書接上回大魔王拉格朗日的故事及拉格朗日中值定理，大魔王拉格朗日有個徒弟柯西 “苦瓜”數(shù)學(xué)家柯西的故事及柯西中值定理，但是柯西卻延誤了兩名數(shù)學(xué)家被柯西坑了的兩個天才數(shù)學(xué)家——阿貝爾和伽羅瓦。阿貝爾的故事之前已經(jīng)有講過阿貝爾數(shù)學(xué)大獎背后的故事。這次再來看看伽羅瓦的故事及超級難理解的群論。
數(shù)學(xué)史上是不乏天才的，但是如果說非要要挑出幾個最璀璨的，那大概是高斯、柯西、拉馬努金……但是如果要說年紀最輕、經(jīng)歷最傳奇的，那就繞不開這個名字——伽羅瓦。
一個十幾歲解決了困擾了數(shù)學(xué)界幾百年的n次方程根式解存在問題的男孩，一篇包括柯西在內(nèi)的歐洲數(shù)學(xué)家都沒有看懂的論文，一個投身于狂熱的政治運動、又為了心愛的姑娘和專業(yè)的軍人參加近乎是自殺的決斗的天才。伽羅瓦的一生，就像他群論和域論交替出現(xiàn)的伽羅瓦理論一樣，瑰麗多彩。
接下來，這篇推送將會努力以最淺顯的語言，從頭開始梳理一下這位曠世的天才最著名的工作——伽羅瓦理論，也就是一元n次方程根式解的存在性問題。
【然而還是敬告各位讀者，伽羅瓦理論對于大學(xué)數(shù)學(xué)來說也是非平凡的數(shù)學(xué)，大量的公式符號不可避免，想要深入理解還是參考文末的資料】
【順便說一句，這才是主頁菌天天學(xué)習(xí)的東西……苦逼的人生啊QwQ】
方程根式解問題：
早在幾百年前，數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)搞出來一般的二三四次方程的通解形式，雖然丑，但是有：
二次：
三次：
四次：
五次
然而，到了五次方程的時候，人們發(fā)現(xiàn)再也找不到一般的根式表達了。在幾代數(shù)學(xué)家的失敗之后，人們開始猜想，是不是不存在五次方程的求根公式了呢？如果五次沒有，那么五次以上一定都沒有?？墒菫槭裁礇]有呢？
要知道，要說明一個東西有很容易，要說明所有現(xiàn)有的方法都做不到卻很難。這個問題困擾了全體數(shù)學(xué)家整整兩三百年，而最后，卻是被一個毛頭小伙子——伽羅瓦解決了。
而他的方法，就是開創(chuàng)性的應(yīng)用了和群論以及域論有關(guān)的知識。
一、鋪墊：
群、子群、正規(guī)子群
相信不論是學(xué)過抽象代數(shù)還是沒有學(xué)過抽象代數(shù)的人，都曾聽說過群論的鼎鼎大名。那么，到底什么是群呢？
幻想你來到了另外一個生命星球，來到了他們的小學(xué)課堂。這是一門你不知道是什么科目的課，他們說著你不懂的語言。這個時候，你如何搞懂他們在干啥呢？
你聽到老師說：“Ena~ Ena~”
學(xué)生們大叫：“Dva！”
老師又說：“Ena~Dva~”
學(xué)生們回答：“Omar!”
老師：“Dva~Dva~”
學(xué)生：“Kya！”
……
是的，你也許完全不知道Ena、Dva、Omar和Kya是什么，但是你會注意到對于老師給出的兩個單詞，學(xué)生們總是會回答以某一個單詞。這就像一個映射一般，對于給定的兩個元素，總有一個元素與這個二元組對應(yīng)。
我們不妨說，學(xué)生和老師在討論一個集合上的某種“運算”，對于給定的兩個元素A和B，總存在一個唯一的C與這個運算對應(yīng)，記為C=A*B
例如上面的情況就可以記為：
Ena*Ena=Dva
Ena*Dva=Omar
Dva*Dva=Kya
最后你聽到了老師說：“Ena~Omar~”,學(xué)生們異口同聲回答：“Kya yesu!”
于是你終于猜到，這好像是加法，Ena=1,Dva=2,Omar=3,Kya=4。而那個運算*，其實就是整數(shù)里的加法一樣。
所以，我們其實在觀察這樣一個集合，里面有一堆我們不知道也不關(guān)心是啥的元素（比如Ena,Dva,Omar和Kya），然后有一種運算，對于給出的兩個元素可以“運算”（其實是我們定義出來）一個結(jié)果。
但是請注意，如果僅僅是在一個集合上定義了一個運算，使得運算的結(jié)果依然落在集合里，那么這個還不能叫做群，只能叫做一個“半群”（而且請注意，是集合加上這個運算叫做半群，單獨的集合什么都不是）。一個集合G和其上面的運算*還要滿足下面的幾個性質(zhì)才能叫做群：
1.（之前提過的要求）a，b∈G，a*b∈G
【封閉性：運算結(jié)果仍在群中】
2.a,b,c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)
【結(jié)合律：連續(xù)運算順序無關(guān)】
3.存在一個元素e，使得對于所有G的元素x,都有x*e=e*x=x
【存在幺元，或稱不變元，與其運算保持不變】
4.對于任何一個元素x，存在一個元素x-1,使得x*x-1=x-1*x=e
【存在逆元，一個元素和逆元運算等于幺元】
對于滿足上面這些要求的集合和其上的運算，我們稱之為一個群。
我們開始了解，群是一“群”元素，但是他們不是孤立的。這些元素通過一個運算，群里的元素形成了緊密的聯(lián)系，最簡單的例子，就是下面的克萊因四元群：
解釋一下，+就是我們前面一直用的*的運算標識，每一行和每一列的交點處就代表著運算的結(jié)果。例如e行和f列的交點是g，意味著e+f=g
上面的這個表里有一個0，它和所有元素運算之后保持另一個元素不變，因而是幺元；且每一行、每一列都有e，這意味著每個元素都存在逆元。結(jié)合律也可以驗證。
但是，抽象代數(shù)、或者說是群論，最有魅力的地方就在于，這些元素完全是抽象的，你可以給他們以任何一種合理的詮釋，只要滿足那幾個要求即可。例如，上面的克萊因四元群就和下面的這個正方形重合操作群是一致的：
元素0
元素e
元素f
元素g
注意，這里的每個元素代表著一種旋轉(zhuǎn)或者翻轉(zhuǎn)的操作，在操作前后正方形是重合的，只是頂點的順序產(chǎn)生了改變。而兩種操作元素的“運算”a*b就是先執(zhí)行a再執(zhí)行b的操作。【注意：順序很重要，群里的操作一般不滿足交換性，也就是說a*b和b*a是不一樣的】讀者可以自行驗證上面所說的運算表（就像加法小九九一樣）。例如e*e=0的意思就是，如果你左右翻轉(zhuǎn)兩次，就相當于什么都沒有做；e*f=g的意思就是，如果你先左右翻轉(zhuǎn)再上下翻轉(zhuǎn)，其效果等于直接將整個正方形旋轉(zhuǎn)180度。
注意，這里出現(xiàn)了一件有趣的事情。此前我們討論的例子（比如整數(shù)和整數(shù)上的加法），這個集合都是無限大的。而這里則不然，只有四個元素，他們無論如何怎么相互運算，都逃不出這四個元素的范圍，就像孫悟空逃不出如來佛的手掌心一樣。因為要知道，保持正方形的形狀但是完成頂點之間的對換還有操作還有很多，比如下面這個按照對角線翻轉(zhuǎn)：
但是克萊因四元群里的四個操作無論怎么任意相互運算，都造不出這樣一種操作。運算的任意性和它們形成的操作的有限性形成了如此鮮明的對比，其背后的數(shù)學(xué)內(nèi)涵耐人尋味。這四個元素就像一個與世無爭的孤島一樣，自己任意運算，卻囿于其中。
子群
但是四個元素是最小的孤島嗎？不是！我們接下來介紹子群的概念就告訴我們，在孤島之內(nèi)還有更小的孤島，就像在一個班級之內(nèi)還是會有更小的朋友圈子。
例如看0和e這兩個元素
看到了嗎？只看0和e之間，其實他們也是在自己玩，如果我們只有保持不動和左右翻轉(zhuǎn)這兩種操作的話，那么其實我們無論怎么對一個正方形變換，得到的肯定就只有正反兩種正方形而已，所以道理是顯而易見的。
于是我們知道，如果已經(jīng)有一個集合和一種運算構(gòu)成了群，而且這個集合內(nèi)部還有一些更小的集合的子集，他們竟然也滿足封閉性（那就是內(nèi)部任意相互運算不會跑出來），那么就構(gòu)成了一個小一點的群，我們稱之為子群?！疚覜]有提群的剩余三個性質(zhì)，想一想為什么？】
隨便想想就知道，任何一個群至少有兩個子群：一個是自己全部，一個是僅僅包含不變操作的幺元的集合。但是還有一些既不是自己又不僅僅是幺元的子集，它們是非平凡的子群。
而最簡單的例子，就是上面的克萊因四元群。要知道，正方形的四個頂點任意排列操作可是有4!=24種可能性的，但是克萊因四元群只有四個元素，它們?nèi)我膺\算就出不了這個集合。
正規(guī)子群
但是子群里還有一類具有更獨特地位的子群，那就是正規(guī)子群。（后面伽羅瓦證明根式解的時候，與正規(guī)子群的性質(zhì)息息相關(guān)）。正規(guī)子群當然是子群，但是它是一類更有趣的（或者說性質(zhì)更好的）子群。
正規(guī)子群在子群的基礎(chǔ)上做了這樣的要求：在外界看來，這個子群自成一個圈子。什么叫做自成一個圈子呢？那就是任何一個元素x從左邊和這個子群N里的元素運算出的所有結(jié)果（記為xN），和從右邊作用這個子群運算得到的所有結(jié)果（記為Nx）是同樣的（xN=Nx）。也就是說如果我們把N中的元素稱作N類元素的話，那么一個元素和N類元素的運算與它在左邊還是右邊無關(guān)。
換句話說，我們?nèi)绻诘仁絻蛇呌页松蟲的逆x-1，就能得到xNx^{-1}=N。這個式子非常重要，記住它，最后會用到它。
域論和多項式方程的根：
好的，群論暫時就先說這么多吧。我們現(xiàn)在進入到關(guān)系更密切的多項式理論和域論之中。
域也是一個集合，上面定義著加法和乘法兩種運算，這兩種運算都構(gòu)成了群，同時，加法和乘法還滿足分配率，那就是說a(b+c)=ab+ac成立。我們最常見的域比如說有理數(shù)域，任何兩個有理數(shù)加減乘都是有理數(shù)，而且任何一個有理數(shù)x都有相反數(shù)，非零的有理數(shù)都有倒數(shù)（它們分別是x在加法和乘法下的逆）。所以，全體有理數(shù)在有理數(shù)的加法和乘法下構(gòu)成了一個域。
但是注意哦，還有一些并不平常的域，例如形如a+b×sqrt(2)的數(shù)（a和b是有理數(shù)，sqrt(2)表示根號2），我們稍加檢驗就知道
它們都滿足原來的有理數(shù)加上有理數(shù)乘以根號2的形式，所以這也是一個域。
簡單介紹完域我們來看看多項式的根，考慮多項式f(x)=(x^2-5)(x^2+1)，我們顯然看到這個多項式的根式是±Sqrt(5)和虛數(shù)±i。但是有關(guān)多項式最核心的的一個東西出現(xiàn)了，那就是我們總是可以給多項式的根換標簽（專業(yè)名詞為自同構(gòu)），使得換完標簽后這個域保持著原來所有的運算性質(zhì)。
簡單來說就是，原來這個多項式有兩個根為±sqrt(5)。我們現(xiàn)在總是可以把正的根號五當做負的根號五，把負的根號五當做正的根號五。當做的含義就是，我們把所有的數(shù)a+b×sqrt(5)寫成a-b×sqrt(5)來運算，我們會發(fā)現(xiàn)一切跟加法、乘法和逆有關(guān)的等式保持不變
注意到了嗎？AMAZING!我們?nèi)绻?strong>在心里把b前面的符號默默換掉，然后用我們換掉的數(shù)字做運算，得到的結(jié)果剛好也是把符號換掉的結(jié)果！也就是說，僅僅調(diào)換根號五的符號做一個調(diào)換，不會改變a+b×Sqrt(5)這個域的一切運算性質(zhì)。而其實，把根號五改成虛數(shù)單位i，依然成立。
一個域存在著一些“換標簽”的操作，使得這個域在換完標簽之后依然保持著原來域的運算性質(zhì)。用精確的語言來說，就是有一個映射σ是將某一個域F內(nèi)的每一個元素換成F內(nèi)的另外一個元素，滿足對于域內(nèi)的任何兩個元素x,y：
σ(x+y)= σ(x)+ σ(y)
σ(xy)= σ(x) σ(y)
σ(x的逆)= σ(x)的逆
但是這件事情有什么意義呢？
要知道，群是一個用來表示對稱性的結(jié)構(gòu)。每當我們看到對稱性的時候都會不由自主的想到群。道理是，群之間元素的運算依然落在群里，很好的表現(xiàn)了諸如“上下對稱且左右對稱，則旋轉(zhuǎn)180度也對稱”這樣的對稱性質(zhì)的保持。
在進入下面的內(nèi)容之前，相信你可能已經(jīng)有點被繞暈了。一會是子群，一會是域，一會是域，一會兒又是自同構(gòu)。這一切究竟跟五次方程沒有根式解有什么關(guān)系呢？一句話說明我們要干的事情就是：【仔細讀幾遍以確認我們要干什么】
一個包含了有理數(shù)和五次方程的所有根的域，具有很多自同構(gòu)的對稱性，這其中使得有理數(shù)保持不動的那類自同構(gòu)操作刻畫了這個域的性質(zhì)。我們只需要說明，這種對稱性結(jié)構(gòu)是用加減乘除和開根所能表達的數(shù)域能力之外的，就說明了五次方程沒有根式解。
為什么要這么做呢？我們首先需要理解用根式來表示出一個高次方程根的過程本質(zhì)是什么?；貞浺淮畏匠滩恍枰?，域的除法性質(zhì)天然讓ax=b不需要根號就能表達出根x=b/a；而在二次方程里，我們不可能僅僅用加減乘除表示出根了，所以我們引入了開方。但是與其說是引入了開方運算，不如說是我們引入了平方等于某個有理數(shù)的“有理數(shù)域”之外的元素進行了“開疆拓土”。最簡單的例子，x^2-2x-1=0是一個有理數(shù)域里無解的方程，但是我們引入了平方等于2的元素根號二之后就可以表示了（1+根號2）。類似的你會想到，一般的三次方程，需要引入三次方為有理數(shù)的擴域操作。
所以，我們用加減乘除和開方表示出一個高次方程的解的過程，其實實質(zhì)是通過一步步擴張現(xiàn)有的域，努力把新的元素放入域中，而在最后讓方程的根落在我們擴展的域中。這樣的做法叫做擴域。例如上面的把根號2引入有理數(shù)域的過程，就可以記為Q(sqrt(2))【這個域內(nèi)的元素就是那些形如a+b*sqrt(2)的數(shù)】，表示在Q中加入根號二之后讓它們?nèi)我饧訙p乘除最后能夠得到的所有數(shù)字所構(gòu)成的數(shù)域。而最后根式解表示出來時那一層層嵌套的根號，就是我們每一步擴域最好的見證。
（上圖是正十七邊形圓心角的余弦值的根式表達式，一共嵌套了三層根號。但是因為都是二次方的擴域，所以高斯以此證明了正十七邊形是可以通過尺規(guī)作圖得到的）
但是等等！因為多項式的性質(zhì)，所能擴張出的域總是帶有某種對稱性！比如上面的Q(sqrt(2))，我們會注意到如果我們寫成Q(-sqrt(2))也是可以的，換句話說，如果我們設(shè)出這樣一個映射σ：σ(a+b*sqrt(2))=a-b*sqrt(2)，那么原來是多項式x^2-2x-1=0的根（1+2*sqrt(2)）經(jīng)過映射之后變成1-2*sqrt(2)也必然成為這個多項式的根！
事實上，這不是偶然，我們只要讓這個在Q(x)的域里的自同構(gòu)映射σ對所有有理數(shù)q保持著σ(q)=q，那么σ作用于多項式的一個根x，得到的σ（x）不出意外一定也是多項式的一個根，這是因為考慮原來的有理系數(shù)域上的多項式以及其根x，我們有
然后我們用σ作用于等式兩邊：
倒數(shù)第二步的等號，正是來自于σ保持了有理系數(shù)的不變性。其余我們能夠分離次方和乘法的理由，來自于σ是解的域上自同構(gòu)上的良好性質(zhì)。這個等式最后兩項的相等告訴我們，σ(x)也滿足f的根的形式，所以σ(x)一定也是f的根。
AMAZING!所以我們注意到這樣一個重要的性質(zhì)——如果我們有了一個最后包含了原來多項式所有根的域，其過程是一路加入了α1,…,αn，使得最后的域為Q(α1,…,αn)【順便提一句，這樣的通過有限次加入前一個域里多項式的根的形式，一步步得到整個域的過程叫做代數(shù)擴張，而最后包含原來多項式所有根的域叫做多項式f的分裂域】，那么其實我們可以通過整個域的自同構(gòu)作為某種探針和投射，來推敲這個多項式分裂域的對稱性質(zhì)。
通俗起見，我們看一個多項式的例子，那就是(x^2-2)(x^2+1)=0
這個方程的根有四個，分別是±sqrt(2),±i。想要讓有理數(shù)域包含這些數(shù)字進去，我們需要把sqrt(2)（或者-sqrt(2)）以及i（或者-i）一步步加入域中，就像這樣：
第一步擴域
第二步擴域
以上的過程就是先加入根號二，再加入i的擴域過程。因為我們是通過根式擴展這個域的，所以它具有很好的對稱性。比如我們已經(jīng)說明，第一步的擴域Q(sqrt(2))中，包含了這樣的一個自同構(gòu)（注意我們要保持有理數(shù)不變）
而顯然，因為Q(sqrt(2),i)比Q(sqrt(2))還要大，所以這樣的同構(gòu)性質(zhì)對于更大的域還是保持的。但是其實對于更大的域，還有一種同構(gòu)操作
看到?jīng)]有！域大了就是浪！因為大的域包含了更多的對稱性，所以也就可以包含更多的域內(nèi)部的自同構(gòu)操作。而其實，我們還有另外一種擴大Q到我們需要的域的方法：
只不過是順序不同而已，之前是先放進去根號二，然后再放入i?，F(xiàn)在我們先放入i，再放入根號2。而在這種不斷“開疆拓土”的過程中，第一步里就有了上面σ2自同構(gòu)的一個特殊情況：
沒錯，這其實還是上面的那個自同構(gòu)，畢竟它實質(zhì)上就是最廣泛意義下復(fù)數(shù)的共軛。
可是等等！我們從兩條道路、用不同的順序不斷擴域達到了包含(x^-2)(x^2+1)所有根的域。但是似乎我們有的對稱卻很有限，我們?nèi)绻羌尤肓烁柖?，那么同?gòu)的操作就是把根號二前面的有理系數(shù)取反；我們?nèi)绻尤肓颂摂?shù)單位i，那么同構(gòu)的操作就只能把i前面的系數(shù)取反。
這提示我們，一個域在擴張之后所增加的對稱性，和我們填入的元素有很大的關(guān)系！事實上我們將要說明，每一步加入根式根或者加入虛數(shù)的擴域過程F→F(u)，和一個擴張之后的域F(u)上的一種自同構(gòu)操作一一對應(yīng)！
就是上面的那個例子：我們現(xiàn)在有四個域，根據(jù)擴張的關(guān)系（能夠通過添加一個元擴張得到則連一條線），我們得到以下的一個塔狀的架構(gòu)：
再考慮每一個保持每一級域不變的條件下，最大的域Q(sqrt(2),i)具有的自同構(gòu)的操作。帶上恒等映射，我們把所有滿足要求的自同構(gòu)寫在每一個域邊上（事實上，這也正是添加一個元所具有的對稱性的體現(xiàn)）
解釋起來就是，Q這個域所能包含的自同構(gòu)是最多的（因為它什么別的東西都沒有，），而對于Q(sqrt(2))，那么保持這個域不變的分裂域Q(sqrt(2),i)的自同構(gòu)就只有恒等和交換i的符號了【反正這個域也沒有i嘻嘻】其余同理……
其實我們還漏了一個操作，對于Q而言，如果僅僅需要保持Q不變在Q(sqrt(2),i)上考慮自同構(gòu)，還有第三個自同構(gòu)操作σ3，它先把含有i的全部調(diào)換符號，再把含有根號二的調(diào)換符號。所以這個完整的圖如下：
重點來了，如果說一個域F擴張之后變成了E，那么E/F這樣一個擴張過程勢必減少了一些對稱性的自同構(gòu)操作（如果到了最后我們得到了整個域，那么顯然我們除了固定不動的恒等映射別無選擇）。而每一個中間過程的域K的性質(zhì)，就是根據(jù)保持K不變的條件下，能夠?qū)ψ畲蟮姆至延蜃龆嗌僮酝瑯?gòu)操作所體現(xiàn)的【操作越多說明這個域越靠近有理數(shù)域的中心，越底層】。所以我們現(xiàn)在不妨把域都丟掉，專門觀察一下這個自同構(gòu)的結(jié)構(gòu)：
這其實還是上面那個域塔的圖，但是我們把自同構(gòu)操作提出來之后，你會發(fā)現(xiàn)原來是大的域在上，小的域在下；現(xiàn)在則變成了小的群在上，大的群在下……
等等，你說這些σ構(gòu)成了群？
對啊，運算表在這里：
【這個表很好驗證，四個自同構(gòu)可以自己復(fù)合一下（例如先變根號二的符號再變i的符號，或者連續(xù)變兩次i的符號）】
盯著這個表，我不禁陷入沉思…………
哦對了，這個表好熟悉??！這不是……剛才提過的克萊因四元群嗎？
沒錯，憋了七千多字，終于可以把伽羅瓦最經(jīng)典最核心的話說出來了：
如果一個方程是可以用根式表示出其根的，那么存在一個從Q逐級搭建起來最終觸及到分裂域【包含該多項式所有根】的域塔，以及把每一個域換成一系列（保持被換掉的域不變的分裂域上的）自同構(gòu)的群塔。這個群塔和域塔之間是一一對應(yīng)的。
上面的例子里，這兩個塔就是：
這就是大名鼎鼎的伽羅瓦對應(yīng)。更復(fù)雜的群塔如下（左邊是域，右邊是群）：
還有一個不加證明給出的結(jié)論：
無論是加入一個根號的結(jié)果，還是素數(shù)次的單位根，擴張域的過程對應(yīng)的群塔里縮小的群之商群，是一個循環(huán)群。
好了，既然我們現(xiàn)在知道添加根式擴張域具有這樣好的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，我們就來看看我們能不能對五次方程的根式域（也就是分裂域進行這樣的操作呢？）
那我們首先得找到一步一步上到頂樓的階梯（也就是一步步的擴張）。
可是假如我們眼前有一個例如x^5-16x+2所有根x1,x2,x3,x4,x5組成的一個域，對應(yīng)的是這么一坨
要知道，我們之前的那個域，是結(jié)構(gòu)非常好的:
一個上圖是一個非常通俗的解釋，那就是一個結(jié)構(gòu)很好的（數(shù)學(xué)上叫做可解的域），一定可以分成這樣一層一層的洋蔥一樣的同心圓結(jié)構(gòu)。自同構(gòu)實質(zhì)上就是保持內(nèi)層的域（圓）不變，轉(zhuǎn)動外層環(huán)形區(qū)域內(nèi)元素的過程。而我們接下來要證明的，就是上面這個五次方程的域，不存在這樣的好的同心圓結(jié)構(gòu)。
如何證明呢？我們先看對于那些有同心圓結(jié)構(gòu)的域，我們怎么劃分出這樣的一層層的分界？
這里引用一個例子：設(shè)想現(xiàn)在有好幾個班級，比如甲乙丙丁，然后有若干個全年級范圍內(nèi)進行交換新年禮物的計劃（A,B,C,D）。那么問題來了，你怎么判斷一個調(diào)換計劃（比如A）是否保持了甲班級的禮物都沒有交換到別的班級去呢？（假定我們無法得知交換的具體方式）
我們其實只需要進行這樣的操作：先執(zhí)行A計劃，然后除了甲班之外的所有班級執(zhí)行任意一個其他的交換禮物計劃，最后再按照A計劃反向調(diào)換回來。注意到，如果A計劃使得甲班的同學(xué)的禮物沒有出去到其他班級，那么第二步的調(diào)換對于他們而言沒有影響，最后回來的一定還是自己的禮物。
現(xiàn)在回到前面的問題，把禮物當成“標簽”，把交換禮物當做域內(nèi)部的自同構(gòu)。剛才說了，能不能劃分出一個“甲班”這樣的子一級域（由大圓到小圓縮小的過程），實質(zhì)就是考察是否存在一些自同構(gòu)的操作組成的集合N，使得任何全局的操作x，xNx^{-1}=N。
而這也就意味著，每一個域的自同構(gòu)群，必須是擴張之后域自同構(gòu)群的正規(guī)子群，這樣的擴張成為正規(guī)擴張，而正規(guī)擴張之后的商群必須是一個循環(huán)群。
好了，是時候給五次方程以致命一擊了。
我們接下來說明，五次方程的根組成的這樣的域，有時是做不到這一點的?？紤]自同構(gòu)群為任意五個元素的置換S5（也就是說調(diào)換任何兩個根且保持Q不變的置換都是自同構(gòu)），它的正規(guī)子群只有{e}和A5兩個，但是由A5縮小到{e}的過程不是一個正規(guī)擴域，商群不為循環(huán)群，故這是不可能的，所以五次方程沒有根式解。
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