棱柱、棱錐
二. 本周教學(xué)重、難點(diǎn)：
1. 了解多面體，凸多面體，正多面體的概念。
2. 了解棱柱，棱錐的概念，掌握它們的性質(zhì)。
【典型例題】
[例1] 棱錐P—ABCD的底面是正方形，側(cè)面PAB、PAD都垂直于底面，另兩側(cè)面與底面成角，M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，最長的側(cè)棱為
，求：
（1）棱錐的高；
（2）底面中心O到平面PMN的距離。
解：如圖
（1）設(shè)高為，由平面PAB，平面PAD都垂直于底面，得PA⊥底面AC
又 ∴ PA=AB=
，
由及PC=15，得
（2）∵ BD⊥AC，BD⊥PA ∴ BD⊥平面PAQ
又MN//BD ∴ MN⊥平面PAQ ∴ 平面PAQ⊥平面PMN
作OH⊥PQ于H，則OH之長即為所求，作AG⊥PQ于G
在中，
∴
再由，得
[例2] 如圖所示，正四棱錐P—ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長均為13，M、N分別是PA、BD上的點(diǎn)，且。
（1）求證：直線MN//平面PBC；
（2）求直線MN與底面ABCD所成角的正弦值。
解：（1）證明：連結(jié)AN并延長交BC于E，再連結(jié)PE
∵ BE//AD ∴ 又 ∴
∴ PE//MN 又 平面PBC，平面PBC
∴ 直線MN//平面PBC
（2）設(shè)O為底面正方形ABCD的中心，連結(jié)PO、OE，則PO⊥平面ABCD
又直線MN//PE，則為直線MN與平面ABCD所成的角
由及AD=13，得
在中，，PB=13，BE=
由余弦定理，得
在中，，PE=，則
[例3] 如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且
。
（1）證明；
（2）假設(shè)CD=2，，記面C1BD為，而CBD為，求二面角的平面角的余弦值。
證：（1）連結(jié)A1C1、AC，AC和BD交于O，連結(jié)C1O
由四邊形ABCD是菱形得AC⊥BD，BC=CD
又，則
∴ 由于DO=OB ∴ C1O⊥BD
但AC⊥BD，，從而BD⊥平面AC1
又平面AC1 ∴ C1C⊥BD
（2）由（1）知：AC⊥BD，C1O⊥BD ∴ 是二面角的平面角
在中，BC=2，C1C=，
∴
∴ ∴
，即C1O=C1C
作，垂足為H，點(diǎn)H是OC的中點(diǎn)，且OH
∴
[例4] 已知長方體ABCD—A1B1C1D1的一個(gè)頂點(diǎn)B1到它的對角線BD1的距離為。
（1）若長方體的高為，對角線長為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求的最小值；
（3）在最小的情況下，問長方體的長、寬、高各為何值時(shí)，長方體的體積最大？最大值是多少？
解：（1）設(shè)長方體的長、寬分別為，則
∴ ，即，故
（2）
∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值
（3）在最小的情況下，有
∴ 長方體體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號。
故當(dāng)長、寬、高分別為時(shí)，體積有最大值
[例5] 如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=。
（1）求四棱錐S—ABCD的體積；
（2）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值。
解：（1）直角梯形ABCD的面積是
∴ 四棱錐S—ABCD的體積是
（2）延長BA、CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，則SE是所求二面角的棱
∵ AD//BC，BC=2AD ∴ EA=AB=SA ∴ SE⊥SB
∵ SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC、EB是交線，又BC⊥EB
∴ BC⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影
∴ CS⊥SE ∴ 是所求二面角的平面角
∵
∴ ，即所求二面角的正切值為
[例6] 已知中，，AB⊥平面BCD，，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且
（1）求證：不論為何值，總有平面BEF⊥平面ABC？
（2）當(dāng)為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD？
解：（1）證明：∵ AB⊥平面BCD ∴ AB⊥CD ∵ CD⊥BC且
∴ CD⊥平面ABC 又 ∵
∴ 不論為何值，恒有EF//CD ∴ EF⊥平面ABC，EF平面BEF
∴ 不論為何值恒有平面BEF⊥平面ABC
（2）由（1）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD ∴ BE⊥平面ACD
∴ BE⊥AC ∵ BC=CD=1，，
∴ BD=
∴ ，由，得
∴ ，故當(dāng)時(shí)，平面BEF⊥平面ACD
[例7] 如圖，在三棱錐P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC。
（1）求證：OD//平面PAB；
（2）求直線OD與平面PBC所成角的大小。
解：（1）∵ O、D分別為AC、PC的中點(diǎn) ∴ OD//PA
又 平面PAB ∴ OD//平面PAB
（2）∵ AB⊥BC，OA=OC ∴ OA=OB=OC
又 ∵ OP⊥平面ABC ∴ PA=PB=PC 取BC中點(diǎn)E，連結(jié)PE，則BC⊥平面POE
作OF⊥PE于F，連結(jié)DF，則OF⊥平面PBC
∴ 是OD與平面PBC所成的角
又OD//PA ∴ PA與平面PBC所成角的大小等于
在中，
∴ PA與平面PBC所成的角為
【模擬試題】
一. 選擇題：
1. 棱長為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P、Q是上兩動(dòng)點(diǎn)，且PQ=1，則三棱錐P—AQD的體積為（ ）
A. 8 B. C. 3 D.
2. 正四棱錐底面邊為，側(cè)棱長為，則的范圍為（ ）
A. B. C. D.
3. 設(shè)三棱柱的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且PA=QC1，則四棱錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
4. 在長方體交于一點(diǎn)的三條棱上各取一點(diǎn)，過這三點(diǎn)作一截面，那么這個(gè)截面是（ ）
A. 鈍角三角形 B. 銳角三角形 C. 直角三角形 D. 銳角三角形或直角三角形
5. 在正三棱柱中，若AB=2，則點(diǎn)A到平面的距離為（ ）
A. B. C. D.
6. 在正四面體P—ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是（ ）
A. BC//面PDF B. DF⊥面PAE C. 面PDF⊥面ABC D. 面PAE⊥面ABC
7. 如圖，在三棱柱中，點(diǎn)E、F、H、K分別為、、、的中點(diǎn)，G為的重心。從K、H、G、中取一點(diǎn)作為P，使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為（ ）
A. K B. H C. G D.
8. 已知棱長為1的正方體容器，在棱AB、BB1以及B1C的中點(diǎn)處各有一個(gè)小孔E、F、G，若此容器可以任意放置，則該容器的最大容積為（ ）
A. B. C. D.
二. 解答題：
1. 如圖，已知長方體中，AD=2，AB=4，AA1=6，E是AB的中點(diǎn)，過的平面交于F。
（1）求證：EF//CD1；
（2）求二面角的平面角的一個(gè)三角函數(shù)值。
2. 如圖，長方體中，AB=2，AA1=1，，AE⊥BD于E，F為的中點(diǎn)，求異面直線AE與BF所成的角。
3. 如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F。
（1）證明PA//平面EDB；
（2）證明PB⊥平面EFD。
【試題答案】
一.
1. D
解析：由選項(xiàng)可知三棱錐P—AQD的體積為定值，隱含地表明P、Q的位置與體積無關(guān)，故令Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合。
∴ 三棱錐P—AQD的體積，故選D。
2. B
解析：如圖，在正四棱錐中，SA=，AB=，設(shè)側(cè)棱與底面所成的角為，則，所以，又，即，從而。
3. C
解析：用“極限思想”，設(shè)P與A，Q與C1重合，則，即
4. B
解析：如圖，由，∴
又
∴ 同理可得
綜上，為銳角三角形，故選B。
5. B
解析：如圖，作AM⊥BC交BC于M，連結(jié)A1M
在正三棱柱ABC—A1B1C1中，易證平面AMA1垂直于平面A1BC，再證AN⊥A1M，即AN為點(diǎn)A到平面A1BC的距離
在中，易求得，或利用等積代換法：由，可求點(diǎn)A到平面A1BC的距離。
6. C
解析：易知DF//BC，∴ BC//面PDE，又知BC⊥AE，BC⊥PE
∴ BC⊥面PAE ∴ 面PAE⊥面ABC，又DF//BC
∴ DF⊥面PAE ∴ A、B、D選項(xiàng)為真命題，而C不對
7. C
解析：取的中點(diǎn)M，則E、F、K、M在同一平面內(nèi)，但三棱柱中有，等多條棱與它平行。
同樣取H作為P點(diǎn)時(shí)，則平面HEF與三棱柱的上、下底面平行，也不合題意。
而取G作P點(diǎn)時(shí)，則平面GEF只與三棱柱中的棱AB、平行，符合題意，故選C。
8. D
解析：如圖所示，如果只考慮E、F、G三點(diǎn)確定的平面為截面截得的幾何體體積為，而沿E、G、B1三點(diǎn)確定的平面為截面截得的幾何體的體積為
所以比較而言，最大容積為，故選D。
二.
1. 解：（1）證明：平面平面，又面面，面面
∴ EF//D1C
（2）連結(jié)DE，E是AB的中點(diǎn) ∴ CE=DE，BC=BE=2
∴ ∴ CE⊥DE，連結(jié)，則
∴ 是二面角的平面角，
2. 解：連結(jié)，過F作的垂線，垂足為K ∵ 與兩底面ABCD、都垂直
∴ FK⊥BB1 又 FK⊥B1D1，B1D1BB1=B1 ∴ FK平面BDD1B1
∴ KF//AE
∴ 為異面直線BF與AE所成的角
由FK⊥面BD1 ∴ 為直角三角形
在和中，由，
得
又 ∴
∴ 異面直線BF與AE所成的角為
3. 證明：（1）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)EO
∵ 底面ABCD是正方形 ∴ 點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)
在中，EO是中位線 ∴ PA//EO 而EO平面EDB且PA平面EBD
∴ PA//平面EDB
（2）∵ PD⊥底面ABCD，且底面ABCD ∴ PD⊥DC
∵ PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線
∴ DE⊥PC ①
同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC
∵ 底面ABCD是正方形，有DC⊥BC ∴ BC⊥平面PDC
而DE平面PDC ∴ BC⊥DE ②
由①和②推得DE⊥平面PBC 而PB平面PBC ∴ DE⊥PB
又EF⊥PB，且 ∴ PB⊥平面EFD
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