條件及解直角三角形的基本類型
4. 測量中的常用概念：仰角、俯角、坡度、坡角、水位、方向角、傾斜角等。
【典型例題】
例1. 如圖6，在山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是5.46米，測得斜坡的傾斜角是，求斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是多少米？（精確到1米，用計(jì)算器求值）
圖6
分析：此問題歸結(jié)為中，米，求AB的長。
米，
斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是6米。
例2. 已知：如圖7，在菱形ABCD中，于點(diǎn)E，，求四邊形ABCD的面積S。
圖7
分析：在中，，已知，就相當(dāng)于給了的對邊AE與斜邊BA的比是5：13。
解：在中，，
設(shè) 由勾股定理得
，即
。
例3. 如圖8，在中，，求AB和BC的長。
圖8
分析：由已知條件和三角形內(nèi)角和定理，可知；過點(diǎn)C作，則是可解三角形，可求出CD的長，從而可解，由此得解。
略解：過點(diǎn)C作于D
想一想，若例3改為：
①中，，如何求AB和BC的長？
②已知中，，，，如何求BC邊及的面積？
例4. 如圖9，已知在中，，求的四個(gè)三角函數(shù)值。
圖9
解：在中，
例5. 如圖10，已知在中，。求。
圖10
解法1：在中，
設(shè)
由勾股定理，可得
解法2：在中，，，
；
又
小結(jié)：已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求同角的其它三角函數(shù)值時(shí)，常用的方法有兩個(gè)：利用定義（根據(jù)三角函數(shù)值，用比例系數(shù)表示三角形的邊長）或同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系。
例6. 解答下列各題：
（1）化簡求值；
（2）若（為銳角），求的值；
（3）在中，，化簡。
解：（1）
（2）
（3）
小結(jié)：由第（3）題可得到今后常用的一個(gè)關(guān)系式：
例如，若設(shè)，則。
例7. 如圖11，在中，，，求的值。
圖11
分析：為求，需將分別置于直角三角形之中，另外已知的鄰補(bǔ)角是，若要使其充分發(fā)揮作用，也需將其置于直角三角形中。所以應(yīng)分別過點(diǎn)B、C向CA、BA的延長線作垂線段，即可順利求解。
解：過點(diǎn)B作的延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作的延長線于點(diǎn)E。
；
。
又，由勾股定理，
同理可求得
例8. 如圖12，直升飛機(jī)在跨河大橋AB的上方P點(diǎn)處，此時(shí)飛機(jī)離地面的高度米，且A、B、O三點(diǎn)在一條直線上，測得大橋兩端的俯角分別為。求大橋AB的長（精確到1米）。
圖12
解：依題意，
（米）
答：大橋的長度約為120米。
說明：如圖12，一般地，。
例9. 如圖13，某船向正東航行。在A處望見燈塔C在東北方向，前進(jìn)到B處望見燈塔C在北偏西，又航行了半小時(shí)到D處，望見燈塔C恰在西北方向，若船速為每小時(shí)20海里，求A、D兩點(diǎn)間的距離。（結(jié)果不取近似值）
圖13
解：作，垂足為E。設(shè)海里。
在中，，
即。解得
（海里）。
答：A、D兩處間的距離為海里。
例10. 某型號飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖14所示，AB//CD，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算AC，BD和CD的長度（精確到0.1米，）。
圖14
解：如圖15所示，過C作交BA延長線于E，過B作，交CD延長線于F。
圖15
在中，
（）
在中，
答：AC約為7.1米，BD約為5.8米，CD約為3.4米。
例11. 如圖16，，，求四邊形ABDC的面積。
圖16
分析：只需分別求出和的面積，就可求出四邊形的面積。問題的關(guān)鍵是如何求出中BC邊上的高。
略解：作于H
在中，
四邊形ABDC的面積為平方單位。
小結(jié)：已知一個(gè)角的三角函數(shù)值就可以得到它余角的余弦函數(shù)值，同時(shí)還可以得到已知角和它的余角的其它的三角函數(shù)值。
例12. 如圖17，在四邊形ABCD中，，，，求CD的長。
圖17
分析：由已知，為了構(gòu)造可解的直角三角形，可分別延長DC、AB，設(shè)交點(diǎn)為E，得；再利用，則，通過設(shè)參數(shù)、列方程即可求解。
略解：如圖17所示，，
設(shè)
在中，，解得
，則。
此例題還有其它幾種添加輔助線的方法，請自己研究。
解此類問題的基本思路是將四邊形轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題。轉(zhuǎn)化的目標(biāo)主要有兩個(gè)，一是構(gòu)造可解的直角三角形；二是利用已知條件通過設(shè)參數(shù)，列方程。在解直角三角形時(shí)，常用的等量關(guān)系是：勾股定理、三角函數(shù)關(guān)系式、相等的線段、面積關(guān)系等。
例13. 如圖18，D是AB上一點(diǎn)，且于C，，，，求的值和AB的長。
圖18
略解：作DE//AC交CB于E。則。
，
設(shè)，則
即
，解得
例14. 如圖19，正三角形ABC的邊長為2，點(diǎn)D在BC的延長線上，。
（1）動點(diǎn)P在AB上由A向B移動，設(shè)，的面積為，求與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍。
（2）在（1）的條件下，設(shè)，求z與t之間的函數(shù)關(guān)系式。
圖19
略解：作于E
（1），
又，
（2）由（1）不難得出，
【模擬試題】
1. 填空題：在中，，分別為的對邊，
（1）若，則________，_________，_______。
（2）若，，則__________，_________。
（3）若，則_________。
（4）若，則________，_________。
（5）若，b與斜邊的中線相等，則_________，_________。
（6）若，則_________。
（7）若的周長為，則______cm，_____cm。
2. 在中，分別是的對邊，，，求。
3. 中，分別是的對邊，若，，試求BC邊的長及的面積。
4. 已知：四邊形ABCD中，，，求四邊形ABCD的面積。
5. 在中，，D是BC延長線上一點(diǎn)，，求的度數(shù)和AB的長。
6. 如圖20，水庫大壩的橫斷面為梯形，壩頂寬6米，壩高24米，斜坡AB的坡角為，斜坡CD的坡度，求壩底AD的長。
圖20
7. 如圖21，一艘漁船正以30海里/時(shí)的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在船的北偏東。40分鐘后，漁船行至B處，此時(shí)看見小島C在船的北偏東。已知以小島C為中心，周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊(duì)軍事演習(xí)的著彈危險(xiǎn)區(qū)。問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域的可能？
圖21
8. 如圖22，一起重機(jī)的機(jī)身高21m，吊桿AB長36m，吊桿與水平線的夾角可從升到，求起重機(jī)起吊的最大高度（吊鉤本身的長度和所掛重物的高度忽略不計(jì)）和當(dāng)起重機(jī)位置不變時(shí)使用的最大水平距離（精確到0.1米）。
圖22
9. 如圖23，在小山的東側(cè)A處有一熱氣球，以每分鐘28米的速度沿著與垂直方向夾角為的方向飛行，半小時(shí)后到達(dá)C處，這時(shí)氣球上的人發(fā)現(xiàn)，在A處的正西方向有一處著火點(diǎn)B，5分鐘后，在D處測得著火點(diǎn)B的俯角是，求熱氣球升空點(diǎn)A與著火點(diǎn)B的距離。（結(jié)果保留根號，參與數(shù)據(jù)：，）
圖23
【試題答案】
1. （1）
（2）
（3） （4）
（5）
（6） （7）
2.
3. 當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
4.
5. ，
6. 78米
7. 這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群不會進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域。
8. 最大高度約56.5米，最大水平距離約31.2米。
9. 米。
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